多因素條件下單級齒輪系統的非線性特性

彭毓敏 馬 超 欒忠權 徐小力

北京信息科技大學現代測控技術教育部重點實驗室，北京，100192

0 引言

齒面摩擦、齒側間隙、嚙合阻尼以及時變嚙合剛度等影響因素使得齒輪傳動的動力學系統具有復雜的強非線性，這種強非線性振動對系統的安全性、穩定性、可靠性及工作性能有很大的影響，實際應用中，我們應該從各個方面來減小這種不利的影響。基于此，國內外學者對齒輪傳動系統的非線性現象做了大量的研究與分析[1-9]。何航紅[10]建立了齒側間隙變化的齒輪傳動系統非線性動力學模型，探討了不同齒側間隙下的齒輪傳動系統吸引子的變化。陳思雨等[11]建立了常間隙、時變間隙和隨機間隙三種不同的間隙形式，利用數值仿真的方法研究了輪齒間隙對齒輪系統動力學響應的影響。王帥寶等[12]基于 Poincare 映射，建立了二自由度齒輪傳動系統的數學模型，并通過數值仿真說明齒輪傳動系統存在倍周期分岔、Hopf 分岔和混沌等復雜的非線性現象。盛冬平等[13]采用集中質量法建立了齒輪-轉子-軸承系統的六自由度多間隙彎扭耦合的非線性振動模型，研究了齒面摩擦、時變嚙合剛度、齒側間隙和支撐間隙等因素對系統分岔特性的影響。

目前進行的理論研究多是分析純扭轉齒輪振動模型，或在彎扭耦合模型中分析嚙合頻率的變化，或在齒側間隙不變的情況下分析對系統動力學特性的影響。本文以三自由度的多間隙彎扭耦合的非線性動力學模型為研究對象，模型考慮了齒輪系統阻尼、嚙合剛度、齒側間隙及軸承支撐間隙，綜合分析了齒側間隙、軸承支撐間隙耦合下，激勵頻率變化對系統動力學特性的影響；激勵頻率一定條件下，齒側間隙、軸承支撐間隙偶合變化對系統動力學特性的影響。運用分岔圖、時間歷程圖、相平面圖、Poincare圖、頻譜圖，分析參數變化對齒輪系統穩態響應的影響，總結齒輪系統的周期運動和混沌運動。

1 齒輪非線性動力學模型

對于單對齒輪副的齒輪-轉子-軸承系統，假設傳動軸和軸承均對稱于齒輪的中心平面，系統可以處理成為具有3個自由度的平面彎-扭耦合振動系統，建立其動力學模型。如圖1所示，3個自由度分別為齒輪繞旋轉中心的轉動自由度和主動、被動齒輪y方向上的平移自由度。

圖1 系統動力學模型Fig.1 Dynamic model for gear train

圖1中，下標1、2分別代表主動齒輪、被動齒輪。其中，θi(i=1，2)為齒輪的扭轉振動位移，yi為齒輪y方向的振動位移，ri為齒輪的基圓半徑。由于不考慮傳動軸等的具體振動形式，故可將傳動軸、軸承和箱體等的支撐剛度和阻尼用組合等效值k1、k2和c1、c2來表示，嚙合阻尼系數為c0，嚙合剛度系數為k0。

1.1 運動微分方程建立

對于該齒輪系統，系統的動能可表示為

系統的勢能可表示為

式中，f1、f2、f0為齒輪副上的間隙非線性函數；e為嚙合誤差。

系統的耗能可表示為

由拉格朗日方程

式中，qj為各方向的振動位移；Fj為各方向受到的作用力。

可得系統的彎扭耦合分析模型：

(1)

式中，F1、F2分別為作用在主動、被動齒輪上的動態嚙合力；Fm為由激勵扭矩的平均分量引起的輪齒嚙合力；FaT(t)為由激勵扭轉的變動分量引起的輪齒嚙合力。

定義動態傳遞誤差與靜態傳遞誤差的差值y0=y3+y1-y2-e，則可將式(1)進一步簡化，寫成矩陣形式：

(2)

1.2 系統的量綱一方程

(3)

分析模型中的間隙非線性函數為

(4)

j=0,1,2

2 系統非線性動態特性分析

假設具有零初始位移條件，觀察間隙和頻率的變化對系統動力學特性的影響。

2.1 系統隨激勵頻率變化的動力學特性

圖2 齒輪系統隨激勵頻率變化分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram by excitation frequency for gear train

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(c)Poincare圖 (d)頻譜圖圖3 =0.5的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖Fig.3 Time history plot, phase diagram, Poincare diagram and frequency spectrum when is 0.5

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(c)Poincare圖 (d)頻譜圖圖4 =0.65的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖Fig.4 Time history plot, phase diagram, Poincare diagram and frequency spectrum when is 0.65

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(c)Poincare圖 (d)頻譜圖圖5 =0.85的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖Fig.5 Time history plot, phase diagram, Poincare diagram and frequency spectrum when is 0.85

2.2 系統隨齒側間隙b0變化的動力學特性

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(c)Poincare圖 (d)頻譜圖圖6 =0.89的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖Fig.6 Time history plot, phase diagram, Poincare diagram and frequency spectrum when is 0.89

圖7 =1.4時系統隨齒側間隙變化分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram by gear backlash when is 1.4

由圖7可以看到，當齒側間隙b0從大到小變化時，齒輪系統從穩定的單周期運動經倍周期分岔進入二倍周期運動，然后由二倍周期運動經激變直接進入混沌。

齒側間隙b0=0，0.02，0.1不同時，齒輪系統的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖見圖8～圖10。

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(c)Poincare圖 (d)頻譜圖圖8 b0=0的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖Fig.8 Time history plot, phase diagram, Poincare diagram and frequency spectrum when b0 is 0

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(c)Poincare圖 (d)頻譜圖圖9 b0=0.02的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖Fig.9 Time history plot, phase diagram, Poincare iagram and frequency spectrum when b0 is 0.02

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(c)Poincare圖 (d)頻譜圖圖10 b0=0.1的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖Fig.10 Time history plot, phase diagram, Poincare diagram and frequency spectrum when b0 is 0.1

圖11 =1.5時系統隨齒側間隙變化分岔圖Fig.11 Bifurcation diagram by gear backlash when is 1.5

觀察齒側間隙b0=0，0.5時的齒輪系統時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖。b0=0時的系統的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖為圖12、圖13。

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(a)時間歷程圖 (b)相平面圖

(c)Poincare圖 (d)頻譜圖圖13 b0=0.5的時間歷程響應、相平面曲線、Poincare圖和頻譜圖Fig.13 Time history plot, phase diagram, Poincare diagram and frequency spectrum when b0 is 0.5

由圖12、圖13可知，b0=0.5時的齒輪系統振幅比較大，說明隨著齒側間隙的增大，齒輪系統的振動幅增大，但并沒有改變齒輪系統的運動狀態，系統的動態特性只有量的改變，沒有發生質的影響，表明此種情況下系統的響應對間隙不敏感。

3 結論

(1)系統在固定的齒側間隙和軸承支撐間隙下，隨著激勵頻率的變化表現出不同的運動狀態。在一定的激勵頻率范圍內，隨著激勵頻率的增大，系統由單周期運動狀態激變為混沌運動，然后由混沌運動激變為雙周期運動。隨后，由雙周期運動經倍周期分岔進入四周期運動，之后經歷逆倍周期分岔變為雙周期運動，最后變為單周期運動狀態。

(2)在不同的激勵頻率下，齒側間隙的變化對齒輪系統動力學特性的影響不同。在特定范圍內，齒側間隙的變化只改變系統的振動幅值，并不會改變其動力學特性。當系統處于混沌運動狀態時，齒側間隙的增大可以使系統由混沌運動變為周期運動。

參考文獻：

[1] NEVZAT O H, HOUSER D R. Mathematical Models Used in Gear Dynamics—a Review [J]. Journal of Sound and Vibration,1988,121 (3) :383-411.

[2] KAHRAMAN A, SINGH R. Non-linear Dynamics of a Spur Gear Pair [J]. Journal of Sound and Vibration, 1990, 142(1):49-75.

[3] KAHRAMAN A, SINGH R. Nonlinear Dynamics of a Geared Rotor-bearing System with Multiple Clearances [J]. Journal of Sound and Vibration ,1991,144(3):469-506.

[4] KAHRAMAN A, SINGH R. Interactions between Time-varying Mesh Stiffness and Clearance Non-linearities in a Geared System [J]. Journal of Sound and Vibration, 1991,146(1):135-156.

[5] HOWARD I, JIA S, WANG J. The Dynamic Modeling of a Spur Gear in Mesh including Friction and a Crack [J]. Mech. Syst. Signal Process, 2001,15(5):831-853.

[6] THEODOSSIADES S. Non-linear Dynamics of Gear-pair Systems with Periodic Stiffness and Backlash [J]. Journal of Sound and Vibration, 2000,229(2):287-310.

[7] AL-SHYYAB A, KAHRAMAN A. Non-linear Dynamic Analysis of a Multi-mesh Gear Train Using Multi-term Harmonic Balance Method: Sub-harmonic Motions [J]. Journal of Sound and Vibration,2005,279 (1) :417-451.

[8] 蘇程，黃志丹.單自由度齒輪系統的周期運動和混沌運動[J].甘肅農業大學學報，2012，47(3):134-137.

SU Cheng, HUANG Zhidan. Periodic Motions and Chaotic Motion in Single Degree of Freedom Spur Gear Pair System[J]. Journal of Gansu Agricultural University, 2012，47(3):134-137.

[9] 李英明，陳衛東，陳奇，等.齒側間隙對齒輪副非線性振動特性的影響研究[J].機械傳動，2013,37(5)：1-5.

LI Yingming, CHEN Weidong, CHEN Qi, et al. Research of the Influence of Gear Backlash on Gear Pair Nonlinear Vibration Characteristic[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2013,37(5)：1-5.

[10] 何航紅.齒側間隙對齒輪系統動力學行為的影響[J].機械設計與制造，2012(7)：281-283.

HE Hanghong. Effect of Backlash on Dynamics Behavior of Gear System [J]. Machinery Design & Manufacture, 2012(7)：281-283.

[11] 陳思雨，唐進元. 間隙對含摩擦和時變剛度的齒輪系統動力學響應的影響[J].機械工程學報，2009,45(8)：119-124.

CHEN Siyu, TANG Jinyuan. Effect of Backlash on Dynamics of Spur Gear Pair System with Friction and Time-varying Stiffness[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009,45(8)：119-124.

[12] 王帥寶，莫云輝，張黎明. 含間隙和時變嚙合剛度齒輪傳動系統的分岔和混沌[J].設計與研究，2009，36(5)：25-28.

WANG Shuaibao, MO Yunhui, ZHANG Liming. Bifurcation and Chaos of the Gear System with Backlash and Time-varying Mesh Stiffness[J]. Design and Research, 2009，36(5)：25-28.

[13] 盛冬平，朱如鵬，靳廣虎，等.考慮摩擦的多間隙直齒彎扭振動建模和分岔特性[J].航空動力學報，2015,30(2)：498-505.

SHENG Dongping, ZHU Rupeng, JIN Guanghu, et al. Bifurcation Characteristic and Modeling of Transverse-torsional Spur Gear Vibration Considering Friction and Multiple Clearances [J]. Journal of Aerospace Power, 2015,30(2)：498-505.

[14] 李潤方,王建軍.齒輪系統動力學——振動、沖擊、噪聲[M].北京:科學出版社,1997.

LI Runfang, WANG Jianjun. Dynamics of Gear System: Vibration, Shock and Noise[M]. Beijing: Science Press,1997.