帶Poisson跳的隨機時滯神經網絡模型的數值解

岳紅格

（寧夏大學 民族預科教育學院，寧夏 銀川 750021）

動態的神經網絡理論已有近20年的發展歷史[1-4].在許多神經網絡模型中時滯是不可避免的，如電子神經網絡中,放大器的有限開關速度.最近,許多專家研究了Hopfield時滯神經網絡和時滯神經網絡細胞的穩定性和周期振蕩性[5-7]，其性質可表現為一些復雜的混雜的行為[8-10].許多動力系統的結構往往因受重疊隨機因素的擾動而發生變化，其中一類特殊的混雜系統模型是具有跳參數隨機神經網絡模型.由于時間延誤和參數的不確定性，隨機的神經網絡模型的研究引起了人們極大的興趣.由于帶跳參數隨機神經網絡模型能描述某些運動狀態在固定或不固定時刻的快速變化或跳躍,而且物理、生態、經濟等系統經常收到外界突然噪聲的影響,例如,地震、氣候對生態產生突然的影響，因此將Poisson跳引入隨機微分方程更符合實際意義，它能更好地反映經濟、金融、物理、生物、醫藥等領域的現象和特征.當不考慮Poisson跳時，一些研究結果已經被證明.例如，廖和毛[11]研究了一類均方指數穩定性和細胞神經網絡的不穩定性.文獻[12]討論了一類幾乎必然指數穩定和隨機細胞與采用離散時滯神經網絡的非負半鞅收斂定理.文獻[13]研究了一類隨機時滯Hopfield神經網絡模型的穩定性.

通常情況下,帶Poisson跳的隨機時滯神經網絡模型幾乎沒有解析解，因此數值方法成為求解的主要工具.本文根據Euler數值方法，利用鞅不等式和Ito?公式討論了一類帶Poisson跳的隨機時滯神經網絡模型的數值解.給出了在均方意義下數值解收斂于解析解的充分條件，并通過一個數值算例對本文所給的數值方法進行了驗證.

1 預備

本文考慮如下形式的隨機神經網絡模型：

令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一個滿足通常條件及濾波{Ft}t≥0完備概率空間.W(t)=(w1(t),…,wm(t))T是定義在i≤n}上的m維布朗運功，Nt是服從參數為λ的Poisson過程,x(t)=(x1(t),…,xn(t))T，x(t-τ)=(x1(t-τ1),…,xn(t-τn))T，σ：Rn×Rn×R+→Rn×m，σ(t,x(t),x(t-τ))=(σij)n×m.本文假設 g(y)和 σ(t,x,y)滿足Lipschitz條件和線性增長條件.則方程(1)在t≥0有唯一的全局解，令其解為 x(t,ξ)，其中 x(t,0)≡0.

把x(t)該寫為隨機積分形式如下：

對于方程(2)，在 t∈{0,Δt,…,NΔt=T}上用 Euler法離散得

其中時間增量 0＜Δ＜1，滿足 τ=mΔ，m∈N+，tn=nΔ，yn是 x(tn)的近似解，若 tn≤0，則 yn=ξ(tn).并且布朗運動增量 ΔWn=W(tn+1)-W(tn)，Poisson 過程增量 ΔNn=N(tn+1)-N(tn)，其中 Δ→0.

現定義如下兩個階梯函數

IA表示集合A的示性函數.則Euler數值解表示為

現提出以下假設條件：

(i)(局部Lipschitz條件)對于任意的d＞0,存在Cd對于x,y∈Rn有

(ii)在 C1,2存在正的函數 V(t,·)：G→R+,{x∈G：V(t,x(t))≤r}是定義在r＞0上的緊集；

(iii)假設存在對稱的非負矩陣 C1,C2和 C3=diag(δ1,…,δn)有

定義2.1 假設ξ是一個隨機變量且E|ξ|2＜∞，對任意的增量Δ＞0，存在一對正的常數γ和N，方程(1)滿足均方指數穩定.對給定初值ξ，有

下面我們給出一些重要的引理.

2 主要結果

為了證明本文的主要結論,給出幾個重要的引理.由于y(t)是離散數值解,我們先來研究其性質.

定理3.1 假設有正定對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn)，則矩陣

是對稱且正定的.對于任意 ξ∈C([-τ,0]；Rn)，方程(1)的平凡解是均方指數穩定的.即存在一對正的常數λ和M對于任意的 ξ∈CFb([-τ,0]；Rn)，有

此引理的證明同文獻[12]中的定理2.3類似.

定理3.2 對于任意的T＞0，有

其中C1T是依賴于ξ和T，且獨立于Δ的正的常數.

證明 對|y(t)|2應用Ito?公式得出

令一方面，利用Burkholder-Davis-Gundy不等式，對于任意的t1∈[0,T]

其中K1,K2,K3是正的常數.則由假設條件得

由Gronwall引理得出

定理3.3 在假設條件下對于任意的T＞0，

其中D1和D2是一個與Δ無關的常數.

證明 對任意的t∈[0,T]，存在一個正整數k使得t∈[(k-1)Δ,kΔ)?[0,T])則

利用Cauchy-Schwarz不等式和假設條件(i)-(iii)得

利用Burkholder-Davis-Gundy不等式和條件(i)-(iii)得

其中 C3和 C4是正的常數.將（13）和（14）代入（12）得

令 C5=(1+λ+λ2T)(C3+C4)，得到不等式(10).同理可得不等式(11).

定理3.4 在假設條件下對于任意的T＞0，

其中CT是依賴于T且獨立于Δ.

令一方面由Burkholder-Davis-Gundy不等式，對任意T∈R+有

同理

其中K1和K2是兩個正的常數.經計算由假設條件(i)和（iii）和引理 3.3，我們得出

則

利用Gronwall引理，得

定理3.5 由假設條件(i)-(iii)，方程(5)的數值解將收斂到方程(1)的解析解

由引理3.2-3.4定理得證.

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