從“將軍飲馬”談如何提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

羅祠兵

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，人們?cè)絹?lái)越關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，更關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問(wèn)題更引起廣泛的討論。如何理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如何在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文試對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題談一談自己的理解。

一、對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解

“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來(lái)的生活中為滿(mǎn)足個(gè)人成為一個(gè)會(huì)關(guān)心、會(huì)思考的公民的需要而具備的認(rèn)識(shí)，并理解數(shù)學(xué)在自然、社會(huì)生活中的地位和能力，做出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力”。可見(jiàn)，核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。它是人們通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立起來(lái)的認(rèn)識(shí)、理解和處理周?chē)挛飼r(shí)所具備的品質(zhì)，通常是在人們與周?chē)h(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的思考方式和解決問(wèn)題的策略。

比如，HOV車(chē)道的產(chǎn)生就和數(shù)學(xué)素養(yǎng)密不可分。上世紀(jì)九十年代的美國(guó)汽車(chē)擁有量與日俱增，每到出行高峰時(shí)段，車(chē)流密度陡增，不管只有1人、2人、3人還是更大大容量的車(chē)都無(wú)法避免在同樣的車(chē)道緩慢前行，降低了高速的舒適性。為此維爾博·史密斯聯(lián)合咨詢(xún)公司就提出一種緩堵設(shè)想：能不能預(yù)留一條或多條車(chē)道讓大容量的車(chē)優(yōu)先通行？從而有利于在有限的道路空間運(yùn)輸更多的乘客，還減少高峰時(shí)間內(nèi)車(chē)輛對(duì)有限道路空間供給的競(jìng)爭(zhēng)，減少行駛壓力。那么問(wèn)題就出現(xiàn)了，載有幾人的車(chē)叫大容量車(chē)？1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)或更多，下限是多少？為此，該公司用統(tǒng)計(jì)的方法，收集不同時(shí)段不同容量的車(chē)的車(chē)流密度和行駛速度從而確定最優(yōu)方案。在這個(gè)過(guò)程中，該公司就是源于數(shù)感，有意識(shí)地把各類(lèi)數(shù)量建立起聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到高速路上的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中兼顧數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升

在數(shù)學(xué)教學(xué)中會(huì)遇到“將軍飲馬”這一類(lèi)模型：在古希臘一位將軍向聰明過(guò)人的海倫請(qǐng)教了一個(gè)問(wèn)題：如圖（1），從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線(xiàn)最短？如何確定飲馬的地點(diǎn)？大家都知道：連結(jié)兩點(diǎn)之間所有線(xiàn)中，最短的是線(xiàn)段。這個(gè)問(wèn)題中馬走的是一條折線(xiàn)。這又該怎么辦呢？海倫的方法是如下：如圖（1）所示，取A關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，連結(jié) ，與河岸線(xiàn)相交于C，則C點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線(xiàn)走到C，飲馬之后，再由C沿直線(xiàn)走到B，所走的路程就是最短的。

據(jù)統(tǒng)計(jì)，超過(guò)80%的學(xué)生在初次遇到“將軍飲馬”問(wèn)題時(shí)能根據(jù)教師的引導(dǎo)理解并掌握解這一道題的技能。在這80%的同學(xué)中有60%能在第二次遇到時(shí)熟練解答，不足20%的同學(xué)能夠就這一技能運(yùn)用自如，從而解決類(lèi)似的問(wèn)題（如下文中的問(wèn)題1和2）。這就是未能將數(shù)學(xué)技能轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)能力的結(jié)果，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)缺失的表現(xiàn)。為此，就這一模型的教學(xué)，我們可以從如下三個(gè)方面著手以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（1） （1）激趣先行、探索在后，對(duì)技能的掌握更加深刻

前蘇聯(lián)著名教育家蘇霍姆林斯基也說(shuō)：“如果教師不想法使學(xué)生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，就急于傳授知識(shí)，學(xué)生不會(huì)有學(xué)習(xí)的興趣，學(xué)習(xí)也就會(huì)成為學(xué)生沉重的負(fù)擔(dān)。”這句話(huà)闡述了一個(gè)道理——興趣是最好的老師。就這個(gè)模型的教學(xué)來(lái)說(shuō)，我們可以忠實(shí)于問(wèn)題的起源，就以故事的原生態(tài)呈現(xiàn)在學(xué)生面前，保持其趣味性，激發(fā)求知欲，而不是教師越俎代庖直接抽象為一個(gè)確定兩線(xiàn)段之和最小的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。我們還可以在教學(xué)中讓學(xué)生先大膽嘗試隨意猜測(cè)，用“第六感”解答，緊接著從數(shù)學(xué)的角度探索、推理從而驗(yàn)證誰(shuí)的直觀感覺(jué)最準(zhǔn)。這樣激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣讓他們專(zhuān)注的整個(gè)問(wèn)題的探究，從而保證對(duì)這一技能的掌握更加深刻。

（2） （2）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的總結(jié)，從技能升華為能力

問(wèn)題1：如圖（2），∠A0B內(nèi)有一點(diǎn)P，在0A、0B上分別找點(diǎn)M、N，使△PMN的周長(zhǎng)最小.

分析：如圖（3）先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連P1、P2，交OA于M，交OB于N，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得到△PMN的周長(zhǎng)等于P1P2。在掌握了“將軍飲馬”問(wèn)題以后，為什么只有為數(shù)不多的學(xué)生可以自行解答問(wèn)題1？這是不是在核心素養(yǎng)中推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)缺失的表象？那么問(wèn)題根源何在？同學(xué)們的疑惑“不知道為什么要這樣做，只知道該這樣做”、“只知道要找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”、“點(diǎn)和線(xiàn)都很多，不知道找誰(shuí)關(guān)于誰(shuí)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”直指問(wèn)題的源頭——死記硬背操作步驟，欠缺對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)！老師不妨引導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題“找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的目的是什么？”、“這種做法中用到了哪一種數(shù)學(xué)思想方法”做總結(jié)，從而揭示這一類(lèi)問(wèn)題找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)只是一種手段，真正的目的是實(shí)現(xiàn)等量代換，這當(dāng)中用到了轉(zhuǎn)換的思想。

事實(shí)上從教材內(nèi)容看，數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)的外顯形式，學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)，而數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的動(dòng)力工具。可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅可以提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且有利于核心素養(yǎng)的提升。

（3） （3）融會(huì)貫通是提升核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)歸納類(lèi)比、抽象概括、反思建構(gòu)等，通過(guò)自己的主動(dòng)性，力求使學(xué)習(xí)過(guò)程變成“再創(chuàng)造”過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)能力.在學(xué)習(xí)過(guò)程中要不斷地舉一反三，方能融會(huì)貫通。

綜上所述，數(shù)學(xué)影響著人的成長(zhǎng)和人類(lèi)文明的發(fā)展，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)不難理解為何數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)教育中占據(jù)如此重要的地位。同時(shí)，作為一名數(shù)學(xué)教師，從“傳道授業(yè)”的角度看，我們應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的總結(jié)而非單純的傳授技能；從“解惑”的角度看，我們應(yīng)當(dāng)盡我們的所能在一切教學(xué)活動(dòng)中把握一切機(jī)會(huì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高！