“問”出思維的火花

李莉　黃秀旺

摘要

什么樣的數學課堂才能激發學生的數學思考，并將數學思考引向深層次，引發學生思維的生長？結合教學活動中的經驗和反思，從概念教學、符號教學、探究教學、解題教學等4個方面談談如何設置有利于激活學生思維活動的問題。

關鍵詞

問題 數學課堂 思維能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調，數學教學應激發學生數學思考的興趣，調動學生思考數學的積極性，從而將數學思考引向深層次，引發學生創造性思維。什么樣的數學課堂才能達到這一要求？對于這種教學境界，或許仁者見仁，智者見智，但根據學生的具體學情巧妙、恰當地設置課堂問題，提出符合學生心理狀態和認知規律的問題，能不斷激發學生新的學習動機，激起學生新的認知沖突，實現在課堂上培養和提高學生的數學核心素養。本文將重點從自身的教學實例中談談問題的設置。

一、“問”出概念的內涵和外延

概念是最基本的思維形式。數學中的命題，都是由概念構成的，數學中的推理和證明，又是由命題構成的。因此，數學概念的教學，是整個數學教學的重要支點。阿基米德說：“給我一個支點，我可以撬動地球。”正確地理解數學概念，是掌握數學知識的前提，數學概念好比支點，而數學法則、定理好比杠桿，可見概念的重要性。

案例：分式方程。

問題的引入：

問題1 甲、乙兩人加工同一種服裝，乙每天比甲多加工一件，乙加工服裝24件所用的時間與甲加工服裝20件所用的時間相同。怎樣用方程來描述其中數量之間的相等關系？

問題2 一個兩位數的個位數字是4，如果把個位數字與十位數字對調，那么所得的兩位數與原兩位數的比值是[74]。怎樣用方程來描述其中數量之間的相等關系？

問題3 某校學生到離學校15km處植樹，部分學生騎自行車出發40min后，其余學生乘汽車出發，汽車速度是自行車速度的3倍，全體學生同時到達。怎樣用方程來描述其中數量之間的相等關系？

設計意圖：用學生熟悉的實際問題引入分式方程的模型，激發學生對本節課學習的興趣。

探索規律，揭示新知：

問題1 比較前面所學的一元一次方程，上面所得方程與一元一次方程有什么區別？

問題2 下列方程中，哪些是分式方程，為什么？

（1）2x+[x+15=0]； （2）[2x+x2=5]；

（3）[1x+1=2]； （4）[2y3+y-12=1].

設計意圖：教師引導學生將其與熟悉的一元一次方程比較，學生通過比較兩者的異同得出分式方程的概念。

讓學生判斷哪些方程是分式方程，進一步鞏固分式方程的特點：分母中含有未知數。

二、“問”出學生的符號感

數學課堂教學中，建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。符號意識是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。

案例：二次根式（2）。

師：觀察下列各式的特點，找出各式的共同規律，并用表達式表示你發現的規律。

[22]=_____，[52]=_____，[102]=_____，

[（-2）2]=_____，[（-5）2]=_____，

[（-10）2]=_____，[02]=_____。

通過觀察，你得到的結論是什么？試著說一說。你能用字母表示上面的結論嗎？

設計意圖：充分調動學生的積極性，通過計算、討論，總結得出其相關性質。

生：當a≥0時，[a2]=_____；當a<0時，[a2]=______。

根據絕對值的意義：當a≥0時，[a]=a；當a<0時，[a]=-a，由此可知：[a2]=[a]。

教師板書：（1）[4]；（2）[（-1.5）2]；（3）[（x-1）2]（x≤1）。

師：你能分別說說a在上面題目中分別代表什么嗎？

設計意圖：引導學生理解字母a不僅可以表示一個數，也可以表示一個單項式和多項式，加強符號感。

三、“問”出學生的探究能力

教師在積極誘導學生使他們感到自己是個發現者、研究者、探究者的同時，必須加強引導，及時調控，充分發揮教師參與者、組織者、指導者和激勵者的作用，為“生成性資源”定向導航。教師要不斷捕捉、判斷、重組從學生那里獲取的各種信息，見機而作，適時調整。

案例：多邊形的內角和。

師：我們已經知道三角形的內角和是180°，那么你們知道四邊形的內角和是多少度嗎？

生1：正方形和長方形的內角和為360°。

師：那一般的四邊形呢？你是怎么得到的呢？

生2：我們也可以像研究三角形一樣用量角器測量或剪下四個內角進行拼接。

師追問：這位同學回答得非常好，邊數少的多邊形可以通過量角或者剪拼來求和，如果邊數很多那又怎么辦？

生3：我可以通過連接對角線把多邊形分割成幾個三角形，利用三角形內角和求得多邊形內角和。

師接著追問：你們覺得剛才同學回答的方法中哪一種可以推廣呢？

學生交流討論之后得出：從一個頂點出發連接對角線發現可以得出幾個三角形，發現多邊形內角和與各三角形內角和之間的關系，三角形個數與多邊形邊數的關系。

建構活動過程是一個從特殊到一般歸納推理的過程，教學中規律要讓學生自己去尋找，結論讓學生自己去發現總結，讓學生充分經歷數學上“化歸”的過程，滲透轉化的數學思想；教學中要讓學生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，并能有效地解決問題，嘗試評價不同方法的差異，從而尋求最優化的解題方法。教師的兩次追問讓學生體驗了從特殊到一般的研究過程，為學生的探究找到了方法，體現了新舊知識之間的聯系，培養了學生的探究能力。

四、“問”出學生的解題能力

1.在學生思考粗淺處追問。

學生受知識經驗的影響，在積極學習、認真思考、熱烈討論中，有時思維會遇到障礙或矛盾，不能進一步思考、解釋、分析，此時，教師要有意識地追問和引導，搭設思維跳板，開拓思路，激起學生創新的火花。

案例：概率。

師：一名籃球運動員的三分球投籃命中的概率是0.7，這個0.7表示什么意思？

生1：0.7表示這個運動員投10個球，進了（稍微停頓了一下）7個球。

教室里一片嘩然。教師笑了笑，沒有評價，而是把目光投向全班學生。

生2馬上站起來：他投10個球一定進7個球嗎？應該說投了10個球，大約進了7個球。

師追問：那他是不是只投了10個球？

有學生好像悟到了什么：應該說他投很多次球，這10次里面有可能進了8次，那10次里面有可能進了6次，但是平均下來，每10次平均進球7個。

在數學教學過程中很多學生會望文生義，不求深入思考。教師抓住學生的認知沖突，通過不斷的追問，引導學生去爭論，把課堂上生成的信息加工成階梯式攀升的問題。學生通過討論、爭辯，產生自悟，最終達成共識。

2.在學生思考錯誤處追問。

布魯納曾經說過：“學生的錯誤都是有價值的。”的確如此，錯誤是孩子最樸實的思想、最真實的經驗。所以學生的錯誤往往是一種鮮活的教學資源，我們教師應該善于挖掘和發現錯誤背后隱藏的教育價值，引領學生從錯中求知，從錯中探究。

案例：三角形邊的關系。

教師讓學生判斷：10厘米、5厘米、4厘米這三條線段能否圍成三角形。

生1：可以，因為10+5>4，兩邊之和大于第三邊，所以能圍成三角形。

很顯然，學生的回答是錯誤的，教師沒有馬上糾正，而是追問：還有別的想法嗎？

生2：10+4>5，兩邊之和大于第三邊，我認為也可以。

生3：我認為不行，因為5+4<10。

教師繼續追問：為什么有的兩邊之和大于第三邊，有的兩邊之和卻不大于第三邊呢？你覺得在什么情況下，才能圍成三角形呢？

生4：剛才兩個學生答得不正確，我覺得應是三條邊中，任意兩邊之和都要大于第三邊，才可以。

教師在學生能深刻理解“任意”的意思后，繼續追問：那我們是不是每次都要考慮三種情況呢？

學生紛紛表示：不需要。那樣太麻煩了，只需要考慮最短的兩條邊的和是否大于第三邊，如果最短的兩條邊的和大于第三邊，那么一個長邊與一個短邊的和肯定大于另一條短邊了。

“問題是科學思維的焦點”，好的問題是打開思維的鑰匙。“三角形邊的關系”的重、難點是讓學生理解三角形任意兩邊之和大于第三邊，會判斷三條線段能否圍成三角形，只要看最短的兩條邊的和是否大于第三條邊。學生在學習中由于考慮問題不全面，通常都暴露出此案例中的錯誤和問題，教師不斷追問，不僅讓學生明白了錯誤的根源，而且讓學生很好地理解了“任意”，也很好地掌握了判斷三條線段能否圍成三角形的最好方法。錯誤是有利教學的鮮活資源，教師要及時捕捉，讓學生在糾錯中體驗到自己主動建構知識的快樂，取得滿意的學習效果。

3.在學生對問題的答案有爭議時追問。

學生受知識經驗的影響，有時思維會遇到障礙或產生矛盾，不能進一步思考、解釋、分析，此時，教師應針對學生的思維矛盾沖突及時追問，積極引導，啟發學生的思維，從而幫助學生開拓思路。

案例：相似三角形。

問題：一個三角形的三邊長分別為3cm、4cm、5cm，和它相似的三角形一邊長為6cm，求另外兩邊長。

生1：另外一個三角形的兩邊長分別為8cm和10cm。因為6是3擴大兩倍得到的，另外兩條邊也相應地擴大了兩倍。

教師笑著看看全班同學追問：你回答得很好，其他同學還有什么想法嗎？

生2：我不同意他的說法，問題中并沒有說6和3是對應邊，6和4也可以是對應邊。

“是的，是的，6和5也可以是對應邊。”只聽到下面學生七嘴八舌地議論道，同座位之間在相互爭論，教師繼續追問：你們覺得該怎么解決這道問題呢？

生3：我覺得要分3種情況討論，分別是6和3對應，6和4對應，6和5對應，所以應該有3個答案。

教師繼續追問：那同學們覺得什么樣的問題需要這種分類討論呢？

學生討論之后發現：當某些條件不確定時，通常需要分類討論。

在中學數學中，分類討論的數學思想是頗為常見的，分類是在題目部分條件缺失或不明確的情況下，按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。掌握分類的方法，領會其實質，對于加深基礎知識的理解，提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的。正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏。

課堂是知識傳遞的交接地，是師生生命涌動的精神家園，是由諸多教學細節組成的，精彩的教學細節使課堂充滿靈動。而教師每一次有價值的提問正是教學中的精彩細節，它撥動著學生的心弦，引領著學生透過現象看本質，給數學課堂帶來了太多的精彩。

（作者單位：1江蘇省南京市江寧區湖熟初級中學；2江蘇省南京市竹山中學）

本文系南京市江寧區初中數學鄉村骨干教師培育站研修項目“基于初中生思維力生長的問題導學式課堂教學”的研究成果。

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