圓錐曲線最值問題的思考

曾月迪，林嘉沁

（莆田學院 數學與金融學院，福建 莆田 351100）

在數學師范生的培養中，中學數學方法論是重要的一門課，其針對數學思想方法，讓學生的數學素養得到提升.在教學中，圓錐曲線是重要的一個內容.實際上，圓錐曲線不只是中學數學中的問題，而且其有較多應用，如文[1-3]等，所以我們從中學到大學都對圓錐曲線進行研究.而對于中學數學中圓錐曲線的探討如文[4]等，其中圓錐曲線中最值問題的考察知識面廣，綜合性強，對學生知識儲備要求高，因此常常作為中學考試和教師招考的熱門題型，近幾年有較多探討如文[5]等.本文從一道高中數學聯賽題的圓錐曲線最值問題出發，展開思考.

把2013福建高中數學競賽題預賽12題第2小題[6]問題一般化為：如下圖，

問題：已知A、B為拋物線：y2=2px(p＞0)上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限.l1、l2分別過點A、B且與拋物線相切，P 為 l1、l2的交點.設 C、D 為直線 l1、l2與直線 l：x=t(t＞0)的交點，求△PCD面積的最小值.

1 從極端情況探討問題

性質1 若交點P的橫坐標是定值，則P點在x軸上，三角形PCD的面積取到最小值.

證明 設P坐標為 (x0,y0)，x0＜0，過點P的直線方程為y-y0=k(x-x0)，并與拋物線y2=2px聯立得：

若直線與拋物線只有一個交點即直線與拋物線相切，由（1）式得：Δ=0即

由此可知：若 k1，k2為（2）式的兩個根，則.設兩條相切直線與直線x=t(t＞0)的交點為 C(t,y1)、D(t,y2).不妨設 y1＞y2，則

由此可知若x0,t固定時，當y0=0時，(y1-y2)2最小，即y1-y2最小，所以最小.

從而有：

定理1 設點P在直線x=x0＜0上，則過點P與拋物線y2=2px(p＞0)相切的直線，交直線 l：x=t(t＞0)于 C、D 兩點，所構成的三角形PCD的面積當P點在x軸上取最小值，且與拋物線的形狀和直線 的位置無關.

性質2 若P點在x軸上，則原點到P點的距離與原點到l的距離的比值為1：3時，三角形PCD的面積最小，此時

證明 由性質1中的證明可知，若P點在x軸上，

注1 設過點P(x0,y0),x0＜0與拋物線y2=2px(p＞0)相切的直線，交直線l：x=t于C、D兩點，所構成的三角形PCD的面積當P點在x軸上，原點到P點的距離與原點到l的距離的比值為1：3時取最小值，且與拋物線的形狀無關.

2 從問題的正面解決探討問題

設 y1y2=-a2(a＞0)，|y1-y2|=m，由 (y1+y2)2=(y1-y2)2+4y1y2=m2-4a2≥0知，m≥2a，當且僅當y1+y2=0時等號成立.

注2 此時，說明當P的橫坐標固定時，y1+y2=0，m=2a時，SΔPCD最小.那么P的縱坐標為0，即P點在x軸上，SΔPCD最小，這就是上述極端情況中性質1.

例 (2013福建高中數學競賽題)：已知A、B為拋物線C：y2=4x上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限.l1、l2分別過點 A、B 且與拋物線 C 相切，P 為 l1、l2的交點.設C、D為直線l1、l2與直線l：x=4的交點，求△PCD面積的最小值.

解 由上面兩種方法可知：

注2 極端原理是關鍵的數學思想與方法，在師范生數學方法論的教學中，極端原理是關鍵的一部分內容.極端原理在數學問題研究中，對于存在性是經常討論的，并與抽屜原理一般相互應用，有較多的研究如文[7]等.而在解決本文中的問題時，兩種方法難度系數差不多.第一種方法，具體找出了最值存在的情形.如果利用第二種方法，并沒有去探討的坐標 (其實就是極端情況)，直接求解也是能解決問題的.但是這樣就不能找出本質的問題，同時也發現不了問題的實質.

定理2 已知A、B為拋物線：y2=2px(p＞0)上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限.l1、l2分別過點A、B且與拋物線相切，P 為 l1、l2的交點.設 C、D 為直線 l1、l2與直線l：x=t(t＞0)的交點，則所構成的三角形PCD的面積當點A、B關于x軸對稱，即P點在x軸上，原點到P點的距離與原點到l的距離的比值為1：3時，△PCD面積取最小值，且與拋物線的形狀無關.

參考文獻：

〔1〕Liu Y,Xu C.Approximation ofconic section by quartic Bézier curve with endpoints continuity condition[J].Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities,2017,32(1)：1-13.

〔2〕Han X,Guo X.Optimal parameter values for approximating conic sections by the quartic Bézier curves[J].JournalofComputationaland Applied Mathematics，2017,322：86-95.

〔3〕趙歡,喜丘夏.可重建圓錐樣條曲線的帶多參數三點細分法[J].系統仿真學報,2017,29(11)：2624-2628.

〔4〕崔禹.巧用差分法解決圓錐曲線弦的中點問題[J].數學學習與研究,2017（21）：125-126.

〔5〕韓文美.圓錐曲線中最值問題的求解策略[J].中學生數理化(高二數學),2017（1）：32-33.

〔6〕陳德燕.2013年全國高中數學聯賽福建賽區預賽[J].中等數學，2014（03）：29-34.

〔7〕趙澤福.競賽數學中“存在性”問題的一種解法[J].赤峰學院學報（自然科學版）,2015,31（8）：7-9.