卷積積分的教學(xué)探討

黃植功

[摘 要] 針對信號與系統(tǒng)課程中卷積積分?jǐn)?shù)學(xué)公式多且復(fù)雜的問題，結(jié)合數(shù)學(xué)公式的物理含義，多角度介紹了卷積積分的定義、常用性質(zhì)和計(jì)算公式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與積極性，在弱化數(shù)學(xué)計(jì)算的同時(shí)，指出這些數(shù)學(xué)公式應(yīng)用的條件，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。

[關(guān) 鍵 詞] 信號與系統(tǒng)；卷積積分；物理含義；教學(xué)探討

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）16-0210-02

一、引言

《信號與系統(tǒng)》課程內(nèi)容中涉及卷積積分的定義、特性及應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)好這部分內(nèi)容有助于他們更好地學(xué)習(xí)和掌握整個(gè)課程的內(nèi)容。卷積積分看似是很純粹的數(shù)學(xué)計(jì)算，但如果太多地從數(shù)學(xué)方面來證明和講解相關(guān)的知識，就會(huì)使學(xué)生感到枯燥乏味，而學(xué)生又因?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的原因不能很好地掌握和理解卷積積分的物理含義及其真正的作用。卷積積分是一種解決實(shí)際問題的思路、工具或手段，只有學(xué)好卷積積分才能學(xué)好信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析，從而為學(xué)好整個(gè)課程、建立完整的課程理論體系打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、卷積積分的定義

首先，需要把卷積積分的定義講解清楚。卷積積分的數(shù)學(xué)定義如下：

x（t）與h（t）的卷積積分為y（t）=x（t）*h（t）=■x（τ）h（t-τ）dτ

數(shù)學(xué)公式與物理含義方面，需要講清楚如下幾個(gè)內(nèi)容：

1.x（t）的表達(dá)式中，將t替換成τ，即可得到x（τ）的表達(dá)式，兩者的波形圖相同，只是自變量不同；

2.h（t）的表達(dá)式中，將t替換成t-τ，即可得到h（t-τ）的表達(dá)式；在波形圖上，先將橫坐標(biāo)自變量改成τ得到h（τ）的波形，再將h（τ）的波形翻轉(zhuǎn)得到h（-τ），最后將h（-τ）從τ=0向τ=t平移，即可得到h（t-τ）的波形圖；

3.將x（τ）與h（t-τ）相乘后積分求面積，結(jié)果因時(shí)間t的不同而不同，即結(jié)果仍然是時(shí)間t的函數(shù)，即仍然是一個(gè)信號，用y（t）表示。

講解卷積積分定義及步驟時(shí)，重點(diǎn)應(yīng)放在上述過程中的變量替換、翻轉(zhuǎn)、平移這些之前學(xué)習(xí)過的知識，顯然這是復(fù)習(xí)鞏固舊知識并向新知識遷移的一個(gè)過程。結(jié)合兩個(gè)波形簡單信號的卷積，采用圖示法來講解卷積積分的過程可以加深學(xué)生對卷積積分計(jì)算步驟的理解。

另外，卷積積分需要結(jié)合系統(tǒng)來學(xué)習(xí)，把卷積積分其中一個(gè)信號看成線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（簡稱LTI系統(tǒng)）的輸入信號，另一個(gè)信號看成LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，它們卷積積分的結(jié)果就是LTI系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足絕對可積，即對任意有界的輸入，LTI穩(wěn)定系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)輸出必定是有界的信號。因此，卷積積分的兩個(gè)信號中，其中一個(gè)為有界信號，另一個(gè)為絕對可積信號，則它們的卷積積分結(jié)果也一定是有界的信號。否則，卷積的結(jié)果一定是無界的信號，或卷積積分根本不存在（或不收斂）。

三、卷積積分的常用公式及其物理含義

學(xué)習(xí)卷積積分不是依靠大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和運(yùn)算，只需要記住常用的幾個(gè)公式、幾個(gè)特性再結(jié)合物理含義加以輔助理解，就可以很好地掌握課程中的卷積積分這部分內(nèi)容。

（一）基本系統(tǒng)

2.延時(shí)t0的延時(shí)器，因?yàn)槠鋯挝粵_激響應(yīng)為δ（t-t0），所以x（t）*δ（t-t0）=x（t-t0），顯然恒等器是延時(shí)器的特例，延時(shí)器的功能就是實(shí)現(xiàn)時(shí)移變換。在此不僅從系統(tǒng)的物理含義來理解δ信號與其他信號的卷積，還可以反過來將一個(gè)延時(shí)后的信號理解成輸入信號經(jīng)過一個(gè)延時(shí)器，即不僅學(xué)習(xí)從等號的左邊到右邊，還需要學(xué)會(huì)從等號的右邊到左邊進(jìn)行變化。t0<0時(shí)不是延時(shí)，而是超前了，相對于輸入信號，系統(tǒng)輸出波形是向左平移。

（二）基本性質(zhì)

1.卷積的交換律x（t）*h（t）=h（t）*x（t），這里可以這樣理解，相卷積的2個(gè)信號中，其中任何一個(gè)可看作LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，另一個(gè)作為該系統(tǒng)的輸入，而輸出是相同的。即激勵(lì)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的角色互換，對零狀態(tài)響應(yīng)而言，結(jié)果是一樣的。從系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的角度來看可以有兩種選擇，但是激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的角色互換是有穩(wěn)定性與因果性的要求，即作為LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)應(yīng)該絕對可積，確保LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)，并且要求沖激響應(yīng)是因果信號以保證系統(tǒng)是因果可物理實(shí)現(xiàn)。否則，不穩(wěn)定或不因果的系統(tǒng)就失去了現(xiàn)實(shí)意義。

2.卷積的結(jié)合律x（t）*h1（t）*h2（t）=x（t）*[h1（t）*h2（t）]=x（t）*[h2（t）*h1（t）]，卷積的結(jié)合律從系統(tǒng)級聯(lián)角度來理解，即級聯(lián)的兩個(gè)LTI系統(tǒng)的連接順序可以交換，還可以等效為一個(gè)系統(tǒng)，其等效系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各個(gè)級聯(lián)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分，并且可以將結(jié)論推廣到多個(gè)LTI系統(tǒng)的級聯(lián)。

在這里可以討論級聯(lián)系統(tǒng)等效性的條件問題，以一個(gè)積分器與一個(gè)微分器級聯(lián)為例，其等效系統(tǒng)顯然是一個(gè)恒等器。對任意的輸入x（t），這個(gè)級聯(lián)系統(tǒng)最后輸出是否一定等于x（t）？即x（t）*u（t）*δ′（t）=x（t）級聯(lián)的兩個(gè)系統(tǒng)是否可以交換順序？即x（t）*u（t）*δ（t）=x（t）*δ′（t）*u（t）。在教師引導(dǎo)下很容易發(fā)現(xiàn)，例如，當(dāng)x（t）=（-∞

3.卷積的分配律x（t）*[h1（t）+h2（t）]=x（t）*h1（t）+x（t）*h2（t），這個(gè)卷積性質(zhì)從數(shù)學(xué)上來記憶并不困難，因?yàn)樗男问礁燃雍蟪说扔谙瘸撕蠹拥某朔ǚ峙渎傻男问较嘁恢拢瑓^(qū)別僅僅在于不同的運(yùn)算：乘法與卷積。為了讓學(xué)生不停留在數(shù)學(xué)公式表面上，更好地運(yùn)用該性質(zhì)學(xué)習(xí)課程知識，需要講解它對應(yīng)的物理含義：即兩個(gè)LTI子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為h1（t）和h2（t），其并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h（t）=h1（t）+h2（t），并可推廣到多個(gè)LTI系統(tǒng)的并聯(lián)。然而不應(yīng)停留在物理含義這個(gè)層面上，還可以指出復(fù)雜系統(tǒng)可通過分解為一些簡單的、形式一致的簡單系統(tǒng)（例如二階系統(tǒng)）來實(shí)現(xiàn)，上升到更高的思維和應(yīng)用層次。

4.卷積積分的積分與微分性質(zhì)，這個(gè)性質(zhì)實(shí)際上是在上述性質(zhì)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，可幫助更簡便更巧妙地計(jì)算卷積積分。這里只列出經(jīng)推廣后的性質(zhì)，即若y（t）=x（t）*h（t），則y（n）（t）=x（i）（t）*h（j）（t）其中整數(shù)n，i，j滿足n=i+j即可。如果i>0，則x（i）（t）為x（t）通過i個(gè)微分器的輸出-i>0，則x（i）（t）為x（t）通過個(gè)積分器的輸出，例如，x（3）（t）*h（-2）（t）=x（t）*δ′（t）*δ′（t）*δ′（t）*h（t）*u（t）*u（t）*u（t）利用交換律結(jié)合律、u（t）*δ′（t）=δ（t）、x（t）*δ（t）=x（t）等性質(zhì)可得：x（3）（t）*h（-2）（t）=x（t）h（t）*δ′（t）=y（t）*δ′（t），即y（1）（t）=x（3）（t）*h（-2）（t）。但是需要強(qiáng)調(diào)使用條件：被積分的信號需要可積，即要求是有始信號（或稱右邊信號）。顯然，y（1）（t）=x（1）（t）*h（t）的物理含義正好是LTI系統(tǒng)的微分特性，而y（-1）（t）=x（-1）（t）*h（t）的物理含義正好是LTI系統(tǒng)的積分特性。

四、結(jié)語

上述是筆者根據(jù)信號與系統(tǒng)的多年教學(xué)經(jīng)歷總結(jié)的一些教學(xué)思考。教學(xué)內(nèi)容是課堂教學(xué)的核心，作為教學(xué)活動(dòng)的策劃者，教師必須對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效的解構(gòu)與重構(gòu)并加以擴(kuò)展，使之更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和實(shí)際應(yīng)用，在教學(xué)中需要將數(shù)學(xué)公式與信號與系統(tǒng)的物理含義相結(jié)合，使學(xué)生更容易掌握課程知識，靈活運(yùn)用，不能把信號與系統(tǒng)當(dāng)成數(shù)學(xué)課來上。因篇幅原因，只針對與卷積積分的定義、性質(zhì)相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容方面進(jìn)行探討，沒有對學(xué)情、教學(xué)方法等進(jìn)行分析，也沒有舉太多例子。如有錯(cuò)漏，希望講授該課程的同仁或?qū)＜覀兘o予斧正。

參考文獻(xiàn)：

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