數學例題教學中培養學生思維能力的策略

方良京

廣東省新課程標準明確提出要進一步培養學生的思維能力，運算能力，空間想象能力，以逐步形成運用數學知識來分析和解決問題的能力。因此，如何通過數學的例題教學來培養學生的思維能力，是例題教學的關鍵問題，對此，本人結合自己的教學實踐，談一談例題教

學的一些做法與看法。

一、例題教學中注重數學直覺思維能力的培養

布魯納認為：“直覺思維是突如其來的領悟和理解，往往是在百思不得其解之后產生的”。但其前提是對基礎知識及其結構的掌握，以及對問題提出合理的猜測和假設，這樣一個人才得以放過個別細節而從突然領悟的方式中得到結果。

例1：計算

直覺告訴我們本例的結果可能也是一個含有階乘的表達式，而且是比n大的數的階乘。計算當 1、2、3、4時表達式的值分別為1、5、23、119。這使我們發現，它們恰是2！-1，3！-1，4！-1，5！-1，于是，我們可作出猜想，前n項之和為（n+1）！-1，這一猜想是正確的，要加以證明也是不困難的。

二、例題教學中注重數學發散思維能力的培養

發散思維是根據所給問題的條件，從多個方面分析、探索，以求得大量新穎思維結果的一種思維方式。在例題教學中，若僅滿足正確的求解，淺嘗輒止，例題的潛在功能就可能被淹沒，學生的求知意識也會引起泯滅。在教學中，可通過典型的一題多解、一題多變、一題多用來培養學生的發散性求異思維機制。從而使學生的發散思維能力得到提高。

例2：一條直線經過點 ，且在兩坐標軸上的截距和是6，求該直線的方程。

解析：解法一：設直線在 軸上的截距分別是 ，

（1）當 時，設所求直線為 ，由已知得 ，解得： ，

此時直線方程為 .

（2）當 中有一個是0時，直線方程分別為 ，它們均不滿足題設的另一條件“在兩坐標軸的截距和是6”，因而舍去.

故所求的直線方程為 .

解法二：若所求直線的斜率存在且不為0，設直線斜率為 ，在 軸上的截距為 ，

直線方程為 ，由題知： ，

解之得： ，

此時直線方程為 .

當 或 不存在時，不合題意.

故所求的直線方程為 .

解法三：由題知直線經過點 ，且在兩坐標軸上的截距和是6，顯然斜率存在，設直線方程為 ，不難求得該直線在 軸上的截距分別為 ，以下求解基本同解法二。

三、例題教學中注重數學逆向思維能力的培養

在數學問題解決過程中，如果單純用一種思維方式去思考，有時會陷入困難境。在例題教學中，要善于引導學生學會從不同的角度，不同方向思考問題，順推不行時考慮逆推；直接解決不行時考慮間接解決。在解決問題遇到障礙時，迅速轉變思維方向，尋找解決問題的其他途徑，促使問題得以解決。

例3：求證方程 無實根。

本題若用求根公式來討論，則運算量大；若運用逆向思維，考慮用反證法，則易如反掌。

證明：設原方程的兩根分別為 ，其中至少有一個整數根，不妨設 為整數根，由韋達定理得：

由①知 也是整數，由②知 必定都是奇數，而兩個奇數之和是偶數與①矛盾。故 不可能為整數，而原方程無整數根。

四、例題教學中注重數學創新思維能力的培養

荷蘭著名學者弗來登爾說過，學習數學的唯一正確方法是實行“再創造”，也就是由學生自己去發現或創造出需要學習的東西。教師在例題教學中若能應用探索性問題不斷加深問題的層面，善于創設各種問題情境，引導學生進行創造性的思考，則有益于發展學生的創新能力。

例5：水池有甲、乙、丙、丁四根進水管，若甲、乙、丙三管同時打開，12分鐘可注滿水池；若乙、丙、丁三管同時打開，15分鐘可注滿水池；若甲、丁兩管同時打開，20分鐘可注滿水池；如果四管同時打開，需要多少時間可注滿水池？

對于本例，常規的想法是設未知數，列出方程組去解題。但是這樣的解法比較傳統，并且學生解方程組也容易出錯。此時，若教師引導學生探索、發現：兩個甲管、兩個乙管、兩個丙管、兩個丁管同時打開一分鐘可注滿水池的 ，所以甲、乙、丙、丁同時打開可注滿水池的 ，通過這樣的引導，學生很快發現注滿水池只需要10分鐘，問題得到解決。

這個解法跳出了常規的列方程解應用題的模式，根據題中的隱含條件，使解題過程簡捷、流暢、易懂，經過這樣的分析，有助于創新思維能力的形成。

總之，培養學生思維能力是一個復雜、漫長的過程。教師應潛心鉆研例題的特點與解法，通過有效的途徑加以引導，從而達到培養學生思維能力的目的。