基于插值的非等間距GM(1,1)建模方法

，，

(山東科技大學 測繪科學與工程學院， 山東 青島 266590)

因灰色系統具有通過“貧信息”就能對未知數據進行挖掘的能力[1-3]，其問世的30多年來，灰色預測模型(grey model，GM)已經在各個領域得到了廣泛的應用[4]。但是由于均值GM(1,1)模型僅適用于等間距序列，而在實際應用中得到的數據序列往往都是不等間距的。為了解決這個問題，眾多學者針對不等間距GM(1,1)模型進行了研究[5-13]，并將其應用從單點或單一變量拓展到多點或多個變量[14-16]。李斌等[5]將非等間距序列根據時間間隔構造出等間距序列進行預測，再根據時間間隔還原為原始序列的預測值，驗證了GM(1,1)模型用于沉降數據分析的實用性、有效性和正確性。Shen[6]通過梯形公式和中心差商法得到灰導數的白化值，提出一種基于最小誤差平方和準則的非等間距序列建模方法，結果表明該模型的擬合與預測精度顯著提高。李翠鳳等[10]通過插值優化非等間距模型的背景值，增強背景值的適應性，提高非等間距序列的預測精度。尹暉等[14]將彼此關聯的多個變形點進行整體建模，采用非等間距等距化處理的改進方法，驗證了非等間距多點變形預測模型的可行性和有效性。

對于非等間距GM(1,1)模型的改進，無論是單一序列預測或多個相關序列預測，目的都在于提高模型的預測精度。本文基于非等間距的變形觀測序列，建立兩個模型，采用插值將其構造成等間距序列，其中一個模型采用文獻[10]的方法對新序列背景值進行優化，另一個模型采用均值GM(1,1)模型的背景值選取方式，分別預測出新序列的預測值，最后再進行一次插值還原為原始非等間距序列的預測值。為驗證該改進模型的有效性，采用文獻[5]中的實例進行對比分析，結果證明本文中的變形預測改進模型的預測精度更高。

1 均值GM(1,1)模型

1.1 均值GM(1,1)模型的建立

設有非負等間距非負序列：

X(0)={x(0)(k)|k=1,2,…,n}。

(1)

作X(0)的1-AGO序列得到：

X(1)={x(1)(k)|k=1,2,…,n}，

(2)

通過X(1)構造該模型的背景值：

Z(1)={z(k)|k=1,2,…,n}，

(3)

x(0)(k)+az(1)(k)=b，

(4)

稱為GM(1,1)模型的均值形式。其白化微分方程為：

(5)

(6)

式中，Y，B分別為:

(7)

借助白化微分方程的解構造均值GM(1,1)的時間響應式：

(8)

再作累減，還原預測值：

x(0)(k)=x(1)(k)-x(0)(k-1),k=2,3,…n。

(9)

1.2 模型檢驗

通過均值GM(1,1)模型得到預測值序列：

(10)

構成殘差序列：

e={e(k)|k=1,2,…n}，

(11)

殘差表示預測值相對于原始數據的偏離程度，偏離程度越小，說明預測的精度越高，反之預測的精度越低。根據殘差序列計算每一期數據預測的相對誤差，進而得出預測的平均相對誤差：

(12)

(13)

相對誤差表示每一期預測的誤差大小，相對誤差越小，精度越高，反之越低；平均相對誤差表示該預測序列的誤差大小，平均相對誤差越小，預測精度越高，反之越低。

2 非等間距GM(1,1)建模改進

主要采用插值的方式對GM(1,1)模型進行改進，建立兩種不同的模型進行對比試驗。但插值方法種類繁多，各種插值方法對特定序列的插值準確程度差異顯著，故在對某一特定序列進行灰色預測，應先對各個插值模型進行試驗對比，選擇適合該序列的方法進行預測。

2.1 方法一

均值GM(1,1)適用于等間距序列，但對于非等間距的序列預測精度較差。如圖1所示，由于間距ki+1-ki≠ki+2-ki+1，故其不適用于均值GM(1,1)模型。對圖中曲線進行插值，便可得到新的等間距序列(14)，以滿足通過均值GM(1,1)模型進行預測的要求。

X′(0)={x(0)(k′)|k′=1,2,…,n}。

(14)

通過均值GM(1,1)模型對等間距序列(14)進行預測，得到該序列的預測值，進而再對該預測序列值進行插值，還原得到原始非等間距序列的預測序列。

2.2 方法二

圖1 等間距插值Fig.1 Equidistant interpolation

圖2 背景值插值Fig.2 Background value interpolation

3 實例分析

為對兩個預測模型進行檢驗，采用文獻[5]中的觀測數據進行試驗對比。觀測點的布設如圖3所示。

選取南側地表D15點的沉降值作為時間序列進行預測檢驗，該點共有10期非等間距的沉降觀測數據。選取該觀測數據中的前8期為已知數據進行建模，對后兩期數據進行預測，分析對比預測精度。D15點的觀測資料如表1所示。

圖3 地表沉降點點位布設圖Fig.3 Location map of surface subsidence

序號觀測時間時間間隔/d累計時間間隔/d累計沉降量/mm12005-10-22001.1122005-11-0615151.4532005-11-2216311.9342005-12-0412432.0852005-12-1814572.5262006-01-0114712.9272006-01-1413843.2082006-02-26431273.9692006-03-11131404.38102006-03-25141544.68

首先進行插值方法的選取。分別用分段線性插值、鄰近點插值、三次樣條插值和三次多項式插值對前8期數據進行插值，插值點間隔為10，插值點區間從0到300。各個插值方法的插值曲線如圖4所示。

圖4 插值曲線圖Fig.4 The interpolation curve

從圖中可以看出，分段線性插值并不圓滑，但對較為稠密的序列適用，在序列外的點不能得到其函數值；鄰近點插值顯然并不適用于該序列的插值計算；三次樣條插值和三次多項式插值曲線比較圓滑，但對于沉降數據而言，累計沉降值總是在不斷增大，顯然三次多項式插值對于沉降觀測數據而言并不適用，故選取三次樣條插值方法。

采用三次樣條插值法結合前文兩種方法對文獻[5]中的前8期觀測數據進行擬合并預測出后兩期數據，并將其與文獻[5]中的預測結果進行對比，如表2所示。計算每種預測方法的相對誤差及平均相對誤差，如表3所示。并分別繪制預測值對比圖與殘差值對比圖，如圖5、圖6所示。

表2 預測結果對比

表3 誤差對比

從表2和圖5中可以看出，相比于文獻[5]中的方法，運用本方法一和方法二進行預測，所得的預測值更加接近實測值，并且圖6中的殘差圖以及表3中的平均誤差與相對誤差也很好地說明了這一點，證明了本文兩種預測模型的有效性及實用性。

對比方法一和方法二可以看出，雖然其預測精度非常接近，但不通過插值進行背景值的優化比采用插值進行背景值優化的誤差更小，說明了在該觀測序列下，多次進行插值處理會在一定程度上降低預測的精度。

另外，圖6直觀地表明了無論是方法一、方法二還是文獻[5]方法，再進行第二期預測時，其偏差程度明顯增大。這說明了灰色模型的可預測長度非常短，進行過長的預測將與實際值產生很大的偏差。

圖5 預測值對比圖Fig.5 Comparison of predicted values

圖6 殘差值對比圖Fig.6 Comparison of residual error

4 結束語

針對非等間距GM(1,1)建模問題，提出了兩種基于插值的建模方法：方法一通過插值的方式將非等間距序列構造成等間距序列進行預測；方法二在方法一的基礎上運用插值對背景值進行更新構造。因不同的插值方式對不同序列預測的準確程度不一樣，提出對非等間距GM(1,1)模型的基于插值的改進需要注重對插值方式的選取。方法一和方法二的不同在于是否采用插值法對背景值進行優化。預測結果顯示在對數據進行預測時，方法一比方法二更加準確，原因是多次插值增大了誤差。但是當背景值引起的誤差大于插值引起的誤差時，方法二比方法一更加準確。工程實例證明了兩種建模方法可以得到很好的不等間距沉降預測結果，對評判建筑物沉降具有一定參考意義。

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