借助數學典型題教學培養學生的解題悟性

陳琳

摘 要： “悟性”是學習過程中的一種特殊能力，而典型題教學是初中數學教學的主要內容.在教學中，教師可以典型題為載體，小“題”大作，借題發揮，通過在思疑中啟悟，在做中獲悟，在變中領悟，從而不斷激發學生的思維.

關鍵詞：初中數學；典型題教學；解題悟性

所謂“悟性”，指人對事物的分析和理解的能力.那么，在日常的教學過程中，如何去培養學生的解題悟性呢？一定程度上是通過講解習題或者一些典型的例題來完成的.因而，為了避免就題論題和題海訓練，在上課前精選好一定量的習題是必要的，并且在習題教學中對一些典型題進行多角度、全方位、深層次的開發和挖掘，從而激發學生的潛在能力和探究能力.下面以一些典型題為例介紹筆者在這方面的探討.

一、創設“悟”境 著力疑問 在思疑中啟悟

（一）一問，二問，三問，需循序漸進

朱熹曾說過：“讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長進.”[1]可見，“疑”是悟性的起因和動機.因而在解題的過程中，需要著力疑問，積極思考，進入“悟境”.因此，在教學過程中，教師需要適當地提一些認知水平在單一水平的問題，通過逐步搭起解題“腳手架”，進而過渡到高思維含量的問題，逐步遞進.

案例 1 原命題：如圖1，點P是△ABC兩個內角平分線的交點， 試探究[∠BPC]與[∠A]之間的關系.

在解決這道題時筆者先給學生設置了四個小題：

問題（1）：[若∠A=60°，][求∠BPC的度數？]

問題（2）：若[∠A=100°，][ 120°，][ ∠BPC]又分別是多少？

問題（3）：由問題（1）（2）你發現了什么結論？當[∠A]的度數發生變化時，你的結論仍成立嗎？

問題（4）：根據上述題目，適當改變問題的條件，請自編一道題，試再來探究[∠BPC][與∠A][之]

[間的關系.]

問題（1）是一道基礎題，從認知水平來看屬于單一結構認知水平，學生可以通過三角形內角和為[180°]和角平分線的性質并且利用[∠A=60°]來解決問題（1），此時[∠BPC的度數為120°].問題（1）的設置是為學生解決問題（2）搭好解題腳手架；問題（2）從認知水平來看屬于多元結構層次，但其實與問題（1）殊途同歸.此時拋出問題（3），讓學生從（1）（2）兩小題中發現規律，總結規律，經歷從“特殊到一般”的思想方法.有了（1）（2）兩小題的鋪墊，學生在解決問題（3）時就變得輕松多了，可以得出[∠BPC=90°+][12∠A]這個結論.這個時候在學生思維高度活躍的情況下，給出問題（4），要求學生改變現有條件，再來探究結論.要完成問題（4）不難，因為問題（3）為學生解決問題（4）創設了思考的環境，學生在思維高度活躍的狀態下自己出題并解題.這一看似簡單的設置其實起到了畫龍點睛的作用，是本節課的高潮之處.學生利用已有的知識儲備去解決一些看似有變化其實未變的題目，實現思維創新，進而培養了學生創造性思維能力.因而，教師在處理一些例題時，需做適當改變，而這種改變，可以教師自己預設，也可以如上述案例中讓學生設計，但都要做到由點及面，由淺入深.

（二）啟發，提示，引導，需循循善誘

有效的數學課堂需要有大量思維和豐富情感.作為教師除了關注學生獲得知識掌握方法的同時，還要注重對學生思維和情感的啟迪.所以在平時的教學過程中，我們要常常使用一些啟發性的提示語、引導性的發問詞，促進學生思維和情感的積極參與.

案例1中問題（4）：根據上述題目，適當改變問題的條件，請自編一道題，試再來探究[∠BPC與∠A之間的關系 .]

學生在處理“自編題”時，往往會感到無從下手.因此需要教師使用一些啟發性提示語，從而促進學生思維的活動.

師：上述題目的條件是什么？

生：點P是△ABC兩個內角平分線的交點.

師：好，如果要改變條件，你會從哪個點出發？

生：從△ABC兩個內角的角平分線這個點出發.

師：那除了△ABC兩個內角的角平分線，還可以是哪些角的角平分線？

（學生思考，教師等待）

生：三角形外角的角平分線.

師：好，那可以怎么改變？

生1：可以改成點P是△ABC兩個外角平分線的交點.

生2：可以改成點P是△ABC一個內角平分線與一個外角平分線的交點.

……

合理運用啟發性提示語和引導性發問詞，能啟發學生積極思考，更有利于讓學生經歷知識的產生和發展過程，形成發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的研究性能力，從而來提高數學思維活動的有效性[2].

二、動靜結合 在靜中思考 在辨中感悟 在做中獲悟

（一）靜中思考

在新課程實施之初，有很多教師認為數學課堂應該是“熱鬧的，生動的”，需要有游戲、討論等課堂教學環節.課堂熱鬧，雖然解放了學生的天性，鼓勵學生想說什么就說什么.但是有很多時候，學生往往會在思維能力較膚淺時迫不及待地說出自己的想法，你一言我一語，說完的學生認為“答題完畢”游離課堂；未說的學生失去了“答題的機會”也便作罷.這樣的“熱鬧”并不是“數學課堂”想要的.數學是一門嚴謹的學科，數學課堂需要有適當的“熱鬧”場面來活躍思維，但也不應該缺少安靜的獨立思考.

（二）辯中感悟

數學課堂除了需要“安靜”，有時候也需要給學生營造一些“思辨”的氛圍.教師可針對學生提出的一些問題，把學生分為若干個小組進行討論，每個小組確定一位發言人發言.在小組成員發言的過程中，不同組的成員只能靜靜傾聽并作記錄，而同組成員可以在發言人發言完畢后作適當補充.待集體發言完畢后，再鼓勵不同組的成員提出意見并且補充.這樣的小組內集體討論的方法，通過組內交流，組間分享，就會產生思維的碰撞，從而激發學生更多的思考和想法.因而，在數學教學過程中可以適當地運用這種方法進行數學解題悟性的培養.

（三）做中獲悟

華盛頓兒童博物館墻上有句格言： “我聽見了， 就忘記了； 我看見了， 就記住了； 我做過了， 就理解了.”這恰好說明“聽數學”與“做數學”的本質區別.因而，教師在教學過程中應當有目的地去引導學生進行動手操作、實踐探索、歸納總結等數學活動，學生通過自己親身的參與，最終理解問題和解決問題.

案例2 對“三角形兩邊的和大于第三邊”的探索.

兩名學生一組， 并事先準備四根長度分別為2cm、3cm、4cm、6cm 的硬紙條，紙條粗細一定.

探索1 請你選擇其中的3 條組成三角形， 最多能組成幾個三角形？

學生通過動手操作發現，只有2cm、3cm、4cm 和3cm、4cm、6cm 兩種情況能組成三角形，繼而便產生這樣的疑問：為什么2cm、3cm、6cm和2cm、4cm、6cm不能組成三角形？從而引導學生提出疑問：三條線段的長度滿足什么條件時才能夠組成三角形？

探索2 三角形任意兩邊之和與另一邊的數量關系是怎樣的？

每組同學任意畫一個三角形ABC， 通過量一量， 比較三角形的任意兩邊的和與第三邊的大小關系， 形成“三角形兩邊的和大于第三邊”的結論.

探索3 當三條線段滿足什么條件時， 才能組成三角形？學生在組內討論和組間討論的數學活動中，利用手頭的硬紙條的情況將三條線段能組成三角形的判斷條件歸納為“較短的兩條線段之和大于最長的線段”.

學生在“做數學”中學到知識， 提高了他們的實踐能力， 也培養了他們的創新意識.

三、設置變的情境 在變中領悟

數學課堂中要積極創設“變”的情境，“變”能使學生在掌握已有知識的前提下，拓展創新.在教學過程中，例題講罷，變式跟上，有效的變式訓練，能提高學生舉一反三、觸類旁通的能力.

（一）一題多變，妙變

葉圣陶教育思想的核心表述是“教是為了達到不需要教”[3].所以不應該讓學生養成為解題而解題的習慣.而應該引導學生在獲得題目答案的同時，更主動去探究一下出題者的出題意圖，包括題目中的條件設置，題目中的結論設置，以原題中的條件和結論作為出題的素材，主動去探究新的問題.很多時候，學生解題的能力是單一的，只會解“一道題”而不會解“一類題”.通過鼓勵引導學生對題目的條件和結論的再創造，從而訓練學生從一個問題抓一類問題，從特殊問題抓一般問題的能力.

很顯然，如果沒有對上述例題進行思考運用和積累，要能夠在短時間內做出這些題目是很不容易的.

教師是傳道授業解惑者，教師也應是學生學習動力的激發者.解題悟性作為一種特殊的素質和能力，它的培養需要教師去潛移默化地影響，更需要學生持之以恒地練習.因此數學教師可以習題為載體，在數學教學中需要精選題，選好題，并適時小“題”大作，從而不斷激發學生的思維.當我們跳出題海，在解決問題的關鍵時刻，便會眉頭一皺，“悟”上心來.

參考文獻：

[1]孫培青.教育名言錄[M].上海：上海教育出版社，1984：87.

[2]葉圣陶.葉圣陶教育文集[M].北京：人民教育出版社，2002：539.

[3]王長富.培養學生解題能力經驗芻議[J].大觀周刊，2011（46）：76.