關于直流電路中星形到三角形電路的等效轉(zhuǎn)換

徐愈強

摘 要：在日常生活中，多端口電路就有廣泛的應用，其中常見的便是Y—Δ這樣的三端網(wǎng)絡的相互轉(zhuǎn)化。而這種轉(zhuǎn)化通常來說通過不同端口的等效懸空可以推導出電阻之間的關系。而本文則提出一種利用歐姆定律來實現(xiàn)對Y—Δ電路的這一轉(zhuǎn)換，來加深對于歐姆定律的理解，有助于更容易的對此類型問題進行一個解答。

關鍵詞：直流電路；歐姆定律；Y形電路；Δ形電路

電阻是對回路中某一段導體對電流的阻礙作用的量化描述，在實際的回路中，節(jié)點之間的電學特性往往比單個電阻，或者多電阻的串聯(lián)或并聯(lián)復雜，通常處理節(jié)點之間的電路問題，主要靠黑匣子測試方法，即不去預先確定電路中由哪些等效電路構成，二是通過測試節(jié)點間的電特性，反向建模去模擬節(jié)點之間的電特性，由此形成的電路是等效電路，雖然與實際電路的具體形式不一定相同，但其電特性可以互換。

對于更加復雜的電阻組態(tài)，不能直接用串并聯(lián)方程和歐姆定律計算電阻大小的情形，如在復雜電網(wǎng)中，存在交叉的節(jié)點群，無法通過簡單的并聯(lián)或者串聯(lián)進行計算，因此需要結合數(shù)學方法，結合歐姆定律進行分析求解，而往往這樣的工具還是不夠，有的電阻的鏈接方法不是常見的形式，在此條件下，需要將這種類型的連接形式，等效變換為熟悉的串并聯(lián)結構，因此要求等效變換的前提是，變換前后的網(wǎng)絡其電特性要完全一致，即兩點之間的電阻相同，節(jié)點流入的電路也相同，節(jié)點的個數(shù)也保持不變，只等效節(jié)點內(nèi)部的電路部分；即整個被變換的網(wǎng)絡，可以完全用新的變換后的網(wǎng)絡來替代，而不對電路中其他部分造成任何影響。

最典型的電阻網(wǎng)絡是形如Y結構和△結構的電阻連接關系，在實際的電路網(wǎng)中，這兩種電阻的分布關系也是最常見的，因此先從兩種電路的等效變換著手，通過上述討論的原則，推導出應該滿足的交換數(shù)學表達式，再次基礎上，分析了一種新的電阻網(wǎng)絡，用同樣的原則進行了推導，最后本文對這種共性的方法進行了總結。

本文先就Y形電路到Δ電路的轉(zhuǎn)換進行論證。

首先，我們將兩個電路圖看做兩個黑匣子，只留出①，②，③三個端口在外面，原則是，從端口看進去的電阻，以及流入流出的電流，在變換前后不變；給出一個先決的等效條件：①，②，③按鈕處對應的電壓電流分別相等。即

現(xiàn)在，我們先對Δ形電路進行一個分析，對于1號端口的干路電流分析，因為I1 這個主干電流在經(jīng)過第一個交接點時，就會有分流現(xiàn)象，一個是流向2號端口，一個流向3號端口，根據(jù)串聯(lián)電路的電流關系可以得知，干路電流等于各支路電流之和，而且，根據(jù)歐姆定律，我們可以得到電流等于該電路兩端電壓除以該電路上的電阻：I=U/R。

而這樣的式子在另外兩個端口依然適用，我們就可以將這個式子同理推導過去，就可以得到這樣一個總的式子：

以上，就是關于Δ形電路各電阻之間的關系的一個分析與推導，下面，我們用同樣的分析方法來分析一下另外一個Y形電路，并通過之前的先決條件來找到兩電路轉(zhuǎn)換的方式。

那么，關于Y形電路，首先，在這個電路的最中間有一個節(jié)點，而我們由圖一可以看到，三個電流都會匯向這個節(jié)點，而由日常生活中的現(xiàn)象我們可以得知，電流不可能就像這樣一直增加下去。所以，這里我們可以得到第一個方程：

現(xiàn)在，我們來單獨分析1、2這兩個端口，在這里我們再次運用到歐姆定律，并且給出一個U12來代表1、2號這兩個端口之間的總電壓，所以由歐姆定律：I=U/R，我們可以得到另一個方程：

現(xiàn)在，我們拋開1號端口，來看2、3號這兩個，由我們剛剛所提到的，可以同理推導過來，同樣給出一個U23，就得到了另一個方程式：

那么，我們也可以得到最后一個方程：

我們仔細觀察這四個方程式，發(fā)現(xiàn)他們可以互相轉(zhuǎn)化，并用來表示某一個數(shù)值，因此，我們將這四個方程式聯(lián)立起來，將其化簡可以很清楚地得到各個干路電流與各支路電阻的關系，關系式如下：

以上，就是對于Y形電路的一個分析結果，我們?nèi)匀豢梢詫㈦娏饔秒娮枧c電壓表示出來，現(xiàn)在，我們就可以開始進行轉(zhuǎn)換了。

那么，我們就可以將這個公式帶入到實際問題之中，來驗證是否存在著一些問題。

對于此問題，我們可以先將4、5、6這三個電阻看成一組（1號組），將1、2、3看成一組（2號組），顯而易見，一號組組成的是一個Δ形電路，而二號組組成了一個Y形電路。

這里給出一個圖如圖三，例：在圖示的電路之中，R1=3Ω，R2=6Ω，R3=9Ω，R4=12Ω，R5=15Ω，R6=18Ω，U=3v，忽略電源內(nèi)阻，試求，通過電源的電流。

因此，對于此問題，我們可以先將2號組，也就是Y形電路變換為一個Δ形電路，以此來達到簡化電路的目的。

而將2號組變?yōu)棣ば坞娐泛螅涂梢园l(fā)現(xiàn)，兩個Δ形電路的三個電阻，分別兩兩構成了一個并聯(lián)的部分，于是，我們就可以對這個電路做進一步的簡化，可以看到，在簡化后，只剩下一個Δ形的電路了。，而此時，我們就可以把這個問題看做一個簡單的串并聯(lián)問題從而得出答案了。

推算過程：將六個電阻分組，1、2、3為一組（二號組），4、5、6為一組（一號組）。

根據(jù)Y形電路—Δ形電路的轉(zhuǎn)化，可以將二號組變?yōu)轭愃朴谝惶柦M的Δ形電路。

由串并聯(lián)關系可得，R12、R4的并聯(lián)電阻=11*12/（11+12）

同理可得，R23、R5的并聯(lián)電阻=33*15/（33+15）

R31、R6的并聯(lián)電阻=16.5*18/（16.5+18）

在最后，可以得到只剩一個Δ形電路，此時，將這個Δ形，看做一個電阻與另外兩個電阻的并聯(lián)，來等效成一個電阻。

R總計算出來，約為：5.3255Ω

此時，我們就可以對提上所要求的，對流過電源的電流進行求解，

I總=U總/R總≈0.5633A 所求得解。

本文就Y形—Δ形電路的轉(zhuǎn)換，利用歐姆定律進行了一個較為詳細的論述，總的來說，其原則在于從任何端口向電阻網(wǎng)絡看進去，都符合歐姆定律的等效原則，以此保證對電路中其他部分的電壓電流都不產(chǎn)生任何影響，在計算基本的Y結構和△結構的等效交換量化關系基礎上，計算表明等效代換后的量值并沒有對結果有任何影響，文中的方法在證明的方面較其他的證明方法要略微簡單一些，讓初學者也可以很快的去理解到證明的過程。但本文提供的方法并不利于將此概念進行一個較為深入的理解，仍有進一步進行深入分析的必要。

而像這樣一類的問題，我們有時候或可以不僅僅將目光放在更為深奧的知識上，以求得解決方法。我們更應該好好利用我們所學過的，比如說歐姆定律，這樣的話，我們也許可以得到一個更為簡便的方案，幫助我們探索更為深奧的層面。

電路理論包含了包括基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL），其描述了通過任何一個節(jié)點的電流之和為0，即流入的電流必完全流出，而不存在電流堆積的現(xiàn)象，其二任何一個閉合的回路的電勢差為0，在這兩個基本定理的基礎上，通過分析不同的節(jié)點，以及選擇不同的回路，可以同時得到多個電壓電流關系，這構成了整個電路分析的理論基礎。此外，通過本文的分析方法，進一步地，可以將復雜的電阻網(wǎng)絡進行等效變化后計算，其好處是顯而易見的，等效變換使得電路分析更加直觀和清晰，有利于迅速的對復雜網(wǎng)絡的求解和計算。

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