具有季節(jié)影響的多菌株登革熱病毒傳播模型研究

鄭庭庭, 聶麟飛

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

1 引言及預(yù)備知識

登革熱(Dengue fever)是一種常見的急性蟲媒傳染病,它的傳播媒介主要是伊蚊(其中包括埃及伊蚊和白紋伊蚊).當易感人群被攜帶登革熱病毒的雌蚊叮咬后,病毒就會通過蚊子的唾液進入人體血液而被傳染,同時蚊子吸食攜帶登革熱病毒的人群的血液時也會被傳染,這就導(dǎo)致了病毒在人群和蚊子之間的傳播[1].

近年來,隨著世界各地的登革熱發(fā)病率和致死率的大幅增加,登革熱疾病已經(jīng)成為一個國際重點關(guān)注的公共衛(wèi)生問題[1-2].世界衛(wèi)生組織的數(shù)據(jù)顯示[2],每年大約有3.9億例登革熱感染病例(95%置信區(qū)間2.84～5.28億),其中9 600萬(95%置信區(qū)間0.67～1.36億)出現(xiàn)不同程度的臨床癥狀.登革熱的臨床表現(xiàn)為突發(fā)性劇烈頭痛、眼球后疼痛、肌肉和關(guān)節(jié)疼痛、惡心、嘔吐,部分患者出現(xiàn)皮疹、出血傾向、淋巴結(jié)腫大、白細胞計數(shù)減少、血小板減少等癥狀.登革熱還可能發(fā)展成潛在的致命并發(fā)癥,稱為登革出血熱(Dengue Haemorrhagic Fever)和登革熱休克綜合征(Dengue Shock Syndrome),其最嚴重的形式主要通過增加血管通透性和沖擊從而威脅到病人的生命[3].

在過去的幾十年里,眾多學(xué)者建立了各類登革熱病毒在蚊子和人群之間傳播的動力學(xué)模型,討論了疾病的流行規(guī)律和預(yù)防控制措施[4-6].例如,Esteva等[7]提出了一個人口總數(shù)是常數(shù)而蚊子總數(shù)是變量的SIR登革熱動力學(xué)模型,得到了決定疾病流行和消除的閾值條件.Li等[8]考慮了一個具有雙線性發(fā)生率和飽和發(fā)生率的登革熱病毒傳播模型,給出了疾病的基本再生數(shù)的精確表達式,即當基本再生數(shù)小于1時,模型無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的,當基本再生數(shù)大于1時,疾病是持久的且模型存在唯一的全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點.

另一方面,臨床數(shù)據(jù)表明登革熱是由4種不同、但卻緊密相關(guān)的登革熱病毒(病毒學(xué)家稱之為DEN-1、DEN-2、DEN-3和DEN-4病毒型)引起的,人感染一種病毒血清型并康復(fù)后,體內(nèi)會對這種病毒血清型產(chǎn)生終身免疫,但對其他3種病毒血清型只有部分和短暫的交叉免疫[9].研究表明,連續(xù)感染會加大人群患DHF/DSS的風(fēng)險[10].因此,一些學(xué)者建立了具有多種登革熱病毒血清型的數(shù)學(xué)模型,研究了模型的各種動力學(xué)行為,討論了繼發(fā)感染對疾病傳播和控制的影響[3,11-13].特別地,Feng等[11]建立了一類具有2種病毒血清型的SIR登革熱傳播模型,研究得出了疾病的流行病學(xué)趨勢,以及允許競爭時的病毒血清型共存的條件.Esteva等[3]提出了一類具有2種病毒血清型的非線性登革熱動力學(xué)模型,討論了模型無病平衡點和邊界平衡點的存在性和穩(wěn)定性,得到了刻畫疾病消除和流行的閾值條件,以及2種登革熱病毒血清型共存的充分條件.理論結(jié)果表明,在一定的參數(shù)范圍內(nèi),2種登革熱病毒血清型在人體中共存是可能的.

眾所周知,登革熱疾病的高發(fā)區(qū)為熱帶和亞熱帶,而蚊子對環(huán)境條件有很強的敏感性[1-2],因此,氣候因素對蚊子的行為和登革熱病毒傳播的有效性等方面有著非常重要的影響[14-15].考慮到上述因素,Rodrigues等[16]提出了一類刻畫疾病在蚊子和人群之間傳播規(guī)律的登革熱倉室模型,利用蚊子在不同的溫度和降雨量下的各種行為模擬并分析了季節(jié)變化對登革熱疾病的控制與消除的影響,研究結(jié)果表明通過控制溫度和降雨量可以有效的阻礙或促進登革熱疾病的發(fā)展.此外,也有學(xué)者提出了具有季節(jié)影響的蟲媒介傳染病模型[17-21].例如,Wang等[22]提出一個在周期環(huán)境下的瘧疾傳播模型,計算得出了該模型的基本再生數(shù),證明了基本再生數(shù)是決定疾病滅絕或持久的閾值條件,并通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果的正確性和模型更復(fù)雜的動力學(xué)行為.Gourley等[23]考慮到季節(jié)的影響,建立了藍舌病在蚊子和牛(或羊)之間傳播的非自治的動力學(xué)模型,得到了模型無病平衡點的存在性與穩(wěn)定性的判別準則,并對該準則進行了必要的生物解釋.

本文基于上述討論,建立了一類具有季節(jié)影響的兩菌株登革熱病毒傳播的數(shù)學(xué)模型,研究了模型解的非負性與有界性、無病周期解的存在性與穩(wěn)定性以及疾病的持久性.

考慮到季節(jié)變化對蚊子的行為與登革熱病毒傳播的影響,將基于經(jīng)典的傳染病倉室模型,提出一類具有季節(jié)影響的2種登革熱病毒血清型的數(shù)學(xué)模型.

將某個地區(qū)的人群分為易感者、初次感染者、二次感染者和恢復(fù)者,并分別用S(t)、Ii(t)、Yj(t)和R(t)表示t時刻易感人群,初次感染血清為i的人群,二次感染血清為j的人群和恢復(fù)者,其中i,j=1,2，i≠j.將雌蚊分為易感群體和染病群體,分別用U(t)和Vi(t)代表t時刻易感雌蚊和感染血清為i的雌蚊的數(shù)量.記

基于登革熱病毒在蚊子和人群中的傳播規(guī)律,該模型可以表示為

(1)

模型中其他參數(shù)的含義由表1給出.

表 1 模型(1)中參數(shù)的含義

設(shè)Rn+:={(x1,x2,…,xn):xi≥0,i=1,2,…,n},基于模型(1)的生物背景,僅需在區(qū)域內(nèi)考慮模型(1)的動力學(xué)行為.對于模型(1),始終引入以下2個假設(shè)：

首先,考慮下面的ω周期的線性微分方程

(2)

其中a(t)和c(t)對所有的t≥0都是連續(xù)的ω周期函數(shù).關(guān)于方程(2)的正周期解的吸引性,下面的結(jié)論顯然成立.

在模型(1)中,令I(lǐng)i≡0,Yi≡0,Vi≡0,由此可得R=0,其中i=1,2,則得到下面的子系統(tǒng)

(3)

引理2模型(3)存在唯一的全局吸引的正ω周期解

令Rn是范數(shù)為‖·‖的標準有序的n維歐幾里得空間.對任意的u,v∈Rn,若u-v∈Rn+,則記為u≥v;若u-v∈Rn+{0},則記為u>v;若u-v∈intRn+,則記為u?v.假設(shè)A(t)是連續(xù)合作不可約[25]的n×n維ω周期矩陣函數(shù),ΦA(chǔ)(t)是下列線性常微分方程的基解矩陣

(4)

且ρ(Φ(ω))是Φ(ω)的譜半徑.由Perron-Frobenius定理可知,ρ(Φ(ω))是Φ(ω)的主特征值.關(guān)于方程(4),有下面的引理3.

引理3[26]設(shè)p=lnρ(Φ(ω))/ω,則存在一個正的ω周期函數(shù)v(t)使得eptv(t)是方程(4)的一個解.

2 模型的適定性

關(guān)于模型(1)解的非負性和有界性,有如下的定理.

定理1設(shè)(S(t),I1(t),I2(t),Y1(t),Y2(t),R(t),U(t),V1(t),V2(t))是模型(1)的解,則

I1(t),I2(t),Y1(t),Y2(t),R(t),U(t),V1(t),V2(t))對所有的t≥0是正的.

證明首先證明結(jié)論(ii).由模型(1)的第5和第7個方程可知,對所有的t≥0有

且

因為S(0)>0,U(0)>0,所以

且

設(shè)

且

i=1,2.

因此,只需要證明對所有的t>0有m(t)>0.反證,假設(shè)存在某個t0>0,使得m(t0)=0且對t∈[0,t0)有m(t)>0,則僅需討論以下7種情況：

(Ⅰ) m(t0)=I1(t0);

(Ⅱ) m(t0)=I2(t0);

(Ⅲ) m(t0)=Y1(t0);

(Ⅳ) m(t0)=Y2(t0);

(Ⅴ) m(t0)=R(t0);

(Ⅵ) m(t0)=V1(t0);

(Ⅶ) m(t0)=V2(t0).

考慮到證明方法的類似性,這里僅給出第3種情況的證明,即m(t0)=Y1(t0).由于對t∈[0,t0)有m(t)>0,故V1(t)>0,I2(t)>0.進而,對所有的t≥0有

對上述不等式兩邊從0到t0積分可得

這與Y1(t0)=0矛盾.因此,模型(1)的解是正的.結(jié)論(ii)得證.

最后證明模型(1)解的有界性.令

N(t)=S(t)+I1(t)+I2(t)+Y1(t)+

Y2(t)+R(t)，

則有

其中,μ和Λ(t),即U(t)、V1(t)和V2(t)是最終有界的.證畢.

3 疾病的滅絕和持久

且

記

X(t)=(i1(t),i2(t),y1(t),y2(t),v1(t),
v2(t),s(t),r(t),u(t)),

則模型(1)可以改寫成如下的向量形式

(5)

這里

其中(*)代表一個非零矩陣塊.由文獻[27]可知,模型(1)的無病周期解的穩(wěn)定性是由F(t)-V(t)的譜半徑ρ(Φ(ω))決定的.因此,下面的結(jié)論顯然成立.

定理2若R0=ρ(Φ(ω))<1,則模型(1)無病周期是局部漸近穩(wěn)定的.

為了得到無病周期解的全局漸近穩(wěn)定性,將模型(1)改寫為如下形式

令

關(guān)于模型(1)的無病周期解的全局漸近穩(wěn)定性,有下面的結(jié)論.

定理3若R0=ρ(Φ(ω))<1且<1,則模型(1)的無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由定理2可知,當R0<1時,模型(1)的無病周期解是局部漸近穩(wěn)定的,故只需證明無病周期解是全局吸引的.由<1,可以選取一個足夠小的常數(shù)η>0,使得ρ(其中

(7)

其中,W1(t)=I1(t)+Y2(t)，W2(t)=I2(t)+Y1(t)，W3(t)=V1(t),W4(t)=V2(t).

考慮下面的比較系統(tǒng)

(8)

由引理3可知,存在一個正的ω周期解

v(t)=(v1(t),v2(t),v3(t),v4(t))T,

p=ln{ρ(

記

是模型(8)的任一解,則可選取一個常數(shù)τ>0,使得

J(T1)≤τev(T1).

由常微分方程的比較原理可知,對所有的t≥T1有

J(t)≤τev(t).

因為

ρ(

所以

故

進一步有

從而

因此,模型(1)的無病周期解是全局吸引的.證畢.

為了討論模型(1)的一致持久性,將模型(1)改寫成為以下形式

(9)

其中

I(t)=I1(t)+I2(t)+Y1(t)+Y2(t),
V(t)=V1(t)+V2(t).

令

這里

關(guān)于模型(1)的疾病的一致持久性,有下面結(jié)論.

定理4若0=ρ((ω))>1,則模型(1)中的疾病是一致持久的,即存在一個正常數(shù)δ,使得模型(1)的解滿足:

證明由0>1,可選取一個足夠小的正常數(shù)σ,使得

ρ(

其中

考慮下面含參數(shù)的線性方程

(10)

(11)

定義集合

X={(S,I,R,U,V):S>0,I≥0,R≥0,
U>0,V≥0},
X0={(S,I,R,U,V):I>0,V>0},
?X=XX0={(S,I,R,U,V):IV=0}.

P(x0)=u(ω,x0),
x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈X.

(12)

其中

滿足初始條件u(0,x0)=x0的解.顯然,模型(12)的所有解都是最終有界的.因此P在X0上是點耗散的也是緊的.

定義

M?={x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈
?X0:Pm(x0)∈?X0,?m≥0},

其中

P0(x0)=x0, P(x0)=P(x0),

Pm(x0)=P(Px0)).

接下來,證明

事實上,模型(12)中從初值

x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈M?

Pm(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))=

下面證明

用反證法.假設(shè)存在一個

(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈M?,

使得

顯然

max{I(0),V(0)}>0.

x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))

對上述不等式從0到t積分可得

進而,由模型(12)的第5個方程可得

在M?中,模型(12)退化成為

(13)

Ws(E1)={x0:Pm(x0)→E1,m→}.

下面證明Ws(E1)∩X0=?.由解對初值的連續(xù)依賴性,對于上述的正常數(shù)ε,存在δ>0,使得對所有的x0∈X0都有x0-E1≤δ,則對任意的t∈[0,ω]有

u(t,x0)-u(t,E1)≤ε,

其中

因為u(t,E1)是以ω為周期的,所以對任意t1,t2>0,k∈Z,滿足t2=kω+t1,有

u(t1,E1)=u(t2,E1)

成立.

最后證明對任意的x0∈X0,都有

(14)

成立.用反證法,假設(shè)結(jié)論不成立,即存在某x0∈X0使得

成立.不失一般性,假設(shè)對所有的m>0,有

|Pm(x0)-E1|<δ

成立,則對任意的t∈[0,ω],有

|u(t,Pm(x0))-u(t,E1)|≤ε.

對任意的t≥0,設(shè)t=t1+nω,其中t1∈[0,ω],n=t/ω表示小于等于t/ω的最大整數(shù),則有

|u(t,x0)-u(t,E1)|=

|u(t1,Pm(x0))-u(t1,E1)|<ε.

利用比較定理可知,對t≥0有

(15)

(16)

成立.從而,由(11)、(15)和(16)式可以得到,對任意的t≥t2,有下列不等式成立:

故對任意的t≥t2有:

考慮以下比較方程

(17)

(18)

由引理3可知,存在一個正的ω周期函數(shù)

w(t)=(w1(t),w(t))T,

使得

(i(t),v(t))=eθtw(t),

其中

θ=ln{ρ(

是模型(18)的解.記J=(i(t),v(t))T模型(18)的解,可取足夠小的常數(shù)τ>0,使得

J(t2)>τeθt2w(t2).

由常微分方程的比較原理可知,對所有的t≥t2有

J(t)>τew(t)

成立.因為

ρ(

則有

θ=ln{ρ(

故

即

Ws(E1)∩X0=?.

綜上所述,從M?中出發(fā)的每一條軌道都趨近于E1,即E1是M?中的一個極限環(huán).由文獻[25]中的動力系統(tǒng)的一致持久定理可知,映射P關(guān)于(X0,?X0)是一致持久.所以,模型(12)是一致持久的.進一步,由常微分方程的比較原理可得,模型(9)是一致持久的,即模型(1)是一致持久的.證畢.

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