運用類比和遷移幫助學生建立良好的數學認知結構

李麗英

所謂學生的數學認知結構就是指數學系統的內容在學生頭腦中形成的系統的邏輯結構模式。學生的認知結構，學生學習數學過程中形成和發展起來的。小學生對數學知識的理解與掌握都必須憑借頭腦已有的認知結構，因此，從這個觀點看，在小學數學學習中，小學生對的數學認知結構是一個關鍵因素。

“分數工程問題”是分數應用題的一個特例。它反應的是工作總量、工作時間、工作效率之間三者相互關系，是整數工程問題的延伸。只不過分數工程問題中工作總量的具體數量不知道，用單位“1”表示工作量，用 工作效率，這是分數工程問題的基本特征。因此，我在教學分數工程問題時從學生原來的數學認知結構中找準新知識的生長點，運用類比遷移，達到以舊知識同化新知識的效果，并且把新知識納入原來的數學認知結構。在練習中運用對比，變式等多種形式，不斷完善，擴展原來的數字認知結構，使學生的心理不斷地從不平衡，促使學生建立良好的新的數學認知和結構，結合自己在教學“分數工程問題”中談談具體的做法。

一、抓住新的知識的生長點，進行鋪墊學習

由于工程問題比較抽象，學習往往感到不易理解，為了便于學習掌握，可通過簡單的實例，使學生弄清如何表示全部工程和工作效率，目的是復習基本數量關系，為學習新知識做好鋪墊。開始教學時，首先出示一組題目讓學生練習：

（1） 說出工作總量、工作時間、工作效率三者的關系。

（2） 修一段30千米的公路，由甲工程隊修建需要10天，甲隊每天修多少千米？

（3） 修一段30千米的公路，由乙工程隊修建需要15天，乙隊每天修多少千米？

（4） 修一段公路，由甲工程隊修建需要10天，甲隊每天修幾分之幾？

（5） 修一段公路，由乙工程隊修建需要15天，乙隊每天修幾分之幾？

（6） 修一段30千米的公路，由甲工程隊修建需要10天，由乙工程隊修建需要15天，如果兩隊同時修，幾天可完成？

第（6）題解答完后，再說明其數量關系，教師板書：

30÷ （ 30÷10 + 30 ÷15） = 6 （天）

甲工作效率 乙工作效率 = 工作時間

工作總量 ÷ 工作效率和 = 工作時間

這樣，通過復習準備，喚起學生的舊知，為新知的構建做好鋪墊。

二、運用類比遷移，進行新知教學

抽出上面復習題第（6）中工作總量的具體數量“30千米”

就得一道基本的分數工程問題應用題：“修一段公路，由甲工程隊修建需要10天，由乙工程隊修建需要15天，如果兩隊同時修需要幾天可完成？”我設計下列問題讓學生進行自學分別討論：

（1） 這道題的問題是什么？求這個問題用什么數量關系式？

（2） 工作總量的具體數量不知道，可把它看作是什么？

（3） 甲隊的工作效率用什么表示？乙隊的工作效率呢？

（4） 怎樣求甲、乙兩隊工作效率的和？

學生通過討論，發現當工作總量的具體數不知道的時候就可用單位“1”表示，

工作效率可以用1/工作時間來表示。這樣，關鍵的問題解決了，就可以用舊知進行解題，實現了知識的類比和遷移。板書：

1÷（1/10+1/15）= 6（天）

解答完后，讓學生對比分析，抽去“30千米”前后兩道題的異同要求學生比較兩題的變化量和不變。

變化量：修一段公路長度（具體數量）變化；

不變量：① 兩隊單獨完成時間不變。

②計算公式不變；

③兩隊合修需要天數不變。

并引導學生思考解答分數工程問題的關鍵地方。

把工作總量用“1” 表示，

板書：關鍵 工作效率有1/工作時間表示

這樣，通過一系列的教學，運用類比遷移，既完成了知識的同化，只將新知識納入原來的數學知識結構中去，有利于學生主動建構數學認知結構。

三、進行鞏固拓展練習，不斷完善，發展原來的數學認知結構

教學實踐告訴我們。雖然在新課過程中把新知納入原來的數學認知結構，但是這樣的聯系還是不夠緊密的，需要進行一定分量的練習，才能得到鞏固、強化，所以在新課之后進行基本訓練，目的在于鞏固新知，強化學生的數學認知結構，并及時反饋學生掌握新舊情況。

另一方面，分數工程問題是從整數工程問題類比遷移過來的但是這兩種應用題既有聯系，又有區別。在練習中我設計一組對比訓練：

（1）一條水渠全長150米，甲隊單獨修要10天完成，乙隊修要15天完成，兩隊合修要多少天完成？

（2）一條水渠，甲隊單獨修要10天完成，乙隊修要15天完成，兩隊合修要多少天完成？

目的在于溝通新舊知識之間的聯系，使學生知道新知識在一定條件下可以轉化。另外，讓學生了解到當工作總量用具體數量，工作效率也應該用具體數量；當工作總量用“1”表示，工作效率也相應地用1/2工作時間表示。這樣，學生的數學認知結構得到完善，充分發揮整體功能效應。

當學生的數學認知結構得此強化、完善后，為了培養學生的應變能力，邏輯思維能力，使學生的數學認知結構逐漸發展到能夠適應復雜的知識學習。我設計一些變式練習和綜合練習：

例題：“修一段公路，甲隊獨修需要10天，乙隊獨修需要15天”

（3）甲乙兩隊合修全工程的1/2，需要多少天？

（4）由丙工程隊修需要12天，三隊合修需要多少天？

（5）甲、乙兩隊合修兩天后，還剩下工程的幾分之幾？

（6）甲、乙兩隊合修兩天后，剩下的甲乙隊單獨修，還需多少天才能完成？

綜合練習：

生產一批零件，甲單獨做需10天完成，乙單獨做需8天完成，丙單獨做需20天完成。（只列式不計算）

（7）甲、乙、丙合做幾天可以完成？

（8）甲、乙、丙合做完成這些零件的2/3，需要多少天？

（9）甲獨做了3天后，剩下的乙、丙合做，還需幾天？

（10）甲、丙合作三天后，剩下的由乙獨做，還需幾天？

在分數工程問題教學過程中，要從學生原來的教學認知結構出發，找準新知的生長點，運用類比遷移，把新知納入原來的數學認知結構中，并且不斷地強化、完善，發展原來的數學認知結構，形成新的數學認知結構，才能取得較好的教學效果。在這里值得一提是良好的數學認識結構不是一朝一夕可以形成的，要經過學生主動的學習，教師有意識的長期培養。