運動解耦和低耦合度選擇順應性裝配機器手臂并聯機構的設計及其運動分析

沈惠平 許 可 楊廷力

常州大學現代機構學研究中心，常州，213016

0 引言

具有運動解耦特性的低耦合度三平移一轉動輸出的選擇順應性裝配機器手臂(selective compliance assembly robot arm,SCARA) 并聯機構(parallel mechanism，PM)的控制、軌跡規劃以及運動學和動力學分析較為簡單，可以較好地滿足現代生產實際需求,因此，提出運動解耦、低耦合度新型SCARA并聯機構具有重要的學術意義和使用價值。

近十年來，國內外學者不斷研究運動解耦的并聯機構。YEN等[1]研究了一種三自由度移動解耦并聯機構的動力學模型，對其運動學與控制特性進行了分析；張志勝等[2]發明了一種運動解耦的XY向精密定位平臺；童幸等[3]通過重新定義輸出參數的方法，仿真分析了3種鍛造操作機的解耦性；石志新等[4]基于單開鏈結構原理，先后構造了一種全解耦三平移并聯機構和一類新型五自由度解耦并聯機構；ALTUZARRA等[5]以具體實例闡述了如何通過支鏈選擇及裝配方式實現少自由度操作手部分解耦的問題；GLAZUNOV[6]用螺旋理論的方法研究了解耦并聯機構的設計方法；張帆等[7]提出了球面轉動并聯機構運動解耦的拓撲條件；LEGNANI等[8]設計了特定位形下解耦和各向同性的六自由度并聯機構；竇玉超等[9]提出了一種一平移兩轉動完全解耦的并聯機構。

沈惠平等[10]對國內外已有的2～6個自由度運動解耦并聯機構進行拓撲結構及其運動解耦性分析，提出了基于基本運動鏈(basic kinematics chain，BKC)合成與分解、基于子并聯機構等效支鏈、基于合理選取基點，以及基于移動副平行、垂直配置等4種運動解耦設計方法，并設計了15個運動解耦并聯機構。

KRUT等[11]提出了一類可實現三平移動一轉動的四自由度并聯機器人Heli4。GOGU[12]基于線性變換理論與進化形態學，提出了一組具有完全各向同性的并聯機構。羅玉峰等[13]基于方位特征(position and orientation characteristics, POC)集的并聯機構設計基本理論，綜合設計出了多種具有SCARA運動輸出的并聯機構，并對它們進行了分類。XIE等[14]運用Grassmann線性幾何法和Atlas法，綜合設計出了一組四自由度SCARA并聯機構。LI等[15]提出了一種具有4個相同四自由度支鏈的SCARA并聯機構。但這些三平移一轉動并聯機構，大多數采用4條相同的復雜約束支鏈，其動平臺的轉動能力較小；在動平臺上附加轉角增大裝置，可增大動平臺的轉動能力，但使動平臺質量分散、增大，影響了機構動力學性能的改善；同時，它們的耦合度均較大(κ=2)，因此，其位置正解求解十分困難，影響構型優選、實時控制和誤差分析。

綜上，不難發現，目前兼有運動解耦特性和低耦合度(κ=0，1)的SCARA并聯機構還較少。本文根據基于POC方程的并聯機構拓撲結構設計理論[16,18]，設計出一種轉角較大、運動解耦且耦合度低的四自由度SCARA并聯機構，并對其位置正解、工作空間、動平臺轉角空間及機構奇異性進行了分析。

1 機構設計及拓撲分析

1.1 機構設計

圖1 新型(RPa3R)2R-2RSS機構及其參數標注Fig.1 A novel PM(RPa3R)2R-2RSS and itsparameterization

根據基于POC方程的并聯機構拓撲結構設計理論[16,18]，筆者設計的具有部分運動解耦、低耦合度(κ=1)的新型SCARA并聯機構如圖1所示[17-18]，靜平臺0與動平臺1用2條相同的無約束支鏈 RSS、1條含有子并聯機構(RPa3R)的混合支鏈 (RPa3R)2R連接，為方便，機構記為(RPa3R)2R-2RSS。

該機構的混合支鏈(RPa3R)2R是這樣構成的：1個轉動副(R11)連接由4個球副(S1、S2、S3、S4)組成的平行四邊形(parallelogram, Pa)的短桿S1S2；短桿S3S4和由3個平行轉動副構成的支鏈(R41‖R42‖R43)連接，且S3S4的連線和轉動副R43軸線垂直，從而構成含1個回路的子并聯機構(R‖Pa3R)；同時，短桿S3S4再串聯2個平行轉動副構成支鏈(R12‖R13)。

2條無約束支鏈可任意布置，取靜平臺0上相鄰的4個轉動副相互垂直，即R11R41R31R21。

1.2 POC集

由文獻[16,18]可知，串聯、并聯機構的POC集方程分別為

(1)

(2)

式中，MJi為第i個運動副的POC集；Mbj為第j條支鏈末端的POC集；MPa為機構動平臺的POC集。

該機構混合支鏈(HSOC)中，4個球副(4S)組成的平行四邊形等價于2個移動副和2個轉動副串聯而成的支鏈，因此，子并聯機構的2條支鏈的拓撲結構可記為

串聯的2個轉動副的拓撲結構為

該機構的POC集計算如下：

(1)選定動平臺1上任一點為基點。

(2)確定HSOC末端構件的POC集。設b為子并聯機構輸出桿上的點，則由式(1)、式(2)得b點處的POC集：

(3)

其中，t、r分別表示移動和轉動，下同，則

(3)確定動平臺的POC集。無約束支鏈 (RSS)的POC集為3T3R，因此，由式(2)有

(4)

即動平臺1可產生3個平移和1個繞轉動副R13軸線的轉動。

1.3 自由度

并聯機構的自由度公式[16]為

(5)

(6)

(1)確定第一個回路的獨立位移方程數ξL1。因第一個獨立回路為上述子并聯機構(RPa3R),則由式(6)得

由式(5)得該子并聯機構的自由度：

(2)確定第二個回路的獨立位移方程數ξL2。第二個獨立回路由混合支鏈和一條無約束支鏈S23-S22-R21組成。由式(6)得

由式(5)得第二個子并聯機構的自由度：

(3)確定第三個回路的獨立位移方程數ξL3。第三個獨立回路由上述第二個子并聯機構和S33-S32-R31組成。由式(6)得

(4)確定機構自由度。由式(5)得該機構的自由度：

因此,由式(4)知，若取機架上的4個轉動副為主動副R11、R21、R31、R41，則動平臺1產生3T1R的輸出運動。

1.4 耦合度

由基于單開鏈(SOC)的機構組成原理知，任一機構可分解為一系列單開鏈，第j個單開鏈(SOCj)的約束度為

(7)

式中，mj為第j個單開鏈的運動副數；fi為第i個運動副的自由度(不含局部自由度)；Ij為第j個單開鏈的驅動副數。

一組有序的v個單開鏈可構成一個獨立回路數為v的基本運動鏈，對一個基本運動鏈而言，須

(8)

因此，耦合度為

(9)

由式(7)可知，該機構包含的3條單開鏈及其約束度分別為

由(8)式可知，因Δ1=0，則由單開鏈SOC1構成第一個基本運動鏈BKC1；因Δ2+Δ3=0，則由SOC2、SOC3構成第二個基本運動鏈BKC2。由式(9)可知，這兩個基本運動鏈的耦合度分別為

這樣，該機構只包含2個基本運動鏈，其耦合度分別為0、1。因此，BKC1易得到位置正解解析解；對于BKC2，易得到僅含1個虛擬變量的一元高次封閉位置方程，并可求得其位置正解數值解[19-20]，從而求出機構的位置正解。

2 機構位置分析

2.1 基于單開鏈的機構位置正解求解方法

由式(7)可知，單開鏈有約束度為正值、零、負值三種形式，因此，基于單開鏈的位置正解封閉求解建模方法如下：

(5)用Mathematica軟件對上述位置方程進行符號處理，得到一元高次的位置正解封閉方程。

(6)用非線性方程的一般求解方法(迭代法、二分法等)或直接應用Mathematica軟件求解位置方程。

2.2 位置正解求解

已知：輸入角θ1、θ2、θ3、θ4，求動平臺1上P點的坐標(x,y,z)及轉角α。

如圖1所示，設機構靜平臺0為正方形，與靜平臺0相連接的4個轉動副R11、R21、R31、R41分布在各邊的中點。不失一般性，在靜平臺0上建立OXYZ坐標系，O為靜平臺0的重心，X軸垂直R11的軸線，Y軸平行于R11的軸線；在等腰直角三角形的動平臺1上建立PUVW坐標系，P點與轉動副R13重合，U軸、V軸分別與S33R13、S23R13重合；Z軸、W軸則由右手笛卡兒坐標系法則確定。為理解方便，將該機構俯視展開，如圖2所示。

圖2 機構的俯視展開表達Fig.2 Plan view of PM

該機構的結構參數如下：正方形靜平臺0的邊長為2l1，動平臺1直角邊長為l2；R11a=R21S22=R31S32=R41R42=l3(l3≠l1)，ab=S22S23=S32S33=R42R43=l4；其余桿長分別為S3b=S3R43=l5，cR12=l6，R12b=R13c=l7。設R11a、R31S32與X軸正向的夾角為θ1、θ3；R21S22、R41R42與Y軸正向的夾角為θ2、θ4，如圖1所示；設U(V)軸與X(Y)軸正向的轉角為動平臺姿態角α；R12R13與X軸正向的夾角δ*為虛擬角值，如圖2所示。

2.2.1建立機構位置方程

易知，在靜坐標系OXYZ下，靜平臺1上4個轉動副R11、R21、R31、R41的坐標分別為(l1,0,0)、(0,-l1,0)、(-l1,0,0)、(0,l1,0)；點a、球副S22、S32及轉動副R42的坐標分別為(l1+l3cosθ1,0,l3sinθ1)、(0,-l1+l3cosθ2,l3sinθ2)、(-l1+l3cosθ3,0,l3sinθ3)、(0,l1+l3cosθ4,l3sinθ4)。

(1)BKC1的位置求解。易知，由SOC1構成BKC1。由ab=R42R43=l4，有

(10)

由式(3)可知，子并聯機構(RPa3R)中短桿S3S4上b點的輸出為兩平移(2T)，因此，在機構運動過程中，構件S3S4只能在OYZ平面內運動，且始終與Y軸重合，因此，xb=0即轉動副R43的坐標為(0,yb+2l5,zb)。

將R43的坐標代入式(10)，并整理得

Ayb+Bzb=C

(11)

A=0時，

(12)

A≠0時，

(13)

D=A2+B2E=2(BC+zaA2)

(2)BKC2的位置求解。易知，由SOC2、SOC3構成BKC2。

①對SOC2(Δ2>0)而言。由圖2知，轉動副R13坐標為(l6cosδ*，yb+l6sinδ*，zb+2l7)，即動平臺p點坐標分量為

(14)

上標*表示該物理量為虛擬角δ*的函數，下同。

則

根據S22S23=l4，建立約束方程：

整理得

A1sinα+B1cosα+C1=0

(15)

A1=2l2x*B1=2l2(yS22-y*)

進一步，得

(16)

②對SOC3(Δ3<0)而言。在SOC3(Δ3<0)上應建立約束方程。S33的絕對坐標為

由S32S33=l4，建立位置約束方程：

(17)

2.2.2用Mathematica對位置方程進行符號處理

令t=tan(α*/2)，用Mathematica對式(17)進行符號處理，得

(18)

A2=(x*+l2-xS32)2+(y*-yS32)2+

B2=4l2yS32-4l2y*

C2=(l2-x*+xS32)2+(y*-yS32)2+

將α*的值代入式(18)，得

(19)

f=2A1A2+B2gg=B1-C1

(20)

令u=tan(δ*/2)，對式(20)展開并整理得

(21)

(22)

其中，G0、G1、…、G6為常系數，具體數值見文獻[20]。

2.2.3求解位置方程

用非線性高次方程的一般求解方法(迭代法、二分法等)或直接應用Mathematica軟件求出式(22)的實根，再由式(14)可得到機構動平臺P點坐標；進一步，由式(16)(或R13、S33的位置)可求動平臺的姿態角α。

由式(14)知，x=φ(θ1,θ2,θ3,θ4)，z=φ(θ1,θ4)，y=f(θ1,θ2,θ3,θ4)，α=η(θ1,θ2,θ3,θ4)，即z僅由θ1、θ4決定，因此，該機構具有輸入-輸出部分運動解耦性。

2.3 位置逆解分析

已知：動平臺P點的坐標(x,y,z)和姿態角α，求輸入角θ1、θ2、θ3、θ4。

2.3.1求b點坐標

由cR12=l6，建立約束方程：

(23)

解之有

(24)

2.3.2求輸入角θ1、θ2、θ3、θ4

位置正解已求出球副S23、S33的坐標，現由4個從動臂ab、S22S23、S32S33、R42R43的桿長條件，建立如下約束方程：

(25)

(26)

(27)

(28)

由式(25)～式(28)可得

(29)

i=1,2,3,4

綜上可知，當動平臺P點的坐標和姿態角α已知時，輸入角θ1、θ2、θ3、θ4各有兩組解，b點的坐標有兩組解，故逆解數為2×16=32，因此，動平臺有32種構型。

2.4 正逆解驗證

參考ABB機器人I4R的尺寸參數，兩個平行四邊形和輸入桿的尺寸參數與之相同[21]，即l3=350 mm，l4=800 mm；其他結構參數分別為l1=300 mm，l2=150 mm，l5=100 mm，l6=200 mm，l7=25 mm。

(Ⅰ)輸入角θ1、θ2、θ3、θ4分別為62.185 4°、128.454 6°、134.557 2°、47.626 9°。考慮該機構實際工作構型，取zb>0；根據式(22)，整理得

f(u)=(1.889 1-1.407 0u+1.071 7u2-1.110 2u3+
0.913 5u4+0.524 0u5+4.980 2u6×10-2)×1016

用Mathematica解得其實根：u1=-7.719 1，u2=-3.944 0；再代入式(14)、式(16)，得到位置正解，如表1中Ⅰ組數據所示，其中，No.2組正解所對應的裝配構型如圖3a所示。

(Ⅱ)輸入角θ1、θ2、θ3、θ4分別為50°、140°、140°、50°。取zb>0，由式(22)，整理得

f(u)=(5.016 65-5.927 57u+4.020 35u2-
4.787 76u3+3.571 50u4-1.007 62u5-
0.096 78u6)×1016

同樣，解得其實根分別為u1=-13.448 6，u2=1.206 98；再代入式(14)、式(16)，解得的位置正解如表1中Ⅱ組數據所示。

表1 位姿正解數值

現取Ⅰ組中No.2正解數值，代入式(29)，取yb>y，則逆解組數減少為16，其中，求得一組輸入角θ1=62.185 4°，θ2=128.454 3°，θ3=134.557 2°，θ4=47.626 9°，其所對應的裝配構型如圖3b所示，這和已知的Ⅰ組的4個輸入角一致，即圖3a、圖3b所示的為同一個構型，證明了正逆解的正確性。

(a)俯視圖

(b)三維立體圖圖3 Ⅰ組No.2正解所對應的裝配構型Fig.3 Configuration for the solution No.2 of group Ⅰ

3 機構工作空間和動平臺轉角分析

3.1 基點工作空間分析

并聯機構的基點工作空間即為末端執行器的工作區域，其大小是衡量并聯機構性能的一個重要指標。本文采用極限邊界搜索法[22]來分析該并聯機構拓撲結構的工作空間，即預先設定該機構工作空間的Z向角度范圍，通過改變搜索半徑ρ、搜索角度θ來找到工作空間的邊界。

先將搜索范圍限制在：400 mm≤z≤1 200 mm， -π≤θ≤π，0≤ρ≤300 mm；運用MATLAB軟件編程，得到機構工作空間的三維立體圖(圖4)，圖5為不同高度z處的X-Y截面圖。

圖4 機構工作空間的三維立體圖Fig.4 3D workspace of the PM

由圖4、圖5可以看出：

①400 mm≤z≤500 mm時，該機構工作空間截面不連續；

②500 mm≤z≤1 150 mm時，該機構工作空間呈較規則的連續截面，且具有較好的對稱性，但隨著z的增加，其截面面積逐漸減小；

(a)z=400 mm(b) z=500 mm

(c)z=800 mm(d)z=1 000 mm圖5 機構工作空間的X-Y截面圖Fig.5 Cross-section of the workspace

③由于轉動副R12只能在x=0的OYZ平面上移動，動平臺上P點在X方向的兩個極限位置完全取決于桿cR12的長度，因此，-200 mm≤x≤200 mm。

3.2 機構動平臺轉角分析

動平臺轉角分析在實際應用中具有重要意義[23]。對于并聯機構，動平臺基點處于工作空間內某一位置時，動平臺的姿態角存在一定范圍。根據逆解方程，采用極限邊界搜索法，可求出基點處于工作空間內任一點時的轉角范圍。現取z=800 mm，基于MATLAB，計算該機構在工作空間內OXY平面上最小值αmin、最大值αmax的分布如圖6所示。

圖6中，區域A、B為工作空間內的同一個區域(z=800 mm)。由圖6a可知，區域A內各點的轉角的最小值均為-180°，由圖6b可知，區域B內各點的轉角的最大值均為180°，即動平臺基點在該區域內的轉角范圍為[-180°,180°]，且該區域面積約為0.352 m2，約占該層工作空間截面總面積0.494 m2的72%，因此，在z=800 mm的平面內，該機構具有很好的轉動能力。同樣，可計算出其他不同高度z處的X-Y截面上各點處轉角范圍，發現該機構也具有很好的轉動能力。

(a) αmin的分布

(b)αmax的分布圖6 z=800 mm時機構工作空間內各點的轉角能力Fig.6 Rotation capability of any point inside workspace when z=800 mm

4 奇異性分析

4.1 雅可比矩陣

式(25)～式(28)兩邊同時對時間t求導，得

(30)

i=1,2,3,4

JpV=Jqω

(31)

Jq=diag(u11,u22,u33,u44)

依據Jp、Jq矩陣是否奇異，將機構的奇異位形分為如下三類：①detJq=0時，機構發生輸入奇異；②detJp=0時，機構發生輸出奇異；③detJp=detJq=0時，機構發生綜合奇異。

4.2 奇異性分析

4.2.1輸入奇異

當機構發生輸入奇異時，機構的執行構件將失去某個方向的運動能力，則至少有一個運動鏈到達了工作空間的邊界。此時滿足detJq=0，方程解的集合G為

G={G1∪G2∪G3∪G4}

(32)

G1={(za-zb)cosθ1+xasinθ1=0}，即R11、a、b三點在OXZ平面上投影共線；

G2={(zS22-zS23)cosθ2-(yS22-yS23)sinθ2=0}，即R21、S22、S23三點在OYZ平面上投影共線；

G3={(zS32-zS33)cosθ3-(xS32-xS33)sinθ3=0}，即R31、S32、S33三點在OXZ平面上投影共線；

G4={(zR42-zR43)cosθ4-(yR42-yR43)sinθ4=0}，即R41、R42、R43三點共線；

滿足G1的三維CAD構型如圖7所示。

圖7 輸入奇異位形Fig.7 Configurationof input singularity

4.2.2輸出奇異

在輸出奇異的情況下，當所有的主動件鎖住時，執行構件依舊可以產生局部運動。此時，若機構末端執行器上作用有限的力，那么主動件上將需無窮大的驅動力才能達到力平衡。設：

(fi1,fi2,fi3)=ei

(33)

(fj1,fj2,fj3,fj4)=Ej

(34)

(1)2個向量線性相關。若ke1=e2，取k[f12f13]=[f22f23]，即向量S22S23和ab在OYZ平面上的投影平行，則

即向量S22S23在OXY平面上的投影、cR12和R13S33相互平行，其三維CAD模型如圖8所示。e1和e3、e2和e4、e3和e4線性相關的條件與之相似(略)。

圖8 輸出奇異位形舉例①Fig.8 Example ① of the configuration of output singularity

若e1=ke4，取[f12f13]=k[f42f43]，即向量S42S43和ab在OYZ平面上的投影平行，則

其三維CAD模型如圖9所示。

圖9 輸出奇異位形舉例②Fig.9 Example ② of the configuration of output singularity

若e2=ke3，即[f21f22f23]=k[f31f32f33]，則

kf34=k(f31l2sinα-f32l2cosα)=f21l2sinα-
f22l2cosα=f22l2sinα+f21l2cosα

即f21(sinα-cosα)=f22(sinα+cosα)，由于向量S22S23和S32S33平行且相等，故zS22=zS32且S22S32‖S23S33。根據R21S22=R31S32，得向量S23S33與X軸正方向的轉角為135°，則

f21=-f22

(35)

即向量S23S23在OXY平面上的投影與X軸正向的轉角為135°。則S22、S23、S33、S32四點在OXY平面上的投影共線，其三維CAD模型如圖10所示。

圖10 輸出奇異位形舉例③Fig.10 Example ③ of the configuration of output singularity

(2)3個向量線性相關。若e2=k1e1+k2e4(k1k2≠0)，取

則

即向量S22S23在OXY平面上的投影、cR12和R13S33相互平行且向量S22S23、ab、S32S33在OYZ平面上的投影均不平行。只要向量S22S23在OXY平面上的投影、cR12和R13S33相互平行，則機構發生輸出奇異。同理可得其他情況成立的條件。

(3)4個向量線性相關。若向量e1、e2、e3、e4線性相關，則有

e1=k1e2+k2e3+k3e4k1k2k3≠0

由第(2)種情況分析方法，可以很快得出該種情況不成立。

4.2.3綜合奇異

當機構發生綜合奇異時，雅可比矩陣滿足detJp=detJq=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發生。例如：機構滿足R21、S22、S23三點在OYZ平面上投影共線且向量S22S23在OXY平面上的投影、cR12和R13S33相互平行，其三維CAD構型如圖11所示。

圖11 綜合奇異位形Fig.11 Configuration of mixed singularity

5 結論

(1)根據基于序單開鏈運動學建模原理，給出了機構位置正解的封閉方程，并求得其全部位置正解。

(2) 基于位置反解，對機構工作空間進行了分析，結果表明：z∈[500 mm,1 150 mm]時，該機構具有較規則的對稱連續工作空間；工作空間X方向上的兩個極限位置完全取決于桿cR12的長度。

(3)機構動平臺繞其法線的整體轉動能力很強，為該機構一個較突出的優點。

(4) 基于機構的位置反解，求解了該機構的雅可比矩陣，得到了該機構三種奇異位形發生的條件及其位置。

參考文獻：

[1] YEN P L，LAI C H.Dynamic Modeling and Control of a 3-DOF Cartesian Parallel Manipulator[J]. Mechatronics, 2009，19(3):390-398.

[2] 張志勝，鄭建勇，史金飛，等.一種運動解耦的XY向精密定位平臺，中國：101556933A[P]. 2009-10-14.

ZHANG Zhisheng，ZHEN Jianyong，SHI Jinfei，et al. A Motion DecouplingXYPositioning Platform， China: 101556933A[P]. 2009-10-14.

[3] 童幸，高峰，張勇. 操作機主運動機構的解耦性研究[J].機械工程學報，2010，46(11)：14-20.

TONG Xing，GAO Feng，ZHANG Yong. Research on Decoupling Performance of Major-motion Mechanism for Forging Manipulators[J]. Journal of Mechanical Engineering，2010，46(11)：14-20.

[4] 石志新，羅玉峰，葉梅燕. 一類新型5自由度解耦并聯機器人機構及位置分析[J].機床與液壓，2010，38(17)：5-7.

SHI Zhixin，LUO Yufeng，YE Meiyan. Configuration Design and Displacement Analysis for a Class of Novel Fully Decoupling 5-DOF Parallel Manipulators [J]. Machine Tool & Hydraulics，2010，38(17)：5-7.

[5] ALTUZARRA O，LOIZAGA M，PINTO C，et al. Synthesis of Partially Decoupled Multi-level Manipulators with Lower Mobility[J]. Mechanism & Machine Theory，2010，45(1):106-118.

[6] GLAZUNOV V.Design of Decoupled Parallel Manipulators by Means of the Theory of Screws[J]. Mechanism & Machine Theory，2010，45(2)：239-250.

[7] 張帆，張丹.基于支鏈驅動理論的解耦球面轉動并聯機構型綜合[J].農業機械學報，2011，42(11)：195-199.

ZHANG Fan，ZHANG Dan.Structural Synthesis of Decoupled Spherical Parallel Mechanism Based on Driven-chain Principle[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2011，42(11)：195-199.

[8] LEGNANI G，FASSI I，GIBERTI H，et al.A New Isotropic and Decoupled 6-DoF Parallel Manipulator[J]. Mechanism & Machine Theory，2012，58(3)：64-81.

[9] 竇玉超，曾達幸，李明洋，等.一種兩轉一移完全解耦并聯機器人機構及其特性分析[J].中國機械工程，2014，25(2)：241-245.

DOU Yuchao，ZENG Daxing，LI Mingyang，et al. Analysis of a 2T1R Fully Decoupled Parallel Robot Mechanism and Its Characteristics[J].China Mechanical Engineering，2014，25(2)：241-245.

[10] 沈惠平，熊坤，孟慶梅，等.并聯機構運動解耦設計方法及其應用[J].農業機械學報，2016，47(6)：348-356.

SHEN Huiping，XIONG Kun，MENG Qingmei，et al. Design Methods for Kinematic Decoupled Parallel Mechanisms and Applications[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2016，47(6)：348-356.

[11] KRUT S，NABAT V，PIERROT F. Heli4: A Parallel Robot for Scara Motions with a Very Compact Traveling Plate and a Symmetrical Design[C]//2006 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Beijing，2006：1656-1661.

[12] GOGU G.Structural Synthesis of Fully-isotropic Parallel Robots with Sch?nflies Motions via Theory of Linear Transformations and Evolutionary Morphology [J]. European Journal of Mechanics-A/Solids，2007，26 (2)：242-269.

[13] 羅玉峰，劉卓，石志新，等.三平移一轉動并聯機構型綜合及分類[J].機械設計與研究，2010，26(5)：40-43.

LUO Yufeng，LIU Zhuo，SHI Zhixin，et al.Structural Synthesis and Classification of 3-translational and 1-rotation Parallel Manipulator[J].Machine Design and Research，2010，26(5)：40-43.

[14] XIE F，LI T，LIU X.Type Synthesis of 4-DOF Parallel Kinematic Mechanisms Based on Grassmann Line Geometry and Atlas Method[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2013，26(6)：1073-1081.

[15] LI Zhibin，LOU Yunjiang，ZHANG Yongsheng，et al. Type Synthesis, Kinematic Analysis, and Optimal Design of a Novel Class of Sch?nflies-Motion Parallel Manipulators [J]. IEEE Transactions on Automation Science & Engineering，2013，10(3)：674-686.

[16] 楊廷力，劉安心，羅玉峰，等.機器人機構拓撲結構設計[M].北京：科學出版社，2012.

YANG Tingli，LIU Anxin，LUO Yufeng，et al. Theory and Application of Robot Mechanism Topology[M]. Beijing：Science Press，2012.

[17] 沈惠平，楊廷力，孟慶梅，等.一種三平移一轉動并聯機器人平臺裝置,中國：201610403796.4[P]. 2016-6-8.

SHEN Huiping，YANG Tingli，MENG Qingmei，et al. A Three Translation and One Rotation Parallel Robot Platform Device, China: 201610403796.4[P]. 2016-6-8.

[18] YANG Tingli，LIU Anxin，SHEN Huiping，et al. Topology Design of Robot Mechanisms[M]. Singapore: Springer Publishing Company，2018.

[19] 沈惠平，尹洪波，王振，等.基于拓撲結構分析的求解6-SPS并聯機構位置正解的研究[J].機械工程學報，2013，49(21)：70-80.

SHEN Huiping，YIN Hongbo，WANG Zhen，et al. Research on Forward Position Solutions for 6-SPS Parallel Mechanisms Based on Topology Structure Analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering，2013，49(21)： 70-80.

[20] 沈惠平.基于序單開鏈法建模的代數法求解機構位姿[R].常州：常州大學現代機構學研究中心，2016.

SHEN Huiping.The Solution of Mechanism Based on the Ordered SOCS Modeling Method[R]. Changzhou： Center for Modern Institutional Studies，Changzhou University，2016.

[21] 劉平松.I4R型并聯機器人全域性能及其優化研究[D].南京：南京理工大學，2013.

LIU Pingsong.Global Performance and Optimization of I4R Parallel Robot[D].Nanjing：Nanjing University of Science and Technology，2013.

[22] 黃真，孔令富，方躍法.并聯機器人機構學理論及控制[M].北京：機械工業出版社，1997.

HUANG Zhen， KONG Lingfu， FANG Yuefa.Parallel Robot Mechanism Theory & Control[M].Beijing：China Machine Press，1997.

[23] XIE Fugui，LIU XinJun. Design and Development of a High-speed and High-rotation Robot with Four Identical Arms and a Single Platform[J].Mechanisms and Robotics，2015，7 (4)：041015.