CT系統(tǒng)介質(zhì)形狀參數(shù)標(biāo)定

王航 崔尚 鄭維連 張振榮

摘要：將數(shù)據(jù)進(jìn)行解析變換，引入 Radon 逆變換，推導(dǎo)出各種不同形式的逼近表達(dá)式，再離散計(jì)算，最后運(yùn)用MATLAB進(jìn)行編程得到關(guān)于未知介質(zhì)形狀的幾何圖形與圖形的吸收率數(shù)據(jù)。

關(guān)鍵詞：MATLAB；解析變換；Radon 變換

1 未知介質(zhì)幾何形狀與吸收率的確定

首先將數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB，畫圖。

根據(jù)已有結(jié)果知該系統(tǒng)的初始掃描位置為，鉛直方向直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)29.6463°處（鉛直線向下正方向）。需要對(duì)圖形數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。經(jīng)修正后，才能真正反映未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置關(guān)系。修正后附件3的數(shù)據(jù)畫出圖形：

由圖可知，未知介質(zhì)在xy 平面內(nèi)分布不均勻，即衰減系數(shù) μ =μ（x， y） ，則可得在某一方向l ，沿某一路徑 L 的總衰減為：

[JZ（][XCimage310.tif；%50%50，JZ][JZ）][JY]（1）

衰減的集合[XCimage311.tif；%50%50，JZ]稱為投影，即接收信息，反投影重建圖像的原理就是根據(jù)一系列的投影[XCimage311.tif；%50%50，JZ]，求出被積函數(shù)[XCimage312.tif；%50%50，JZ]，從而得出[XCimage313.tif；%50%50，JZ]分布（密度分布）的

圖像，即我們所要求的圖形經(jīng)過(guò)CT掃描之后的最終圖像以及個(gè)點(diǎn)的吸收率。所以我們引入Radon 變換。

Radon 變換的定義為：若[XCimage314.tif；%50%50，JZ]基本空間[XCimage315.tif；%50%50，JZ]，[XCimage316.tif；%50%50，JZ]對(duì)于所有的[XCimage317.tif；%50%50，JZ]是已知的，則稱[XCimage316.tif；%50%50，JZ]是二維函數(shù)[XCimage318.tif；%50%50，JZ]的Radon變換，記為Rf。

由于研究的圖形為二維圖形所以，在Radon 變換中考慮直線表達(dá)為[XCimage319.tif；%50%50，JZ]

其中[XCimage320.tif；%50%50，JZ]為法線長(zhǎng)（即原點(diǎn)到直線的垂線長(zhǎng)），[XCimage321.tif；%50%50，JZ]為法線與[XCimage322.tif；%50%50，JZ]軸的交點(diǎn)。[XCimage323.tif；%50%50，JZ]為直

線[XCimage324.tif；%50%50，JZ]的位置參數(shù)。

積分表達(dá)為：

[JZ][XCimage325.tif；%50%50，JZ]

現(xiàn)令[XCimage326.tif；%50%50，JZ]為直線[XCimage327.tif；%50%50，JZ]的方向，[XCimage328.tif；%50%50，JZ]為[XCimage329.tif；%50%50，JZ]的法線方向，則可得到[XCimage330.tif；%50%50，JZ]得新的坐標(biāo)系，

[JZ（][XCimage331.tif；%50%50，JZ][JZ）][JY]（2）

則有積分[XCimage332.tif；%50%50，JZ][JY]（3）

記[XCimage333.tif；%50%50，JZ]

[JZ][XCimage334.tif；%50%50，JZ]

其中[XCimage335.tif；%50%50，JZ]表示[XCimage336.tif；%50%50，JZ]方向，[XCimage337.tif；%50%50，JZ]表示[XCimage338.tif；%50%50，JZ]的法線上的單位向量。

最后得到直線[XCimage339.tif；%50%50，JZ]的方程為

[JZ（][XCimage340.tif；%50%50，JZ][JZ）][JY]（4）

即[XCimage341.tif；%50%50，JZ]

所以經(jīng)過(guò)Radon變換的Rf函數(shù)為[XCimage342.tif；%50%50，JZ]

[JZ（][XCimage343.tif；%50%50，JZ][JZ）][JY]（5）

Radon 變換的求逆公式：

[JZ（][XCimage344.tif；%65%65，JZ][JZ）][JY]（6）

其中被積函數(shù)[XCimage345.tif；%50%50，JZ]為的集合矩陣為我們要求的未知介質(zhì)的幾何形狀的圖形；[XCimage346.tif；%50%50，JZ]為[XCimage347.tif；%50%50，JZ]的投影，即我們已知的數(shù)據(jù)；圖形[XCimage348.tif；%50%50，JZ]在點(diǎn)[XCimage349.tif；%50%50，JZ]的值稱為[XCimage349.tif；%50%50，JZ]的密度，即未知介質(zhì)每個(gè)點(diǎn)的吸收率。[1]

通過(guò)MATLAB對(duì)Radon變換模型變成進(jìn)行運(yùn)算，可以得到結(jié)果如下：

未知介質(zhì)的形狀為一橢圓形，橢圓內(nèi)部又分布著5個(gè)不同的小橢圓。

2 確定介質(zhì)在正方形托盤上的位置

由已有的結(jié)論可知：附件提供的是CT系統(tǒng)512個(gè)射線與探測(cè)單元以第256與257個(gè)單元中點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的接收數(shù)據(jù)，邊界數(shù)據(jù)是CT系統(tǒng)探測(cè)器的探測(cè)邊緣，而不是正方形托盤的的邊緣，所以，需要先確定正方形托盤在圖形中的具體位置。

由已知數(shù)據(jù)可知正方形托盤的邊長(zhǎng)，中心點(diǎn)，和CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在托盤上的位置。所以旋轉(zhuǎn)中心至中心點(diǎn)的水平距離與豎直距離為：9.2663mm、6.2729mm。

將兩個(gè)距離分別除以問(wèn)題一中求解的兩個(gè)單元點(diǎn)的距離得到兩點(diǎn)相差33、19.5個(gè)單元點(diǎn)。最終求出關(guān)于正方形托盤中心在圖形上的位置（289.5，276）。

然后求出正方形邊長(zhǎng)為[XCimage350.tif；%50%50，JZ]，則正方形邊界到托盤中心的距離為180.6358。由此可列出求解正方形邊界單元點(diǎn)的式子：

[JZ][XCimage351.tif；%50%50，JZ]；[XCimage352.tif；%50%50，JZ]。

3 確定給定的托盤上的10個(gè)點(diǎn)的吸收率

根據(jù)上面求出的正方形托盤在圖形中的位置，將10個(gè)點(diǎn)在圖中的位置用單元點(diǎn)表示出來(lái)并找到對(duì)應(yīng)的吸收率。例如，在正方形托盤中坐標(biāo)為（10，18）的一個(gè)點(diǎn)，它在由附件3重建出來(lái)的圖形中的位置可由以下公式表示：

得到它的吸收率為0。

同理得到十個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在圖中的位置，由于接受信息與圖形形狀吸收率已知，所以根據(jù)附件的數(shù)據(jù)用以上方法進(jìn)行推導(dǎo)，經(jīng)過(guò)求解后，得到圖形與成像圖基本一致。所以證明此方法有效，模型通過(guò)驗(yàn)證。

參考文獻(xiàn)：

[1]孔慧華.加速圖像重建的迭代算法研究[D].中北大學(xué)博士論文，2006：511.

[2]劉成龍.精通MATLAB圖像處理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

基金項(xiàng)目：天津農(nóng)學(xué)院高校教師教育改革創(chuàng)新引導(dǎo)發(fā)展項(xiàng)目“高校數(shù)學(xué)教師創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育能力的提升”（20170301）

*通訊作者：張振榮（1978），女，河北正定人，碩士，講師，研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用及高等數(shù)學(xué)教學(xué)。