“分式單元起始課”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

王華

發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要育人任務(wù)。經(jīng)歷發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所需要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是有效途徑。在具體的單元起始課教學(xué)中，設(shè)計(jì)合理的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷分式概念、分式基本性質(zhì)、分式運(yùn)算和分式方程的抽象過(guò)程，構(gòu)建分式這一章的研究思路，探尋研究方法，對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，具有重要的教學(xué)實(shí)踐意義。下面以“分式單元起始課教學(xué)為例，研究在教學(xué)過(guò)程中怎樣實(shí)現(xiàn)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)的育人價(jià)值。

一、教學(xué)內(nèi)容

分式整章建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生了解“為什么要學(xué)”“將要學(xué)什么”“如何學(xué)分式”。

二、教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中抽象出分式概念、分式的基本性質(zhì)、分式的運(yùn)算和分式方程的過(guò)程，構(gòu)建分式這一章的研究思路，探尋研究的方法。

三、教學(xué)過(guò)程

1.基于情境，以分?jǐn)?shù)“長(zhǎng)”分式。

問(wèn)題1：如圖1，已知長(zhǎng)方形的面積和其中一邊的長(zhǎng)，求另一邊的長(zhǎng)。

問(wèn)題2：京滬鐵路是我國(guó)東部沿海地區(qū)縱貫?zāi)媳钡慕煌ù髣?dòng)脈，全長(zhǎng)1462km，是我國(guó)最繁忙的鐵路干線(xiàn)之一。

如果貨車(chē)的速度是90km/h，客車(chē)的速度是貨車(chē)的2倍，那么：（1）貨車(chē)從北京到上海需要多少時(shí)間？（2）客車(chē)從北京到上海需要多少時(shí)間？

如果貨車(chē)的速度是akm/h，客車(chē)的速度是貨車(chē)的2倍，那么：（1）貨車(chē)從北京到上海需要多少時(shí)間？（2）客車(chē)從北京到上海需要多少時(shí)間？（3）若經(jīng)過(guò)技術(shù)升級(jí)，貨車(chē)提速10km/h，則該貨車(chē)從北京到上海需要多少時(shí)間？

設(shè)計(jì)意圖：以長(zhǎng)方形面積、火車(chē)行駛問(wèn)題為背景，分別從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)兩個(gè)角度，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從分?jǐn)?shù)到分式的類(lèi)比過(guò)程，抽象出“新的代數(shù)式”，從而感受研究分式的必要性。

2.提煉共性，關(guān)注概念形成。

問(wèn)題3：[23]， [12]， [25]，[2a]， [3a]，[ba]， [146290]，[1462120]，[1462a]，[14622a]，[1462a+10]，其中哪些式子是你們熟悉的、學(xué)過(guò)的？?jī)深?lèi)式子有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：將新的式子與分?jǐn)?shù)加以比較。（1）引導(dǎo)學(xué)生從形式上發(fā)現(xiàn)相同點(diǎn)，即都有分?jǐn)?shù)線(xiàn)，本質(zhì)上都是除法運(yùn)算的結(jié)果。（2）引導(dǎo)學(xué)生分別從分子、分母上找不同點(diǎn)，即分?jǐn)?shù)的分子都是整數(shù)，新代數(shù)式的分子可以是整數(shù)，也可以含有字母；從分母上來(lái)看，分?jǐn)?shù)是整數(shù)，新代數(shù)式的分母含有字母。進(jìn)而概括分式的本質(zhì)屬性（共同特征）并加以命名（沒(méi)有必要精致化概念，只通過(guò)本質(zhì)屬性的提煉而命名分式）。此時(shí)，師生共同歸納：研究定義就是要通過(guò)實(shí)例來(lái)提煉一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的共同特征。

問(wèn)題4：我們知道，當(dāng)長(zhǎng)方形面積為2，一邊長(zhǎng)為a時(shí)，[2a]表示什么？分式[2a]還可以表示其他實(shí)際意義嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受分式存在于很多實(shí)際問(wèn)題之中，同一個(gè)分式有不同的實(shí)際意義。

問(wèn)題5：回到情境1中的[2a]。（1）我們可以看作：當(dāng)a=3時(shí)，[2a]=[23]；當(dāng)a=4時(shí)，[2a]=[24]；當(dāng)a=5時(shí)，[2a]=[25]；用具體的數(shù)值代替分式中的字母，就能得到相應(yīng)的分式的值。（2）對(duì)于分式[2a]，當(dāng)a=-3時(shí)，[2a]=-[23]。選擇一個(gè)你喜歡的a的值，求分式的值。a能取所有實(shí)數(shù)嗎？a能取0嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合學(xué)生舉的實(shí)例，明確用具體的數(shù)值代替分式中的字母，就能得到相應(yīng)的分式的值。當(dāng)分式中的字母取定后，分式的值可以為某些分?jǐn)?shù)，通過(guò)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生體會(huì)分式與分?jǐn)?shù)不僅形式相同，而且還存在其他的數(shù)學(xué)聯(lián)系。進(jìn)一步地，通過(guò)追問(wèn)的設(shè)計(jì)，明晰研究分式概念、分式的值和取值范圍的必要性。

3.拼接矩形，感悟分式性質(zhì)。

問(wèn)題6：按要求拼一拼，想一想。

材料：全等的長(zhǎng)方形紙片若干張。操作方法：（1）如圖2，1張長(zhǎng)方形紙片的面積為b，一邊長(zhǎng)為a，則另一邊長(zhǎng)為多少？（2）如圖3，2張長(zhǎng)方形紙片的面積為2b，一邊長(zhǎng)為2a，則另一邊長(zhǎng)為多少？（3）如圖4，3張長(zhǎng)方形紙片的面積為3b，一邊長(zhǎng)為3a，則另一邊長(zhǎng)為多少？（4）n張長(zhǎng)方形紙片的面積為nb，一邊長(zhǎng)為na，則另一邊長(zhǎng)為多少？（5）你發(fā)現(xiàn)了什么？

隱喻：“乒乓球和網(wǎng)球”的故事。乒乓球與網(wǎng)球是兩種球類(lèi)運(yùn)動(dòng)，在形式上有很多相似之處：都是單人或者雙人進(jìn)行比賽；比賽場(chǎng)地都是用網(wǎng)相隔；規(guī)定球都要直接打到對(duì)方的區(qū)域。于是就可以從乒乓球比賽“交換發(fā)球”這個(gè)規(guī)則，跳躍地聯(lián)想到網(wǎng)球比賽的規(guī)則中也可能有“交換發(fā)球”。

設(shè)計(jì)意圖：長(zhǎng)方形紙片的增加，導(dǎo)致整體面積擴(kuò)大，一邊長(zhǎng)隨之?dāng)U大，而另一邊長(zhǎng)始終不變，引導(dǎo)學(xué)生得出[ba]=[nbna]，即分式的分子、分母同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)，分式的值不變。此時(shí)，回想分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)分式不僅與分?jǐn)?shù)形式相同，而且還有與分?jǐn)?shù)相類(lèi)似的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上追問(wèn)：這意味著什么？再通過(guò)“乒乓球和網(wǎng)球”的故事加以隱喻，從而明確我們可以大膽參照分?jǐn)?shù)去學(xué)習(xí)分式其他各部分的知識(shí)。師生共同歸納：研究分式性質(zhì)，就是聯(lián)系分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，研究分式值的不變性。

4.類(lèi)比分?jǐn)?shù)，把握分式運(yùn)算。

問(wèn)題7：京滬鐵路是我國(guó)東部沿海地區(qū)縱貫?zāi)媳钡慕煌ù髣?dòng)脈，全長(zhǎng)1462km，是我國(guó)最繁忙的鐵路干線(xiàn)之一。如果貨車(chē)的速度是akm/h，客車(chē)速度是貨車(chē)的2倍，那么：

（1）都駛完全程，哪一輛車(chē)用時(shí)多？多多少小時(shí)？

（2）若經(jīng)過(guò)技術(shù)升級(jí)，現(xiàn)在貨車(chē)速度為（a+10）km/h，則貨車(chē)原來(lái)用時(shí)是現(xiàn)在的幾倍？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境中兩種車(chē)輛行駛時(shí)間多少、關(guān)系的比較，自然地聯(lián)系分式的減法運(yùn)算。參照分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)分式的減法，還要學(xué)習(xí)分式的加法、乘法、除法以及乘方運(yùn)算，此時(shí)可抽象出分式的除法運(yùn)算。教師進(jìn)而追問(wèn)：分式如何進(jìn)行運(yùn)算，能否用一句話(huà)概括？聯(lián)系“乒乓球和網(wǎng)球”的隱喻，學(xué)生自然得出：分式的運(yùn)算參照分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上，師生共同歸納：研究分式運(yùn)算需參照分?jǐn)?shù)的運(yùn)算（如通分、約分、運(yùn)算法則等）。

5.回到實(shí)際，初識(shí)分式方程。

問(wèn)題8：京滬鐵路是我國(guó)東部沿海地區(qū)縱貫?zāi)媳钡慕煌ù髣?dòng)脈，全長(zhǎng)1462km，是我國(guó)最繁忙的鐵路干線(xiàn)之一。如果貨車(chē)的速度是akm/h，客車(chē)的速度是貨車(chē)的2倍，那么已知從北京到上海的貨車(chē)比客車(chē)多用6h，求貨車(chē)的速度。

設(shè)計(jì)意圖：分式方程是分式與分式或分式與整式之間建立的等量關(guān)系。在此，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題中相等關(guān)系的把握，引導(dǎo)學(xué)生嘗試建構(gòu)，并初步感受轉(zhuǎn)化為整式方程是解決此類(lèi)方程的關(guān)鍵所在。在方程的解決過(guò)程中教師有必要提出今后研究的方向，如分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，有沒(méi)有問(wèn)題？有什么問(wèn)題？師生共同歸納：分式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整式問(wèn)題。

6.構(gòu)建框圖，升華研究過(guò)程。

師：本節(jié)課我們通過(guò)一系列問(wèn)題，研究了分式的概念→分式的性質(zhì)→分式的運(yùn)算→分式方程，現(xiàn)在有必要再次梳理它們的關(guān)系，框圖。

問(wèn)題9：我們是按照什么樣的思路研究分式這一章的知識(shí)的？研究的方法是什么？

設(shè)計(jì)意圖：回顧本節(jié)課的探究過(guò)程，梳理研究思路，幫助學(xué)生在腦海中形成分式這一章的學(xué)習(xí)框圖。

師：從知識(shí)方面講，我們搭建了從分式概念、性質(zhì)、運(yùn)算、方程的學(xué)習(xí)框圖，而這些都是我們用數(shù)學(xué)的眼光從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出來(lái)的。那我們是如何研究的呢？一開(kāi)始，在對(duì)概念的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)分式與分?jǐn)?shù)只是形式相同，隱隱約約感覺(jué)有一點(diǎn)數(shù)學(xué)聯(lián)系，經(jīng)過(guò)對(duì)性質(zhì)的探究，發(fā)現(xiàn)分式與分?jǐn)?shù)不僅形式相同，而且性質(zhì)也是類(lèi)似的。故大膽推測(cè)分式在其他方面也是與分?jǐn)?shù)類(lèi)似的，這種方法在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為類(lèi)比。

四、教學(xué)反思

1.讓學(xué)生經(jīng)歷抽象出分式概念、基本性質(zhì)、運(yùn)算和方程的過(guò)程。

從“長(zhǎng)方形面積”“火車(chē)行駛”兩個(gè)問(wèn)題情境出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷表示分式的抽象活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一類(lèi)新的代數(shù)式，從而體會(huì)從分?jǐn)?shù)到分式的類(lèi)比過(guò)程。而后基于“長(zhǎng)方形面積”問(wèn)題，設(shè)計(jì)“等寬長(zhǎng)方形”操作，讓學(xué)生體會(huì)分式值的不變性，從而抽象出分式的基本性質(zhì)；基于“火車(chē)行駛”問(wèn)題，分別抽象出分式的運(yùn)算和分式方程，并在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上獲得研究的方法。學(xué)生通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，感受分式大量存在于現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，從而體會(huì)研究分式的必要性，即明白“為什么要學(xué)”。而利用兩個(gè)問(wèn)題情境將分式的知識(shí)框架串通，又能讓學(xué)生明確分式的研究思路，即了解“將要學(xué)什么”。

2.讓學(xué)生經(jīng)歷從分?jǐn)?shù)到分式的類(lèi)比過(guò)程，獲得“如何學(xué)”的方法。

學(xué)習(xí)概念時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分式與分?jǐn)?shù)只是形式相同，并有一定的數(shù)學(xué)聯(lián)系，而后經(jīng)過(guò)性質(zhì)的探究，發(fā)現(xiàn)分式與分?jǐn)?shù)不僅形式相同，而且性質(zhì)也是類(lèi)似的，從而得到了類(lèi)比的前提條件，即類(lèi)與類(lèi)之間有很多的相同屬性，故大膽推測(cè)分式在其他方面也是與分?jǐn)?shù)類(lèi)似的。上述類(lèi)比過(guò)程自始至終貫穿整節(jié)課，是一條指引學(xué)生“如何學(xué)”的主線(xiàn)，“授人以魚(yú)”的同時(shí)“授人以漁”。學(xué)生在了解分式研究方法的同時(shí)，也學(xué)會(huì)了如何用類(lèi)比的方法獲得新的知識(shí)。

3.基于章節(jié)起始課教學(xué)，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)。

本節(jié)課用現(xiàn)實(shí)問(wèn)題貫穿整個(gè)分式章節(jié)，關(guān)注數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落實(shí)。另外，由分?jǐn)?shù)到分式的類(lèi)比學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了類(lèi)與類(lèi)之間歸納推理，關(guān)注了邏輯推理的落實(shí)。通過(guò)讓學(xué)生舉例子來(lái)說(shuō)明[2a]的實(shí)際意義等環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，關(guān)注了數(shù)學(xué)建模的落實(shí)。在分式的加減運(yùn)算、分式方程的求解環(huán)節(jié)，師生共同探究解決問(wèn)題的方法，又落實(shí)了數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)。至此，數(shù)學(xué)章節(jié)起始課的育人功能水到渠成。