兩種高階導(dǎo)數(shù)求解方法的比較

楊 磊

（大連財經(jīng)學院 基礎(chǔ)部，遼寧 大連 116000）

求高階導(dǎo)數(shù)既是微積分學習中的一個重點，又是一個難點.在考研數(shù)學中考察求高階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，主要有兩種方法：一是直接法.即對函數(shù)f(x)逐階求導(dǎo)數(shù)，找出其規(guī)律，歸納總結(jié)寫出n階導(dǎo)數(shù)公式.若f(x)是由兩個函數(shù)乘積構(gòu)成，可用萊布尼茲公式，即二是間接法.即先寫出y=f(x)在x0處泰勒展開式，再通過比較同次項的系數(shù)求得f(n)(x0)，具體步驟如下：

(1)寫出無窮階可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點x0處抽象的泰勒展開式，即.若 x0=0，則 f(x)的麥克勞林展開式為

(2)將函數(shù)f(x)在點x0處展成具體的已知冪級數(shù)形式，即若x0=0，f(x)展成冪級數(shù)為

(3)根據(jù)函數(shù)f(x)展開式的唯一性，比較(1)、(2)式同次項

這兩種求高階導(dǎo)數(shù)的方法都有自己的特點，我們可以通過以下求高階導(dǎo)數(shù)的例題來比較兩種方法在化簡和計算上的優(yōu)劣，并進行對比分析.

例1 設(shè)y=x3sinx，求f6(0).

解 方法一：直接法.

方法二：間接法.

因為函數(shù)y=x3sinx無窮可導(dǎo)，所以在x0=0點先將其抽

例2 求函數(shù)y=ln(1-2x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)y(n)(0)

解 方法一：直接法.

方法二：間接法.

由于函數(shù)y=ln(1-2x)無窮階可導(dǎo)，則在x0=0點可以先將其抽象展開為將函數(shù)y=f(x)用已知公式寫出冪級數(shù)形式，根據(jù)函數(shù)展開的唯一性，比較兩個式子的同次項的系數(shù)，則有，因此

通過例1，例2，我們可以看到先用泰勒公式將函數(shù)展開，寫出x0=0點處冪級數(shù)的形式，再用待定系數(shù)法進行比較，就可以求出任意階的導(dǎo)數(shù)f(n)(0).避免了高階求導(dǎo)的計算繁瑣過程，第二種間接法比第一種直接法更為穩(wěn)妥和優(yōu)越.但間接法也有它的劣勢，因為間接法適合求在某一點處的高階導(dǎo)數(shù)值，已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式也是比較有限，如果求高階導(dǎo)函數(shù)或表達式復(fù)雜的函數(shù)還是直接法比較方便.

分析：此題是求n階導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)表達式比較復(fù)雜，所以要先對函數(shù)進行有效的恒等變形，然后再求n階導(dǎo)數(shù),本題用直接法最好.

解 先對函數(shù)整理變型

例4 已知函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，且f(x)=(x+1)2+2則當n≥2時，求f(n)(0).

分析：f(x)是一個抽象函數(shù)，我們只能通過題設(shè)中的等式關(guān)系求高階導(dǎo)數(shù).

解 方法一：直接法.

方法二：間接法.

由于函數(shù)f(x)無窮階可導(dǎo)，故在x0=0點冪級數(shù)的展開式為，代入已知條件的等式中得

比較(1)式中等式兩邊同次項的系數(shù)，可得

用間接法求時，這道題的難點是在函數(shù)的冪級數(shù)展開式上.一般說，要么直接展成已知冪級數(shù)的形式，要么對函數(shù)“先導(dǎo)后積”或者“先積后導(dǎo)”的方法處理，再展成已知冪級數(shù)的形式.而直接法只需要多求出幾階導(dǎo)數(shù)來尋找規(guī)律，并不需要“先導(dǎo)后積”或者“先積后導(dǎo)”的處理.

通過以上4道題，我們可以看出用直接法和間接法求高階導(dǎo)數(shù)各有自己的優(yōu)勢.直接法計算量比較大，而間接法更適合技巧性的運算.由于問題的多樣性，所以具體問題具體分析，希望這兩種方法能夠被學生靈活掌握運用.

參考文獻：

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