帶有分段常數變量的捕食者-食餌模型的穩定性和Neimark-Sacker分支

豆中麗， 王 銳

(1. 重慶工商大學 融智學院， 重慶 400055; 2. 重慶大學 數學科學學院， 重慶 401331)

種群生態學是生態學中應用較為廣泛、發展較為成熟的一個分支，捕食者-食餌系統主要描述生態學中種群之間的相互關系.在生態系統中，具有分段常數變量的微分方程模型的穩定性、分支、混沌行為越來越受到學者們的關注.文獻[1]討論了如下帶有分段常數變量的單種群Logistic模型

其中,t,r,K∈(0,+∞),[t]表示參數t的整數部分.文中討論了模型在正平衡點處的穩定性和分支行為，當參數r等于某特殊值時,該模型在正平衡點附近出現混沌現象.文獻[2]研究了具分段常數變量及干擾的反饋控制模型

解的全局存在性、正平衡點的唯一性、全局漸近穩定性、分支的存在性及其方向和穩定性.文獻[3]描述了害蟲受天敵、氣象環境和植被等外界環境因素的影響，討論了模型

的正平衡態的穩定性、翻轉分支和Neimark-Sacker分支周期解的充分條件以及數值模擬驗證理論分析的正確性.文獻[4]研究了捕食者對食餌的捕獲具有滯后效應的模型

的正平衡態穩定性分析、Neimark-Sacker分支的存在性及其分支方向與穩定性.在上述文獻的基礎上，本文考慮了具有Holling-III功能反應函數

的捕食者-食餌模型

其中,X為食餌種群密度，Y為捕食者種群密度，r∈(0,1)為食餌內稟增長率，K>0為環境容納量可解釋為食餌所取作物狀況，a為捕食者的捕食率，β∈[0,1)為食餌逃避率，捕食種群能捕捉到食餌數量為(1-β)X(t)，c∈(0,1]為捕食者捕食食餌的轉化率，d為捕食者的死亡率.

根據生態學意義可知,模型(1)的初始條件為

X(0)=X0>0,Y(0)=Y0>0.

1 平衡點的存在性和穩定性

下面討論模型(1)解的存在性、正平衡點唯一性及給出模型在平衡點處的穩定性分析.

定理1.1模型(1)滿足初始條件的解在t≥0存在且有界.

證明可利用反證法與比較原理進行證明.

證明模型(1)的平衡點滿足方程

令

因為f(Y)是R+上的連續函數，且

f(+∞)=-∞.

當n≤t≤n+1(n=0,1,2,…)時,系統(1)轉化為

(2)

對(2)式兩端從n到t積分，令t→n+1，化簡得到

(3)

通過計算求得：對于任何參數，系統有不動點E0(0,0)、E1(K,0)；當ac-d>0,K>K0時，系統(3)存在唯一正平衡點

其中

定理1.3模型(3)的平衡點E0(0,0)是鞍點.

證明模型(3)的Jacob矩陣為

其中

當(X(n),Y(n))=(0,0)時，由模型(3)可知對應的線性系統[5]的特征方程

(λ-er)(λ-e-d)=0，

則

λ1=er,λ2=e-d.

因為r>0，由此可知|λ1|>1,|λ2|<1，所以平衡點E0(0,0)是鞍點.

定理1.41) 當0

(i) 當K(1-β)(ac-d)

(ii) 當K(1-β)(ac-d)>d時，平衡點E1(K,0)是鞍點.

2) 當r>2，K(1-β)(ac-d)>d時，平衡點E1(K,0)是不穩定的.

3) 當r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d時，模型在平衡點E1(K,0)處產生flip分支.

證明模型(3)在平衡點E1(K,0)的Jacob矩陣

其中

1) 當0

(i) 當K(1-β)(ac-d)

(ii) 當K(1-β)(ac-d)>d時，|λ1|<1,|λ2|>1，所以E1(K,0)是鞍點.

2) 當r>2，K(1-β)(ac-d)>d時，|λ1|>1,|λ2|>1，所以E1(K,0)是不穩定的.

3) 當r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d時，|λ1|≠1且|λ2|=1，所以模型在E1(K,0)處產生flip分支.

4) 當

且

5) 當

d(1+ac-d)K=(ac+(1+ac-d)d)K0

其中

模型的正平衡點的穩定性由特征方程的特征根所決定，令

p(λ)=λ2+μ1λ+μ2,

可求解得到

由此可得特征根

通過計算可知,當ac-d>0,K>K0時，

1)

由

d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0<0,

可得

令

2) 當

3) 當

d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0>0,

4) 當

5) 當

2分支解的存在性和穩定性

處的Jacob矩陣

可得特征根

其中

設p、q分別是對應于特征值eiθ0、e-iθ0的特征向量：

Aq=eiθ0q,ATp=e-iθ0p.

為了必要的標準化

可取

通過計算此系統可表示為

這里O(‖x‖4)是高階無窮小量,B(x,y)和C(x,y,z)是多重線性函數，且在坐標下的分量為:

于是

具有Neimark-Sacker分支的系統出現閉不變曲線的方向，可用下面的公式計算：

下面通過實例，運用Matlab軟件繪出相應的分支圖[9]，并通過圖形說明該模型復雜的動力學行為.當參數r=r0=0.68時，產生Neimark-Sacker分支，如圖1；當r>r0=0.68時，在正平衡點處失穩經過反復迭代系統出現混沌現象，如圖2.使用數值模擬驗證參數對模型穩定性和分支周期解的存在性影響，當分支參數的臨界值發生變化，系統也在發生變化，可見系統對初值的敏感性，初值經過反復迭代，系統失穩出現分支情形，最后產生混沌現象.

圖 1 Neimark-Sacker分支解相平面圖

3 總結和討論

本文討論了帶有分段常數變量的捕食者-食餌模型并通過計算得到模型對應的差分方程.

首先,討論了模型在正平衡點處的情形，模型在平衡點處是鞍點.

2) 當r>2，K(1-β)(ac-d)>d時，平衡點E1(K,0)是不穩定的.

3) 當r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d時，模型在平衡點E1(K,0)處產生flip分支.

其次,討論了模型的內稟增長率

最后，使用數值模擬的方法當r=r0=0.68時，產生Neimark-Sacker分支；當r>r0=0.68時，在正平衡點處失穩.初值經過反復迭代趨于∞時，系統的分支會越來越多越來越密，最后進入混沌狀態，從而驗證了理論結果的正確性.

[1] 馬知恩. 傳染病動力學的數學建模與研究[M]. 北京：科學出版社，2004

[2] 陳斯養,靳寶. 具分段常數變量及干擾的反饋控制模型的N-S分支[J]. 工程數學學報,2015,32(1):85-97.

[3] 王烈. 帶有分段常數變量和避難所的天敵-害蟲模型的穩定性和分支行為[J]. 高校應用數學學報,2014,29(4):431-442.

[4] 陳斯養,靳寶. 一類具分段常數變量的捕食-食餌系統的Neimark-Sacker分支[J]. 生態學報,2015,35(7):2339-2348.

[5] LIU P, GOPALSAMY K. Global stability and chaos in a population model with piecewise constant arguments[J]. Appl Math Comput,1999,101(1):63-88.

[6] ELAYDI S, GEHRING F W, RIBET K A. An Introduction to Difference Equations[M]. New York:Springer-Verlag,2005.

[7] 陳斯養,張艷. 具有分段常數變量的捕食-被捕食模型的分支分析[J]. 蘭州大學學報(自然科學版),2012,48(3)：103-112,117.

[8] KUZNETSOV YURI A. Elements of Applied Bifurcation Theory[M]. New York:Spinger-Verlag,2004.

[9] 王烈,陳斯養. 帶有分段常數變量的Lorenz系統的穩定性和分支[J]. 應用數學,2014,27(4)：805-811.

[10] 徐昌進. 具有時滯和Holling III型功能反應函數的離散捕食模型的周期解[J]. 四川師范大學學報(自然科學版)，2013,36(5):686-690.

[11] 馬超,黎定仕. 一類非自治微分積分方程的全局指數穩定性[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2014,37(5):639-642.

[12] 李亞男,馮廣慶,王玉光. 一類考慮存活率的時滯SIR傳染病模型的Hopf分支研究[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2016,39(5):649-654.

[13] 杜燕飛,肖鵬,曹慧. 具有階段結構的周期SEIR傳染病模型的動力學性態[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2017,40(1):73-77.