向量法在立體幾何中的應用

董秋理

立體幾何一直是高中數學的一個難點，解決這個難題的最好工具就是空間向量。向量融數、形于一體，具有代數形式和幾何形式“雙重身份”，具有線性運算、數量積，既有有向線段表達式，又有坐標表達式，是解決立體幾何問題的一種重要工具，向量本身的這些特點決定了它與立體幾何、解析幾何、三角函數等內容的自然融合，是知識的“交匯點”。

一、平面法向量的坐標的求法

一般根據平面法向量的定義推導出平面的法向量，推導平面法向量的方法如下：

在給定的空間直角坐標系中，設平面 的法向量 [或 ，或

]，在平面 內任找兩個不共線的兩向量 。由 ，得 且

，由此得到關于 的方程組，解此方程組即可得到 。如例2中求平面 的法向量。但是有時候并不能確定該設哪一個分坐標為 ，如果設得不合理，就會出現矛盾，這種情況是因為所求的法向量在某個坐標平面內或者平行某個坐標平面。所以一般情況還是先不賦予某個分坐標的值，待列出方程組后再根據實際需要賦值，而且不一定非得賦予1，其它數值也可以，只不過賦予1運算簡便，但一般不賦予 ，以免出現 而矛盾。

例1， 在例1的條件下，求平面 的法向量和平面 的法向量

解：設平面 的法向量為 ，平面 的法向量為 ，

， ，由 即 解得 故 .

， ，由 即 ，令 ，則 .

平面 的法向量也可以從圖中找一個垂直于該平面的向量，這里用解方程組的方法或得，只是為了舉例說明求法向量的通法。另外，若設 則出現矛盾，故一般在列出方程組后根據實際需要再賦值。

二、空間向量在求解立體幾何題中的應用舉例

（一）空間向量在求空間距離中的應用

1.點到平面的距離、直線與平面的距離、平面與平面的距離

基本原理：如圖，設 是平面 的法向量，點 是平面 外一定點，點 是 內任意一點，則點 到平面 的距離為

.

直線與平面的距離、平面與平面的距離均

可以轉化為點到平面的距離求解。當求直線與

平面的距離時， ， 兩點分別表示直線上的任意一點和平面上的任意一點， 表示平面的法向量。

2.求異面直線間的距離

如圖，已知 為兩異面直線， 為 的公垂線段， 分別為 上的任意兩點， 是公垂線 的方向向量，則

，即異面直線 間的距離是

這個公式和上邊的類似，這里的 是兩異面直線間的公垂線的方向向量，而 分別為兩異面直線上的任意兩點。這樣，這個公式和上邊的公式可以統一為一個。

（二）空間向量在證明垂直、平行中的應用

要證明兩直線垂直，只需證明這兩條直線所對應的方向向量的數量積為 ；要證明直線垂直平面，只需證明這條直線所對應的方向向量與平面內不共線的兩向量的數量積均為 ；要證明兩平面垂直，只需證明一個平面內的一個向量垂直另一平面，或者證明兩個平面的法向量的數量積為 。

要證明直線與平面平行，只需證明這條直線所對應的方向向量平行平面內的一個向量，或者證明這條直線所對應的方向向量垂直于平面的一個法向量；要證明平面與平面平行，只需證明這兩個平面所對應的法向量平行，或者證明一個平面的法向量垂直另一個平面。

（三）空間向量在求空間角中的應用

1.求異面直線所成的角：利用兩異面直線方向向量所夾銳角或直角求異面直線所成角，注意是銳角，

2.求直線與平面所成的角

設AB是平面 的斜線，AC是平面 的垂線，

AB與平面 所成的角 ，向量 與 的夾角 如圖，則 。

3.求二面角

如圖3，設向量 與 分別是二面角 中的兩個半平面 ， 的法向量，則向量 與 的夾角 的大小就是所求二面角或其補

角的大小。

如何來確定兩法向量的夾角是二面角的平面角還是其補角呢？一是判斷兩個半平面的法向量方向：如果一個半平面的法向量的方向是指向它所對應半平面的內側，另一個半平面的法向量的方向是指向它所對應半平面的外側，則向量 與 的夾角 的大小就是所求二面角的大小，若均指向內側或者均指向外側，則互補；二用半平面旋轉法：把二面角的一個半平面繞棱 按照同一個方向旋轉到與另一個半平面重合時，若兩個半平面的法向量的方向相同，向量 與 的夾角 的大小與所求二面角的大小相等，若方向相反，則互補。

向量法的思維過程較簡潔，規律性較強，解答比較容易，但需要正確建立空間直角坐標系及正確確定點的坐標。