經歷“數數過程”，抽象數概念本質

楊宏

一、問題的提出

（一）問題的提出

“數概念”是指分數、負數、平均數等與“數”有密切關系的概念，是小學數學教學的重要組成部分，是學生進一步學習數的運算、與數有關的數學問題的基礎，是培養學生數感、符號感的重要載體。

小學數概念是小學生正確進行列式、計算、判斷、推理等教學活動的基礎，是小學數學教學的一項重要內容，其主要任務是要使學生獲得科學、完整的數概念。教材對小學各年級學生要求掌握的廣度和深度是不一樣的，正如列寧所說：“認識是思維對客體的永遠的、沒有止境的接近。”

（二）研究的意義

在日常教學中，許多教師不能把握概念本質，以致學生對數概念的理解和認識淺嘗輒止、浮于表面。教師往往把一個新的概念和盤托出，讓學生去記憶，然后借助大量的練習去加以鞏固。這樣，常常看似學生掌握較好，但理解不深，不會靈活運用。我們認為，教師要緊扣概念的本質，展示概念的形成過程，幫助學生全面理解、準確把握概念的實質。

二、研究內容

（一）自然數的產生和發展

自然數是最自然的數，自然數理論是整個數學的基礎。自然數產生于計數（數數）。隨著歷史的發展，人類的進步，千百萬次地重復計數，人們慢慢發現，在數各種集合中的事物時，數與被數物的特性無關。正是數字符號，為人們對自然數的認識起了重要的作用。有了數字符號，數學的抽象性特征也就開始展現出來了。

因此，從各種具體事物中抽象出數概念的本質，初步理解十進位位值制記數法是低年級數概念教學要關注的重點內容。

（二）數概念的特點

在所有數學概念中，離學生日常生活最近的是數概念和初等幾何概念，絕大多數的數概念都可以在現實生活中找到模型。正因為大多數的數概念都貼近人類的生活源泉，因此，在數概念的教學中一般都可以借助于實際的情境和活動。

三、相關研究

（一）小學數學數概念的界定及確定依據

1.數概念的形成

從數系的角度看，數概念包括自然數、整數、有理數、實數和復數。但從學習心理的研究來看，主要集中在有理數，特別是自然數上，有關無理數和虛數的研究則寥寥無幾（Zazkis & Sirotic，2004）。

2.數概念的認識有三個發展階段

第一階段（4～5歲）是對數概念無法理解的階段，無法運用一對一的對應關系趨建構兩組有同樣數目的實物。第二階段（5～6歲）是過渡時期，會運用一對一對應關系建構同等數，但對于一對一關系不是充分理解。第三階段（6歲半以后）是對數概念能真正理解的階段，兒童已能用各種方法建構同等性。

3.學生理解位值概念時的困難

位值是小學階段一個比較難學的概念，涉及一系列復雜的想法及關系。對位值缺乏理解的學生在理解小數時有一段困難時期。

（二）小學數學教學中數概念本質的相關研究

為了減少位值概念的教學困難，一些教學輔助工具便應運而生，其中比較著名的是狄恩斯（Dienes，1971）的“狄氏多層算術積木”（Dienes Multibase Arithmetic Blocks）。除了用于手工操作的教學輔助工具外，近年來隨著計算機輔助教學的興起，研究人員還開發了許多用于位值概念教學的軟件。

四、經歷“數數過程”，抽象數概念本質的教學建議

（一）幫助學生從具體實物中抽象出數概念

《課程標準》中明確指出“數學教學是數學活動的教學。”現代教育理論主張讓學生動手去“做”數學，而不是用耳朵“聽”數學。因此，教學要留給學生足夠的時間和空間，讓每個學生都有參與活動的機會，使學生在動手中學習，在動手中思維，在思維中動手，讓學生在動手、思維的過程中探索、創新。

（二）重視“數數”活動，讓學生經歷數概念的產生“過程”

例如，教學《1000以內數的認識》，讓學生經歷數的產生過程。學生在一年級學習認數時，也是分階段學習的。而對于二年級的學生來說，雖然有了一定的認數基礎，但是這些較大數對于學生來說是比較抽象的，通過于學生的課前調查，學生對于以前學過的一、十、百計數單位的關系和百以內數的組成掌握比較好，看到一個兩位數能夠準確的說出組成（ ）個十和（ ）個一，在按順序數數上一個一個數沒有問題，幾個幾個數就會出現問題。把離散的一個一個的抽象成聚合的以計數單位形式呈現的聚合的量。這也是數概念學習的一次飛躍。這也是學習萬的一個基礎。所以我認為需要利用多種直觀而又形象的素材如小正方體、計數器、人民幣等來幫助學生認識，支撐較大數概念的建立。

（三）為學生提供不同層次的學具來理解位值思想

例如：教學《11～20各數的認識》，通過比較體驗，讓學生真真實實地感受到把10根扎成一捆是最容易看出是多少根，并體會到10根扎成一捆這種方法的優越性，進而引發出要認識的新的計數單位‘十。這樣的活動，突破了10個一就是1個十的難點，從而使學生理解了數的意義，建立正確的數概念，也為培養數感奠定了扎實的基礎。

用于現代社會生活信息交流的記數法是我們現在已習慣的10進位位值制記數法，又稱十進位制。含義有二，其一是“十進制”，即用10個不同的數字，按照每滿十數向上進一個單位（逢10進1）的原則進行書寫，十個一進為一個十，十個十進為一個百，十個百進為一個千……；其二是“位值制”，即每個數碼所表示的數值，不僅取決于這個數碼本身，而且取決于它在記數中所處的位置。如同樣是一個數碼“2”，放在個位上表示2，放在十位上表示20，放在百位上就表示200，等等。十進制與人類有10個指頭有關，初學算術的兒童總是拿10個指頭來幫助計算可能就是最好的證明。

這節課是在學生認識計數單位一的基礎上認識新的計數單位十的第一節課， 學生對于數位的知識以及十進制概念更是第一次接觸。因此，本節課重點要使學生初步建立十進概念。

總之，數學是一門邏輯性很強的學科，各個概念不是孤立存在，而是緊密聯系著的，要很好地掌握數概念和運用數概念，必須了解數概念的本質和概念間的聯系。