采用類比推理方法探究2017年北京理科第18題

周開炎

在人類發展的歷史上，類比推理方法被譽為科學活動中“偉大的引路人”“人類認知的核心”。在數學教學和研究中，通過類比推理方法可需尋求到解決數學問題和得出數學結論的方法和途徑；可培養學生的發散思維、創造思維及合情推理能力.與之相對應的，高中新課標（實驗）把培養學生的類比推理能力作為主要的能力培養目標之一。近年來，各地的高考試題中常出現類比思維的問題，同時很多高考題也適合進一步類比拓展。

2017年北京高考數學理科第18題是一道關于直線和拋物線位置關系的問題，試題樸實無華、平易簡潔.筆者對本試題第（Ⅱ）小問進行了深入思考，采用類比推理的方法對試題進行了探究，得到了五個具有價值的推廣結論.

一、試題及解答

已知拋物線 過點 .過點 作直線 與拋物線 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 交于點 ，其中 為原點.

（Ⅰ）求拋物線 的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

（Ⅱ）求證：點 為線段 的中點.

解：（Ⅰ）易求 .拋物線 的焦點坐標 ，準線方程為： .

（Ⅱ）易知直線 的斜率存在，設直線 ， .

由題意可知直線 ，直線 ，所以 .

由 消去 ，整理得 .

所以 .

因為

.

所以點 為線段 的中點.

二、采用類比推理方法推廣試題結論

（一）從特殊類比到一般

通過取特殊值，容易判斷出結論不再成立，也就是點 不再是線段 的中點.命題人是如何找到點 和點 這兩個點的呢？還存在別的點嗎？如果有，這兩個點之間會有什么關系呢？

通過畫圖和計算，很容易看出過點 和點 的直線恰好與拋物線 相切.那么，在其它條件不變的情況下，是否過 軸上任意一點 作一條直線與拋物線相切于點 ，這樣的一對點能使得點 為線段 的中點呢？

1.從特殊點類比到一般點

推廣結論1：已知點 在拋物線 上，過點 的直線 與拋物線 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 （ 為原點）交于點 ，則點 為線段 的中點.

結論1對拋物線 成立嗎？

2.從特殊拋物線類比到一般拋物線

求過點 的直線與拋物線的切點 .容易證明點 為線段 的中點.

于是，得到推廣結論2.

推廣結論2：已知拋物線 ，點 .過點 作直線 與拋物線 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 交于點 ，其中 為原點.則點 為線段 的中點.

由特殊向一般類比，絲絲相扣，既要求有良好的探究能力，同時也需要具有良好的發散性思維和合情推理能力.

（二）平行類比

由于拋物線與橢圓都屬于圓錐曲線，具有很多相似的性質，應該可將這種特殊結論向同類相似問題類比.反之，熟練的運用類比推理的方法將這種特殊結論進行平行類比，也有利于加強知識之間的橫向聯系，加深對知識的深刻理解.

1.從拋物線類比到橢圓

結論2能否推廣到橢圓呢？

回到結論2，容易發現 軸恰好與拋物線 相切于頂點，抓住這個特征，將結論推廣到橢圓中.

推廣結論3 已知橢圓 ，點 .過點 作直線 與橢圓 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 交于點 ，其中 .則點 為線段 的中點.

2.從拋物線類比到雙曲線

類比將結論推廣到橢圓的過程，容易得到結論4.

推廣結論4已知雙曲線 ，點 .過點 作直線 與雙曲線 交于不同的兩點 ，過點 作 軸的垂線分別與直線 交于點 ，其中 .則點 為線段 的中點.

（三）聯想類比

將上述結論作更一般化的推廣，易得到結論5.

推廣結論5：已知圓錐曲線 ，過點 作曲線 的兩條切線，切點記為 .過點 作直線 與曲線 相交于點 ，過點 作平行于直線 的直線 分別與直線 交于點 .則點 為線段 的中點。

在高中數學教學中，教師不但要善于利用類比推理，而且要有意識地對學生進行類比訓練，促使學生在生活和社會實踐中對遇到的問題能進行類比推理，找出解決問題的辦法.這樣不僅能拓展其思維的領域，而且有助于發展學生的創造性思維和能力.