熱傳導方程的解法注記

蘇新衛，郭春曉

（中國礦業大學（北京） 理學院，北京 100083）

1 引言

本文求解如下有界域內熱傳導方程的混合問題

上述問題是文獻[1]習題二中的一道練習題，給出的正確答案是

筆者多年從事理工科本科生和研究生的數學物理方程教學，發現在求解問題(1)時，大多數學生會選取特征函數展開法或齊次化原理[1-3]去求解，但用這兩種方法求出的解的表達式在形式上和(2)有所不同.本文從兩方面解答這一疑惑.首先，分別用特征函數展開法和齊次化原理求出問題(1)的解，然后說明解的表達式和(1)的一致性.其次，借助輔助函數，應用方程和邊界條件同時齊次化方法直接求出解的表達式(2).由于(1)中的邊界條件是齊次的，第二種方法往往是被忽略的簡便方法.

2 特征函數展開法和齊次化原理

2.1 特征函數展開法

問題(1)所對應的特征值問題是

代入(1)中方程，并將自由項 按照特征函數展開可得

2.2 齊次化原理

根據齊次化原理，要求解問題(1)，先用分離變量法求解齊次問題

至此得到了和本征函數展開法一致的解式(6).

注1 解的表達式(2)和(6)是一致的.事實上，將(2)中右端的第一項展開成級數有，其中

代入(2)式即可得(6).

3 輔助函數法

由于(1)中的自由項A和變量t無關，可以取輔助函數w(x)，并讓 w(x)也滿足 w(0)=w(l)=0.令 v=u-w，則 v 滿足

所以，只要取輔助函數w(x)滿足a2w"(x)+A=0，w(0)=w(l)=0,即

問題(8)變為

直接用分離變量法易知(9)的解

4 結束語

本文以分離變量法為基礎，分別用三種不同的方法求解了熱傳導方程的定解問題，并說明了級數形式解的統一性.對同一數學物理方程的定解問題，盡量采用不同的方法多次求解，一方面便于對不同求解方法的靈活選用，另一方面，可將繁雜的基礎知識有機地結合起來，便于理清數學物理方程的知識脈絡，從而做到對數學物理方程學科知識的真正掌握.

參考文獻：

〔1〕王元明.數學物理方程與特殊函數(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔2〕谷超豪，等.數學物理方程(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2012.

〔3〕梁昆淼.數學物理方法(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2010.