垂發超近程導彈彈道優化設計*

馬璐，孫瑞勝

(南京理工大學 能源與動力工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

垂直發射技術使得導彈系統反應能力快速，發射效率高，360°無發射死角，裝彈量大、火力強，有利于通用化、模塊化，結構簡單，工作可靠，成本低等優點[1-3]。應用垂直發射技術，導彈升空后要進行轉彎控制，而這僅依靠常用的氣動力舵面和翼面提供控制力和力矩是不行的，需要借助額外的發動機推力實現轉彎控制。此外,如果轉彎段攻角過大，導彈的氣動非線性特性會非常明顯，出現“失速”現象。因此可以通過選擇合適的發動機推力大小和作用時間來有效改善彈道的性能。

本文的垂發超近程導彈射程一般在1 km以內，飛行時間短，能夠快速打擊或攔截來襲目標，可應用于高價值目標[4-5]的反導防御系統中，在來襲目標距離高價值目標的幾百米的范圍內進行防御作戰。通過對垂發超近程導彈設計合理的彈道飛行方案，使在滿足垂直發射、機動能力、飛行時間的約束條件下同時還要保證導彈的射程和精度指標具有重要的理論研究意義和工程應用價值。

彈道優化方法主要分為直接法和間接法兩大類[6]，由于間接法的諸多局限性，直接法被廣泛應用于當前的優化設計中。文獻[7-8]針對滑翔彈道進行優化設計，采用的粒子群算法具有收斂速度快、計算穩定的優點。但是與其他全局優化算法一樣，粒子群算法也容易陷入局部最優的情況，造成收斂精度不高并且收斂速度較慢。文獻[9-10]針對飛行器多約束多階段彈道優化模型基于序列二次規劃法進行彈道優化設計。序列二次規劃法收斂性好，邊界搜索能力強，但是該方法適用于中小型問題，求解問題規模越大其穩定性越差。文獻[11-13]提出了一種hp自適應偽譜法來解決復雜的多約束問題。和一般偽譜法相比hp自適應偽譜法綜合了 h型細化方法的計算稀疏性和p型細化方法的快速收斂性,使其能夠以較少的計算代價得到較高精度的解[14]。

垂發超近程導彈彈道優化設計問題是一個初始狀態確定、多優化變量、含有飛行過程約束和終端約束的最優控制[15]問題。以垂直發射導彈為研究對象將不同階段發動機推力、發動機推力作用時間和飛行攻角作為設計變量，同時設計飛行過程和飛行終端彈道參數約束，采用hp-偽譜法進行彈道優化設計。

1 問題描述

1.1 垂直發射導彈飛行過程

本文的研究對象有如下特點：導彈飛行用的主發動機兼用于導彈轉彎段的姿態控制，發動機推力分不同階段開關，推力方向沿彈軸方向，發動機在導彈落地前結束工作。針對最近射程，采取2段推力的設計方案對彈道進行優化設計。導彈飛行過程主要分為如下3段：

(1) 垂直發射段：采用冷發射方式，彈道傾角θ保持90°，導彈只受重力作用下到達預定高度時發動機點火控制。

(2) 大推力轉彎段：由于此時導彈飛行速度較小，氣動舵操縱的效果不明顯，通過發動機推力影響導彈速度大小進而改變導彈的彈道傾角變化，完成轉彎控制。

(3) 小推力飛行段：這段飛行過程要注意對飛行高度的限制，不能使彈道頂點過高否則難以滿足終點射程約束。

導彈工作過程示意圖如圖1所示。

1.2 動力學方程

方案彈道初步設計過程中簡化了運動模型,將導彈描述為理想的質點，暫時不考慮彈體繞質心轉動的影響。以縱向平面內的質心運動方程為動力學模型[16]:

(1)

式中:m為導彈質量;P為發動機推力;Isp為發動機比沖;X=qSCx,Y=qSCy分別為阻力和升力，由動壓q和氣動特性決定，其中Cx和Cy是Ma和α的函數,可由吹風試驗和數值計算獲得; ?為導彈俯仰角;θ為彈道傾角;x,y分別為射程和飛行高度。

1.3 約束條件

(1) 導彈飛行過程狀態參數約束

(2)

(2) 導彈飛行終端狀態參數約束

(3)

(3) 控制約束

根據發動機推力工作特點設計t1為第1階段發動機推力工作時間，P1為第1階段發動機推力，t2為第2階段發動機推力工作時間，P2為第2階段發動機推力。根據飛行任務及外界環境變化需要,通過調整攻角達到預定的戰術指標，因此同時把攻角α作為設計變量。發動機約束條件和飛行攻角約束條件為

(4)

1.4 目標函數

在彈道設計階段，一個重要的指標是使得導彈在彈道末端的脫靶量最小。因此，彈道優化設計的目標函數為

J=min|xf-xc|，

(5)

式中：xf為彈道預先設計的射程；xc優化彈道的射程。

2 hp-偽譜法

hp-偽譜法通過判定準則在網格劃分的迭代過程中能夠獨立改變網格單元的長度h和基函數的階次p，在降低計算量的同時最大限度的保證優化精度。

2.1 優化問題離散

hp-偽譜法分別將狀態變量和控制變量離散化[17]。系統的狀態變量是用全局插值多項式表示為單元節點間系統時間和狀態變量之間的關系。通過選擇合適的配點對多項式求導獲得狀態變量導數，使其在配點處一定精度條件下滿足系統的微分方程組，從而將系統動態方程約束轉換為一組代數約束，動態方程被近似為光滑基函數的加權和。以節點處的控制變量和配點處的控制變量作為優化設計變量，由此將連續時域問題離散轉換為非線性規劃問題。

2.2 hp自適應迭代原則

當網格精度不滿足最大設定誤差要求時將選擇是否細分網格單元或者增加插值多項式階次。

(6)

利用拉格朗日插值多項式近似得到每個配點中點處的系統狀態變量和控制變量。設

(7)

式中：系統狀態變量為n個，控制變量為m個。定義殘差矩陣為

(8)

|·|表示對矩陣R中的每一個元素取絕對值，則R中的每個元素分別對應著系統動力學方程組在中點處的殘差。進一步，取R中每一行最大的元素構成新的列向量，設為

(9)

取算術平均得到

(10)

標準化得到

(11)

向量χ就是迭代判斷準則，當χ中所有元素的量級相當時應通過增加插值多項式的階次來實現計算精度的提高;當χ中某些元素的量級明顯大于或小于其他元素,則應通過網格細化實現計算精度的提高。

2.3 hp-偽譜法計算步驟

自適應偽譜法計算步驟如下所示：

(1) 網格區間初始化，區間配點數為Li，Δti∈[ti-1，ti],i=1,2,…,n，利用hp-偽譜法將優化問題轉化為非線性規劃問題并采用二次序列規劃法進行求解。

(4) 根據上一步的計算結果構建新的網格區間，求解當前的非線性規劃問題。

(5) 判斷重新構建的網格區間相對容許誤差是否滿足給定的允許誤差，若滿足優化結束退出程序，否則回到步驟1重新優化。

3 仿真算例分析

3.1 參數設置

以某垂直發射導彈為例，采用hp-偽譜法對其彈道進行優化。

(1) 導彈飛行過程約束條件

(12)

(2) 導彈飛行終端約束條件

(13)

(3) 優化控制變量約束條件

(14)

3.2 仿真結果與分析

方案1代表hp-偽譜法，方案2代表遺傳算法，P1和t1為發動機第1階段推力和作用時間，P2和t2為發動機第2階段推力和作用時間。表1和圖2分別給出了2種方案的推力優化結果和推力隨時間變化的過程，圖3～7給出了彈道參數對比仿真結果。

表1 發動機推力優化結果

(1) 根據表1和圖2的發動機推力優化結果可以看出2種方法的推力優化方案大致相同，驗證了hp-偽譜法發動機推力優化方案的合理性。

(2) 圖3～5 hp-偽譜法和遺傳算法的仿真結果相差不大，導彈飛行軌跡均比較合理，導彈飛行狀態參數、脫靶量均滿足約束要求。

(3) 由圖6～7 hp-偽譜法和遺傳算法的仿真結果看出，2種算法的優化攻角、過載的變化趨勢相同。導彈在轉彎段攻角變化比較平緩沒有出現大攻角的飛行狀態，說明合理的選擇發動機的推力大小和作用時間能有效改善彈道的性能。但是發動機推力優化結果的微小差異造成導彈進行轉彎控制的高度和時刻都存在微小的差異，優化結果的攻角卻產生了明顯的不同，表明了導彈的飛行攻角在大推力轉彎段對發動機的推力的作用時間十分敏感，這在今后進行垂發導彈彈道優化設計時需要特別注意。

4 結論

(1) 針對垂直發射導彈超近程彈道優化問題，通過引入多設計變量和多約束條件將彈道優化問題轉變成非線性規劃問題，仿真表明優化模型比較合理。

(2) 根據仿真結果，hp-偽譜法在解決垂直發射導彈超近程彈道優化問題上能夠生成較為合理的優化方案，在應對多優化設計變量上能夠尋找到合理的優化解。

(3) 結果表明可為垂發超近程導彈彈道優化設計提供參考。

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