“三角形的高”教學研究報告

一、問題

“三角形的高”是人教版小學數學教材四年級下冊“三角形的特性”中的內容。三角形的高是這節課的教學重點，同時也是這節課的教學難點。實際教學中，老師們一直找不到一個理想的教學方法，導致教學效果不佳，部分學生甚至到了五、六年級還不能準確地畫出三角形指定底邊上的高。這個問題學生如果不能在小學階段解決，勢必影響后續初中階段的幾何學習。為了研究這個問題，我們數學組對本校200名五、六年級學生做了一次畫高的單項檢測，情況不容樂觀（圖1為本次測試題）。其中，3號三角形畫高的準確率只有59.4%，5號三角形畫高的準確率只有76.1%。

從檢測結果中我們發現，學生的錯誤主要集中在以下兩種情況：一是不會用三角尺作已知底邊的垂線（如圖2），二是畫錯了位置（如圖3）。

學生為什么掌握不好畫高的方法？問題出在哪里？我們通過分析、研究已有的關于三角形的高的教學案例，發現老師在教學時只注重教如何畫高，而忽視了什么是三角形的高。眾所周知，三角形的高的畫法是本節課的教學難點，因此，老師們一般都會將教學重心放在如何畫高上。有的老師還總結了一套口訣：“要畫高，用直角；直角邊，重合底，過頂點，到底止；垂直底，作虛線。”學生們盡管記住了定義，也背熟了口訣，不會畫高的還是不會畫。原因就是學生沒有真正理解什么是三角形的高，難以形成關于三角形的高的清晰表象，自然也就畫不好高了。

為了解決這一問題，我們在進行教學設計時，特意弱化了三角形的定義以及各部分的名稱，而把教學重心放在對三角形的高的理解上，在學生充分理解的基礎上再優化三角形的高的畫法。相應地，我們將課題名稱也改為“三角形的高”。

二、實踐

基于以上思考，我們進行了教學實踐，主要教學過程如下。

（一）導入，初步認識三角形

師：同學們認識三角形嗎？（生：認識）今天老師把三角形藏在卡片下面了，我們一起去找找看。

教師帶領學生從4張卡片中找到了三角形，指出由三條線段圍成的封閉圖形是三角形。

師：通過觀察，我們發現所有的三角形都有三個頂點、三個角和三條邊。如果我們把三角形比作是一個人的話，那么三角形的頂點就是它的頭，頂點相對的那條邊就是它的腳底，所以三角形的三條邊都可以作為三角形的三條底（如圖4所示）。

設計意圖：通過找三角形這個游戲環節，學生在輕松愉悅的氛圍中認識三角形的特征。

（二）創設情境，初步感知三角形的高

師：接下來我要為大家隆重介紹三角形家族的三兄弟———老大、老二和老三。今天它們約好一起去游樂場玩，這是它們第一次去游樂場玩。當它們走到游樂場門口時，問題來了，（課件出示圖5）誰能告訴我它們遇到什么問題了？

生：游樂場的門限高4m。

師：限高4m是什么意思？

生：也就是它們如果比4m高就進不去，如果比4m矮或者等于4m就可以進去。

師：哦，原來如此。老大說“我每條邊都小于4m肯定過得去”，老二說“我有的邊大于4m，有的邊小于4m，我能過去嗎”，老三說“我每條邊都大于4m，我肯定過不去”，它還急哭了！同學們，你們怎么看？

學生討論，認為可以試一試。教師用課件演示三個三角形過限高門的情形，分別是老大直接通過限高門（如圖6），老二逆時針旋轉一次通過限高門（如圖7），老三逆時針旋轉兩次通過限高門（如圖8）。

設計意圖：通過三角形三兄弟過限高門這一情境，學生體會到能不能過限高門，關注的不是三角形三條邊的長度，而是三角形的高。

（三）自主探究，認識三角形的高

師：在大家的共同努力下，三兄弟順利地通過了限高門。這里也有3個三角形，它們能通過4cm的限高門嗎？請你在作業紙上畫一畫、量一量，寫下你的想法。

學生動手操作，教師巡視，選取有代表性的作品展示。

師：同學們都有答案了，我們一起看看這些同學的結果。對第一個三角形，這個同學量了它的三條邊都是4.5cm，認為它過不去。你們同意嗎？（生：不同意）4.5大于4，是過不去??！誰來說說？

生3：我不同意，因為能不能通過限高門不是看它的邊長，而是看它的高。

師：是看哪里？請你比劃一下。（學生比劃，課件演示三角形過限高門，如圖9）三條邊都是4.5cm，這條線段長3.9cm。確實是看這里。

師：前面那個同學說看邊，能過去嗎？（課件演示，如圖10）看來我們還是把腳放下來，腳踏實地地走過去。

師：那第二個三角形能通過限高門嗎？

生4：不能！因為那條邊長5cm，不能通過。

師：你是說現在這個三角形能不能通過限高門是看5cm這條邊？我們試試看（課件演示，如圖11），是過不去。

生5：我不同意，可以像剛才那樣旋轉一下。師：好！你來說怎么旋轉。（生說，師演示，如圖12）看來第二個也能過去。

師：那第三個三角形呢？

生6：我認為能過去，因為我們也可以把它旋轉一下，以最長的那條邊作為它的底。

師：是這樣嗎？（展示學生作品，如圖13）這里的長度量出來是2.3cm，我們看一下這個三角形這樣能過去嗎？確實能過去，而且能不能過去確實是看這里吧？（生：是的）生7也認為可以過去，但他畫的和你的不一樣，他是看這里（指圖14鈍角三角形右邊的這根虛線）。生7你是怎么想的？

生7：他畫的那里和我畫的這里是一樣高的。

師：其他同學的意思是看哪里都行嗎？好的，我們一起來看看。（課件演示）過去了嗎？確實能通過限高門。那我們到底看哪里更好？雖然它們是一樣高的，但是看這里應該比看那里更好一點。（課件演示，如圖15）

師：原來這些三角形這樣站著的時候，能不能過限高門是看這三條線段的長度。（課件演示）這三條線段就叫做三角形的高。（板書）誰來說說什么是三角形的高？

生8：從頂點向底作一條直線。（板書：頂點→底）

師：從頂點到底作直線就行了嗎？

生9：不是，還要垂直。

師：哦，必須垂直，（指圖16）我們看看這個三角形（指著第一個銳角三角形）是從頂點向底作了一條垂線，這個三角形（指著第二個直角三角形）也是從頂點向底作了一條垂線，只不過這里本來就垂直了。所以這條直角邊就是三角形的高。這個三角形（指著第三個鈍角三角形）也是從頂點開始作了一條垂線，它是和誰垂直呢？（生：也是垂直了底?。┛墒堑自谶@里啊？（生：是垂直了地面）地面在哪里？請同學們用手一起比劃，對了，就是把這條底延長。

師：現在黑板上有一個三角形，如果我們以AC邊為底，它的高怎么畫呢？

生10：以B為頂點向AC作一條垂線。（師在黑板上示范畫高）

師：（指圖17）是這樣嗎？真棒！

設計意圖：在自主探究這個環節，教師通過演示和反復強調“能不能過去應該看哪里”，讓學生直觀感受什么是三角形的高，進而從本質上認識三角形的高。

（四）拓展訓練

師：（課件播放小孩爭吵的聲音：我最高，我最高）這三兄弟怎么吵起來了？原來他們在比誰最高呢（如圖18所示）。我們一起來給它們評評理吧！

我們誰最高？

學生通過轉換方向，給三兄弟找到了最長的那條高，最后給出平行于它們底邊的一條直線，發現三兄弟一樣高（如圖19）。

設計意圖：學生進一步認識三角形的高，知道相對于不同的底，三角形的高也不同，同時蘊含著平行線之間距離處處相等。

三、討論

我們這次實踐，旨在用學生熟悉的方式教學三角形的高。

1.創設情境，實現生活中物體的高度向數學中三角形的高的遷移。

三角形的高是公認的教學難點。其實，關于高，學生并不陌生，生活中就有許多熟悉的例子。比如，人的身高，房子、樹、山的高度等，學生都非常熟悉，而且知道它們的具體含義。三角形的高雖然是一個抽象的幾何概念，但是，從本質上說，它和生活中各種物體的高度有很多相通的地方。通俗地說，三角形的高就是三角形的高度（不同的是，房子、樹、山一般只能豎直站立，而三角形除了豎直擺放外，還可以斜著或“躺”著擺放）。為了充分利用學生生活中關于高度的已有經驗，我們設計了“三角形三兄弟過限高門”的情境，緊緊抓住三角形的高和一般物體的高度之間的聯系，把一般物體的高度作為理解三角形的高的生活經驗支撐，成功地幫助學生實現了從生活中物體的高度到數學中三角形的高的遷移。

2.從具體到抽象，以概念形成的方式幫助學生逐步建構三角形的高的概念。

我們知道，概念教學有兩種常見方式：一種是概念的形成，另一種是概念的同化。教學三角形的高這個幾何概念，小學數學教材中采取概念同化的方式：過三角形的一個頂點作對邊的垂線，頂點到垂足之間的垂線段叫做三角形的高。用這種方式教學，既清晰定義了什么是三角形的高，又給出了三角形高的畫法，一舉兩得?？墒菍嶋H教學的效果并不理想，突出表現在，學生不會畫高，不是找不到頂點，就是畫錯垂直關系。如前文所述，根本原因在于，雖然老師用概念同化的方式給出了三角形的高的定義，但是學生并沒有理解什么是三角形的高，畫三角形高的時候自然就會出現錯誤。

本節課，我們是采取概念形成的方式教學三角形的高。教學伊始，學生反復觀察三角形通過限高門的動畫，獲得關于三角形的高的感性認識。然后學生探究“三角形能不能過限高門應該看哪里”，要求學生畫出這條線段。學生把一個個形態各異的銳角、直角、鈍角三角形的高畫出來后，再歸納、概括什么是三角形的高。這就是用概念形成的方式教學三角形的高。在歸納、概括什么是三角形的高時，還有意淡化了教材中關于三角形的高的文字描述，強調用學生自己的話來描述。

本節課中有一個教學環節是要求學生判斷如圖20的鈍角三角形能否通過限高門時要看哪里，如何判斷。每次試教總有學生畫出了圖中的虛線段。這條虛線段清晰地表明這個三角形的高真的已經從學生心中生長出來了，只是學生此時還不知道這條線段就叫三角形的高。在學生看來，三角形能不能通過限高門，就要看這條線段。沒有人會這樣教學生畫高，老師不會，家長不會，教材也不會，這一定是學生本節課臨時發現的。這進一步說明，用學生熟悉的方式———概念形成來教學三角形的高是可行的。

（執筆：董建軍、周璟、張志紅、胡展、易麗紅、陳雨微、鄭志剛、徐旺、李闖）