民族預科教育中數學史融入數學課程教科書的策略

羅炯興 文瓊瑤

[摘 要] 民族預科教育中預科學生數學基礎知識較薄弱，小學和中學沒有養成良好的學習習慣，所以數學教學應改變傳統的教學理念。由于數學史具有極高的數學文化價值，對數學教育具有積極促進作用，首次提出將數學史融入預科學生數學課程教學和數學教科書，可以提高學生的數學學習水平。

[關 鍵 詞] 民族預科教育；數學課程教學；數學史；教科書

[中圖分類號] G420 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）28-0026-04

一、前言

普通高校少數民族預科教育是為民族地區培養急需的各類人才，在高等院校設立的向大學本專科教育過渡的特殊教育階段，也是基礎教育的高中階段向高等教育的大學階段的銜接鏈條。在預科教育階段，數學教學的內容包括高中階段的基礎知識和大學階段的數學初步知識。若只對學生加強高中階段的基礎知識的學習，這是不恰當的，其原因為：

1.對于高中階段的基礎知識，學生已經學習了三年，并且受到老師的高強度訓練，同時還受到學校嚴格的管理和老師的督促，但學生的數學基礎還比較薄弱。學生在預科階段學習時間只有1年，并且預科教育的目的不僅是提高學生的文化成績，而且也注重學生的文化水平、組織紀律性和日常行為習慣等方面，以適應即將到來的大學學習生涯。據此，在預科階段，學校的管理層不可能將全部工作重點放在學生學習文化知識方面。由此可見，在預科階段只針對學生高中階段的基礎知識加強學習，并要實現這一目標，這在時間和空間上是不可行的。

2.在預科階段，若沒有向學生安排大學數學初步知識的學習，有可能會使學生認為預科教育只是高中教育的重復，或者復習高中階段所學的數學基礎知識。預科入學的學生對高中教育存在著一定程度的厭惡感，甚至有些學生有一定程度的恐懼，在預科階段不安排大學數學的初步知識，學生就會少一些期待，易失去新鮮感。這樣，學生在預科階段會排斥數學學習，有可能學生主觀上以“我知道、我懂或者聽不懂”等來抗拒教學行為。

若學生只進行大學數學初步知識的學習，不加強高中基礎數學知識的學習，這明顯是不行的，因為預科學生數學基礎較薄弱。在預科階段，入學開始就讓學生學習大學數學的初步知識，這無疑是大學教育，這與預科教育是從高中教育到大學的過渡階段的定位不相符。可見，在預科階段，學生的數學學習具有時間短促和知識量大的特點，這要求在數學教學中改進策略，提高數學教學的效率，提高學生數學學習的能力。

目前，在西昌學院民族預科數學課程教學中，僅針對學生的基礎展開課堂教學活動，一味地向學生傳授的是基礎數學知識和技能，而不重視對學生學習方法的改善、端正學習態度、養成良好的數學學習習慣和培養數學情感等相關因素。讓學生掌握數學的概念、命題、公式和基本思想方法等基礎數學知識以及解題技能，但是數學是什么，為什么要學習數學，數學有什么用等問題在學生頭腦中卻非常模糊。這樣數學的重要性沒有得到學生重視，學生只把數學作為自己完成學業的工具，并沒有把數學作為工具來幫助自己完成學業以及繼續深造。

如果不改變這種現狀，學生的數學學習狀況不會得到根本改變，數學學習將不會達到理想的效果，必須改變傳統的教學理念，對學生的數學教育和學生的數學學習，必須從課堂進行橫向和縱向的延伸，讓學生全方面和多角度地去感知數學、體驗數學和學習數學，達到提高數學水平的最終目的。從現在數學教育改革形勢來看，數學教育是數學文化的教育，數學史則是數學文化的載體之一，而數學史融入數學課程則有助于學生認識數學，理解數學，感受數學文化，提高數學教育的質量。

二、數學史融入預科數學課程教學的必要性

目前，中學數學教學改革提倡將數學史融入數學課程，《普通高中數學課程標準（實驗稿）》明確提出數學課程應體現數學的文化價值，并要求在適當的內容中提出對數學文化學習的具體要求。數學史是數學文化的重要組成部分，顯示了數學的思想歷史和發展歷程，是對數學思想的集中概括，因此，學習和掌握一些數學史的知識，可以幫助學生加深理解數學的概念、公式和恒等式等相關知識，由此可見，將數學史融入數學教學已成為數學教學改革的必然趨勢。在民族預科教育階段，要求學生在數學基礎知識學習方法、習慣和態度以及數學思想等方面都有一定的提高，為即將進入高等院校各專業的學習做好準備。

但對西昌學院少數民族預科教育中預科學生而言，面臨的主要問題是：

1.高中教育階段，接受的是掌握基礎知識加解題能力的應試教育，目標只有一個，即在客觀閉卷考試中取得更好的成績，每天沉浸在鞏固基礎知識和強化解題訓練機械性循環學習之中，讓學生成了為考試而學習。在西昌學院中，預科學生中有80%是來自涼山州彝族的學生，這些學生從小學開始，由于受到諸多原因的影響，沒有接受到良好的教育，沒有養成良好的學習習慣、學習態度。高中數學學習中，學生沒有掌握良好的學習方法，故沒有取得理想的學習效果。除此之外，約60%的學生來自昭覺縣、喜德縣和西昌市三所民族中學，這一類模式的數學教學大綱及其目標要求有別于其他普通高中，自始至終學生沒有對知識進行系統化學習，沒有完整地掌握數學基礎知識。因此，這些因素綜合導致了學生數學基礎差。

2.預科教育階段，似乎弱化了高中教育階段的應試教育，但數學教學主要目標，還是讓學生掌握基礎知識和提高解題能力，對學生數學素養的培養并沒有引起重視。在預科教育階段，基礎知識的學習和解題能力的強化訓練，會受到知識量巨大和時間有限的局限性，不可能像高中一樣，教師不能夠系統、詳細地講解相關定義、公式和對應的知識點等，也不能讓學生慢慢消化和理解所學數學知識，所以只能高度綜合地學習數學基礎知識，恰巧這方面對學生而言是最困難的。

學生在高中教育階段掌握的數學知識是散亂的，對數學的認識還處于初級階段，并且學生對自己所學的知識點是否掌握還比較茫然。這樣學生在學習數學時，會處于兩難的境地，主要表現在：學生知道數學對自己很重要，但不知道針對自身情況應如何更好地學習數學；知道學好數學要勤奮刻苦，但不知道從什么方面入手，或者具體怎樣去做才能見成效，甚至事半功倍；知道或者感覺到自己學習數學還存在很多問題，但不知道如何去發現或者找到解決問題的途徑，等等。

數學史融入數學教學，已成為國內外數學教育的大勢所趨，至今在小學、中學和大學等各階段的數學教學中，數學史都有所體現，都有很多國內外數學教育研究者和專家將其作為課題進行專題研究，并取得了一些很有意義的結果。值得強調一點，數學史融入數學教學這一課題在近十年間才有相對較大的發展，并且出現了一些亟待解決的問題，甚至有些問題還是比較尖銳的，但這并不能影響數學史融入數學教學這一大局。這是因為這些問題是可以解決的，不會影響大家對數學史積極作用的認可度。數學史融入數學教學的各個環節以及各個方面的問題，處于一個探索階段，應該懷著沒有最好、只有更好的心態，用科學的態度去研究數學史融入數學教學相關問題，堅持不懈、持續不斷地堅持下去。這樣才能使數學史有效、更好地為數學教育服務，在數學教學中發揮更大的作用，促進學生學好數學和提高學生的數學素養，即數學綜合水平。

很多數學教育研究者對數學史融入數學教學進行了多角度研究，這些研究大都圍繞數學史融入數學教學的理論問題，也有部分研究觸及數學教學的實踐問題。數學史融入數學教學的積極作用主要有三方面：（1）數學史可以激勵學生學習數學，有助于幫助學生樹立和保持良好的對數學學習的信心；（2）數學史可以對數學教學內容提供不同的視角和呈現形式，有助于學生更好地理解數學知識；（3）數學史可以在有限時間和空間內，營造出一種數學教學內容產生和發展的歷史環境，雖然歷史環境只能產生在學生主觀上，不是在客觀實際環境上，但容易使學生產生心靈共鳴。可見將數學史融入數學教學可以讓學生產生學習數學的興趣和積極性，可以有效改善預科類模式的彝族學生學習數學的狀況，提高學習數學的質量，故在數學教學內容中恰當地利用數學史的積極作用是完全有必要的。

三、數學史融入預科數學教科書的策略

由于預科的數學教科書需要包含高中的基礎數學知識和大學的初步數學知識，這包含的知識量很龐大，但在現有編寫的數學教科書中，都會盡量地刪減一些知識點，數學史的知識會因為篇幅的局限性而沒有有效地編寫在教科書，更談不上對學生的數學學習的幫助，學生只能從老師和其他途徑了解一些零散的數學史的知識，這些大多數沒有針對性，對數學的學習的幫助也是非常有限的。

最近幾年，西昌學院的民族預科教育對一類模式的學生使用的數學教科書有3種版本：

第1種版本，稱其為“教材1”，于2010年9月至2013年8月期間使用，是西昌學院預科數學教學團隊自編的，但未由出版社出版的數學教材《數學》，使用了三學年。

第2種版本，稱其為“教材2”，于2013年9月至2015年8月期間使用，是四川民族學院、西昌學院和阿壩師范高等專科學校三校預科數學教學團隊聯合編寫的，并由西南交通大學出版社出版的數學教材《數學》，2013年8月第1版，使用了兩學年。

第3種版本，稱其為“教材3”，于2015年9月到現在，是西昌學院預科數學教學團隊編寫的，并由西南交通大學出版社出版的數學教材《數學》，2015年9月第1版，現正在教學中使用。

現僅僅從這3種教材的編寫角度上，來作一簡短的分析。編寫的數學內容都是按照加強高中基礎知識的學習和對大學數學基礎知識的初步學習的目的，幾乎沒有將數學史與某些適當的數學知識進行有機融合；在編寫模式上明顯體現了“歸納知識點（偶爾有邏輯推理過程）+例題+課后習題”這一形式。這3種版本的教材包括的數學知識和章節分布情況都是大同小異，在數學內容的編寫上都是按照某些數學知識的排序、增減、分解或合并等方式來進行處理的，但在大學數學部分包含了極限、導數和微積分初步知識。在高中數學部分變化很大，教材1和教材2包含了排列和組合的基礎知識，但教材3將其刪除了；教材2包含了簡易邏輯的基礎知識，但教材1和教材3將其刪除了；教材1和教材3將集合、數學歸納法和二項式定理的基礎知識合并為一章，并編寫在教材的第一章，但教材2將其分解為兩章，集合編寫在第一章，其余的內容合為一個章節編寫在第五章，等等。

數學教材能夠使知識呈現一定的整體性，教材能夠在有限的篇幅內傳播最大量的數學知識，相對獨立的部分數學知識能夠保持知識的系統性。但我們所面對的彝族學生數學基礎知識薄弱，學生接受知識的能力很差，很難在短時間內高效率地去消化教材，而且教師不可能將所有的知識點、例題和習題全部詳講，反復進行強化和輔導，根據民族預科教育的特點，這在時間上和空間上是做不到的。基于一類模式的彝族學生的現有數學水平，實用性不強。

要解決這一問題，首先要編寫一套與這一類模式彝族學生數學水平相適應的數學教科書。根據數學史在數學教育中體現的價值，將數學史融入數學教科書不失為解決問題的有效途徑。由于數學教科書在數學教育中有其特殊的地位，不僅要讓教師易教，學生易學，還要符合教學大綱的要求，并且數學史融入數學教科書應該自始至終遵循有益于學生數學的學習這一原則。據此，我們主要從兩個方面予以闡述，即：怎樣的數學史才可以融入數學教科書和數學史融入數學教科書應該怎樣呈現。

1.怎樣的數學史才可以融入數學教科書

隨著歷史的發展，數學史的概念也反映了時代的進步，其廣度和深度也在不斷發生變化，其內容和形式具有廣泛性和多樣性。數學史也有其固有的特性，并不是所有的數學史都是易懂、形象直觀的，都是對彝族學生的數學學習有益的。根據數學史的特點，數學史的內容可分為兩種類型，即為顯性內容和隱性內容，顯性內容是指能夠用文字、圖表等形式進行表達的內容，并通俗易懂，不需要其他知識和能力支撐，就可以完全理解數學史內容。包括歷史上的人物（主要是數學家）的生平事跡及其相關領域的貢獻，相關知識的起源、演化和發展歷程，具有趣味性和啟發性的數學軼事，具有重大影響的數學書籍，有意義的歷史名題，等等。隱性內容是指學習者必須事先具備一定程度的數學知識和能力才能夠理解的數學史內容。包括不同時期的數學思想方法，數學各領域的相互聯系和發展趨勢，各領域取得的最新成果和產生的新問題及其他的意義，等等。

數學史中顯性內容雖然能夠讓學生一讀就知道它在表達什么，可幫助學生理解相關知識，但是學生很難產生強烈的心靈共鳴；數學史中隱性內容雖然能夠使學生產生一定強度的心靈共鳴，可能會激發學生追求新知識的渴望，但是學生很難理解具體表達什么。數學史融入教科書的具體做法是將數學史的顯性內容和隱性內容相結合，尤其注重通過隱性內容讓學生感受數學思想方法。理解數學思想方法，并嘗試用數學思想方法解決今天的數學問題和提出一系列的新問題，以培養學生的創造意識和創造能力。因此，應該將顯性和隱性數學史內容結合起來，相得益彰，達到最佳的效果。

首先，與預科教育數學相關數學史的顯性內容，完全可以融入數學教科書。這種類型的數學史與數學知識有直接的聯系，而且很直觀和通俗易懂，涉及的內容很多，包括將康托和集合論融入集合部分，將函數概念的發展史融入函數部分，將歷史上數學計算方面的三大發明融入指數和對數函數部分，將與現實密切相關的“韓信點兵問題”“百雞問題”等融入統計和計算部分，將高斯計算前100個自然數的和的數學故事融入數列部分，將海倫公式和秦九韶三斜求積公式、古代趙爽的數學貢獻融入解三角形部分，將數學家牛頓和萊布尼茨從不同的途徑發現微積分的歷史和過程融入大學微積分部分，激發學生對微積分內容的學習興趣，等等。

其次，與預科教育數學相關數學史的隱性內容，可以適當地融入數學教科書。由于這部分內容學生很難短時間理解，但可以為學生留下更多值得思考的問題，擴展學生的想象空間，激發學生的學習興趣。如將數學家牛頓和萊布尼茨從不同的途徑發現微積分的歷史和過程融入大學微積分部分，可以向學生闡述“數學來源于生活，也服務于生活”這一觀點，隨之提出微積分應用于生活中哪些方面。簡要地列舉具體實例，這些數學史可以適當、巧妙地引入教科書中，能夠使學生從更高角度去認識微積分，認識公元前3世紀阿基米德的求面積和體積的窮竭法，或認識公元3世紀中國魏晉時期的劉微創造割圓術計算圓周率的近似值，等等。

2.數學史融入數學教科書應該怎樣呈現

由于數學教科書主要目的有益于彝族學生的數學學習及其方便教師在課堂上的教學，無需考慮數學史的先后歷史順序、整體和局部的關系以及數學史之間的相互聯系等問題。數學史在數學教科書的呈現應該遵循一個標準，即是：在教科書中出現的數學史的位置、方式和形式對學生理解和掌握相關的數學知識是否是有益的，若有益，數學史呈現的方式是可取的，值得推廣，否則不可取，應該放棄。當然，對標準的客觀評價將是數學史融入教科書的另一個研究問題，目前只能從專家和教師的經驗以及學生的數學現狀來綜合評定，固然很粗糙，但這也是一個可操作的方法。

關于數學史融入數學教科書呈現的方式，只要有適當的數學史內容，數學史均可在教科書的正文、例題和習題等部分中呈現，沒有嚴格的限制，但要注意不能破壞知識整體結構的協調性。根據不同的知識，靈活調整教科書中引入數學知識的方式，如使用由數學史引入數學知識的方式，還是使用由數學知識引入數學史的方式，或者使用其他特殊方式引入數學史，這就包括作為知識百科以旁注的形式并行出現在教科書的頁底和頁邊，甚至數學知識的旁邊或下一段，當然包含的字體和字號要求不一樣，與正文內容具有一定的辨識度；也可以作為閱讀材料放在相應章節的后面，這樣做的一個好處就是可呈現更詳細的數學史知識。例如，涉及的歷史人物和數學家的生平事跡就可以用旁注的方式呈現，學生在學習數學知識時，會受到一定程度的感染，這對學習數學是有益的。

關于數學史融入數學教科書呈現的形式，包括歷史人物和數學家的頭像、圖文、圖表、圖形和文字等，例如，關于歷史人物和數學家的生平事跡通常使用頭像加文字的形式，有關函數的數學史通常使用圖文和圖表的形式，等等。值得強調的是，不管數學史呈現什么形式，都應該言簡意賅，不能長篇大論，相對于數學教學內容，數學史的內容不能喧賓奪主。

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