火箭基組合循環(huán)高超聲速飛行器爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化研究

鄭 雄，劉竹生，楊 勇，雷建長，李爭學

0 引 言

火箭基組合循環(huán)（Rocket Based Combined Cycle，RBCC）推進系統(tǒng)將火箭發(fā)動機和沖壓發(fā)動機有機結合在同一流道中，具有引射（Ejector）、亞燃沖壓（Ramjet）、超燃沖壓（Scramjet）和純火箭（Rocket）等多個工作模態(tài)，能充分發(fā)揮火箭發(fā)動機大推重比和沖壓發(fā)動機高比沖的優(yōu)勢，可執(zhí)行大空域、寬速域飛行任務，是未來高超聲速巡航飛行器（Hypersonic Cruise Vehicle，HCV）以及單級入軌（Single Stage To Orbit，SSTO）重復使用運載器的理想動力系統(tǒng)。

相比于無動力或傳統(tǒng)火箭動力高超聲速飛行器，RBCC高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化除了要解決飛行高度、速度變化大，飛行約束多、復雜，飛行軌跡對控制變量高度敏感等難題，還面臨RBCC發(fā)動機工作模態(tài)多，各模態(tài)性能差異大，飛行軌跡與動力相互耦合的特有困難，這些使得RBCC高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化極具挑戰(zhàn)性，為此必須選擇和發(fā)展一種行之有效的方法。

目前，對RBCC可重復使用運載器上升段軌跡設計與優(yōu)化進行了較多研究[1～4]，而對RBCC高超聲速巡航飛行器的軌跡優(yōu)化研究較少。王厚慶等[5]通過求解縱向平面內的質點運動方程，對RBCC巡航飛行器的飛行軌跡和有效載荷能力進行了分析，但沒有采用優(yōu)化方法，無法獲得性能最優(yōu)的飛行軌跡。呂翔等[6]考慮RBCC發(fā)動機性能與飛行狀態(tài)之間的耦合，提出基于馬赫數-動壓參考曲線的RBCC巡航飛行器爬升段軌跡設計方法，同樣沒有采用優(yōu)化方法，不能充分挖掘飛行器總體性能。李響等[7]利用遺傳算法對RBCC高超聲速導彈的爬升-巡航航程進行優(yōu)化，但沒有考慮動壓、過載、熱流密度等約束，所得結果可能出現(xiàn)不可行點。

本文以RBCC高超聲速巡航飛行器為研究對象，針對其爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化問題，提出一種“粒子群優(yōu)化算法+偽譜法”的嵌套優(yōu)化策略。基于該策略，在以全程燃料最省為優(yōu)化目標的條件下，不僅能優(yōu)化飛行攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度，還能得到飛行器的最佳巡航高度和馬赫數，在模型求解過程中全面考慮RBCC發(fā)動機性能與飛行狀態(tài)的耦合及動壓、過載、熱流密度等約束，最后通過仿真算例，驗證了所提方法的有效性。本文研究旨在結合RBCC高超聲速巡航飛行器的特點提出軌跡優(yōu)化策略，建立優(yōu)化模型，通過對結果進行分析，為此類新型飛行器的總體設計及軌跡優(yōu)化提供參考。

1 任務剖面及優(yōu)化策略

1.1 任務剖面

考慮RBCC高超聲速巡航飛行器任務剖面示意圖如圖1所示。

圖1 RBCC巡航飛行器任務剖面Fig.1 The Mission Profile of RBCC Cruise Vehicle

從圖 1可見，飛行器由機載水平發(fā)射，經引射、亞燃沖壓、超燃沖壓 3個模態(tài)加速爬升到期望高度和馬赫數進行巡航飛行，飛抵目標空域后下壓攻擊，對目標實施精確打擊。為簡化考慮，本文只對爬升-巡航軌跡進行研究，而不考慮下壓攻擊段。鑒于RBCC發(fā)動機各模態(tài)性能差異大的特點，可將爬升段進一步劃分為引射爬升段、亞燃沖壓爬升段和超燃沖壓爬升段。

綜上，RBCC高超聲速飛行器的爬升-巡航軌跡包括以下4個階段：

a）引射爬升段。該階段從水平發(fā)射點火加速至亞燃沖壓模態(tài)的啟動條件，RBCC發(fā)動機在引射模態(tài)比沖較小，推進效率低，為避免長時間的低空阻力消耗，需要飛行器盡快加速和爬高。增大攻角可提高爬高速度，但同時會增大飛行阻力，減小加速度，還可能會造成法向過載超出限定值。因此，攻角的取值需要在爬高和加速之間折中考慮。

b）亞燃沖壓爬升段。該階段RBCC發(fā)動機比沖最大，推進效率最高，為充分發(fā)揮此優(yōu)勢，應使飛行器在該階段的速度增量和高度增量最大。本段設計難點在于發(fā)動機性能對飛行狀態(tài)非常敏感，如果爬高過快而加速太慢，則發(fā)動機進氣量減少，性能降低，而如果爬高過慢而加速太快，由于大氣阻力太大，同樣會降低飛行器性能。

c）超燃沖壓爬升段。該階段飛行器速度大、高度高，對爬高和加速的要求不大，主要任務是使飛行器從爬升段平穩(wěn)過渡到巡航段。本段的工作時間較短，其軌跡設計難點是終端必須滿足巡航起始條件。

d）巡航段。該階段飛行器保持等高等速飛行，其飛行距離占總射程的 90%左右，不同巡航高度和馬赫數下，發(fā)動機性能以及飛行器所受阻力差異較大。因此，有必要對巡航高度和馬赫數進行優(yōu)化，以使飛行全程消耗的燃料最省。

總之，在RBCC高超聲速飛行器爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化過程中，不僅要考慮最佳巡航高度、馬赫數的確定，還要考慮發(fā)動機各模態(tài)的工作范圍限制以及動壓、過載、熱流密度、控制變量的取值范圍等約束，這些導致RBCC高超聲速巡航飛行器燃料最省軌跡的確定需要在諸多約束之間權衡協(xié)調。

1.2 優(yōu)化策略

RBCC高超聲速巡航飛行器的爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化是一個多控制變量、多階段、多約束的最優(yōu)控制問題。針對最佳巡航高度和馬赫數的確定，考慮到粒子群優(yōu)化[8]（Particle Swarm Optimization，PSO）算法概念簡單、智能背景深刻、全局收斂性好的優(yōu)點，本文擬采用粒子群優(yōu)化算法。而對于爬升-巡航這一多階段多約束的軌跡優(yōu)化問題，鑒于偽譜法（Pseudospectral Method，PM）在航空航天領域各類飛行器軌跡優(yōu)化中的廣泛應用[9]，本文擬采用偽譜法。據此，本文提出“粒子群優(yōu)化算法+偽譜法”的嵌套優(yōu)化策略，同時優(yōu)化巡航高度、馬赫數、飛行攻角及發(fā)動機節(jié)流閥開度。嵌套是指偽譜法嵌套在粒子群優(yōu)化算法中，被其不停調用，具體流程如圖2所示。

圖2 嵌套優(yōu)化策略流程Fig.2 The Process of Nested Optimization Strategy

該嵌套優(yōu)化策略的流程包括以下4步：

a）粒子群算法中的粒子對巡航高度和馬赫數賦值，以此作為爬升和巡航的中轉條件；

b）偽譜法進行多階段多約束的爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化，得到射程末端的飛行器質量，并將其作為粒子的適應度；

c）比較各粒子適應度，并據此更新粒子；

d）判斷是否滿足結束條件，若否，返回a，若是，結束。

2 軌跡優(yōu)化數學模型

2.1 動力學模型

將RBCC高超聲速飛行器看作鉛垂平面內運動的可控質點，視地球為圓球，并忽略自轉，則飛行器的動力學模型為

式中 H，V，θ，m，DL，r，α，τ分別為飛行高度、速度、速度傾角、飛行器質量、射程、地心距、攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度；eR，0g，g分別為地球平均半徑、海平面重力加速度和當地重力加速度；D，L分別為阻力和升力， D =qSCD， L = q SCL，其中，q為動壓，S為參考面積， CD和 CL分別為阻力系數和升力系數；P， Isp分別為 RBCC發(fā)動機推力和比沖，P=P(M a,H)，Isp=Isp(Ma,H)，是關于馬赫數和高度的插值表，由RBCC發(fā)動機性能分析或試驗給出。

2.2 控制變量選擇

巡航高度 HCruise和馬赫數 M aCruise的取值對RBCC巡航飛行器總體性能影響較大，因此選擇二者作為粒子群優(yōu)化算法的控制變量。此外，在用偽譜法優(yōu)化爬升-巡航軌跡時，為便于加入對攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度的約束，避免優(yōu)化結果中出現(xiàn)取值變化過快的情況，可將α，τ取為狀態(tài)變量，從而引入新的控制變量uα和uτ：

因此，在偽譜法優(yōu)化爬升-巡航軌跡時，狀態(tài)向量x=[H,V,θ,m,LD,α,τ]，控制向量 u = [uα, uτ]。

2.3 約束模型

2.3.1 控制變量約束

粒子群優(yōu)化算法的控制變量為[HCruise, MaCruise]，偽譜法的控制變量為[uα,uτ]，它們所受約束如下：

2.3.2 過程約束

過程約束是指飛行器在飛行過程中任何時刻都必須滿足的約束條件，否則將直接影響甚至破壞飛行器。本文過程約束除了有一般的動壓約束、法向過載約束、熱流密度約束外，還有為保證RBCC發(fā)動機正常工作的攻角、發(fā)動機節(jié)流閥開度取值約束以及飛行高度約束，具體形式如下：

式中 ρ為大氣密度；C1為與飛行器特性相關的常數；Rd為飛行器頭部曲率半徑；m，n為常數； Hmin(M a)，Hmax(M a)隨馬赫數變化，其規(guī)律由RBCC發(fā)動機性能分析或試驗給出。

2.3.3 邊界約束

邊界約束包括初始邊界和終端邊界約束。初始邊界約束即RBCC高超聲速飛行器發(fā)射時刻狀態(tài)變量的初值，是完全給定的；終端邊界約束是指飛行器在軌跡終點需滿足的條件，本文中包括高度、速度、速度傾角和射程。綜上，邊界約束表示如下：

式中 t為時間；下標0，f分別表示開始和結束。

2.3.4 連接點約束

為使RBCC巡航飛行器的4個階段光滑銜接，需要保證相鄰兩階段連接點處的狀態(tài)量和控制量對應相等。此外，在超燃沖壓爬升段的末端，飛行器應達到巡航條件。因此，連接點約束條件為

式中 i為飛行器飛行的第i個階段。

2.4 性能指標

選擇在滿足既定射程的前提下，燃料最省為優(yōu)化指標，其等效于 ? m (tf)取極小值，故針對粒子群優(yōu)化算法和偽譜法，性能指標均取為

3 優(yōu)化算法基本原理

此節(jié)介紹粒子群優(yōu)化算法和Radau偽譜法的基本原理，其中涉及很多變量，各變量的含義在每種方法中都進行了說明，應分別理解。

3.1 粒子群優(yōu)化算法基本原理

設 PSO 算法中有N個粒子，每個粒子k(k = 1 ,2,… ,N )表示優(yōu)化問題解空間中的一個備選解。所有粒子都有自己的位置速度以及一個由目標函數J = f ( x ( k))計算得到的適應度，其中n為待優(yōu)化變量的個數，通過比較各粒子的適應度來判斷粒子的優(yōu)劣。根據每個優(yōu)化變量的取值范圍 xi∈ [ ai, bi] , i = 1,2,… ,n ，對粒子位置和速度的限制如下：

設 NIT為 PSO算法總迭代次數，在任一次迭代j(j = 1 ,2,… ,NIT)中，各粒子依據自身記憶（粒子k迄今為止搜索到的最優(yōu)位置）和粒子群的記憶（整個粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置）來更新自身的位置，以搜索設計空間內的最優(yōu)解。標準PSO算法的粒子速度與位置更新公式如下：

式中0c為慣性權重系數；1c為粒子跟蹤自身歷史最優(yōu)值的權重系數；2c為粒子跟蹤粒子群歷史最優(yōu)值的權重系數；1r，2r為（0，1）內的隨機數。

結束條件根據具體問題選擇達到最大迭代次數或粒子群搜索到的最優(yōu)位置滿足預期精度。

綜上，PSO優(yōu)化算法的計算流程可歸納為如圖3所示。

圖3 粒子群優(yōu)化算法計算流程Fig.3 The Computation Process of PSO Algorithm

3.2 Radau偽譜法基本原理

偽譜法采用全局插值多項式的有限基在一系列離散點上近似狀態(tài)變量和控制變量，將連續(xù)時間最優(yōu)控制問題轉換為非線性規(guī)劃（Nonlinear Programming，NLP）問題進行求解。本文選擇 Radau偽譜法轉換最優(yōu)控制問題，這是由于Radau偽譜法與Gauss偽譜法或Lobatto偽譜法相比，更易滿足區(qū)間切換點上狀態(tài)變量保持連續(xù)這一條件[10]。

Radau偽譜法將最優(yōu)控制問題的時間區(qū)間[t0,tf] 分成K段，并將每段的時間區(qū)間 t ∈ [ tk?1,tk]轉換到 τ ∈[? 1,1]上，于是對應有：

使用Legendre-Gauss-Radau（LGR）離散點來離散狀態(tài)變量和控制變量，對第 k(k = 1 ,2,…, K )段，選取 Nk個配點它們是的根，其中為 Nk階Legendre多項式，表達式如下：

以為插值節(jié)點，分別用Nk， Nk?1階拉格朗日插值多項式為基函數來近似狀態(tài)變量和控制變量，即：

式中，分別為狀態(tài)變量和控制變量在插值節(jié)點處的值；(τ)，(τ)表達式如下：

將動力學微分方程約束轉化為代數方程約束：

式中第k段處 N ×(N +1)階Radau偽譜微分kk矩陣。

末值型性能指標函數近似為

過程約束為

邊界約束為

此外，為保證相鄰兩段的連續(xù)性，需滿足其中 k =1,2,…,K ?1。

基于上述離散過程，RBCC高超聲速巡航飛行器的多階段多約束軌跡優(yōu)化問題轉化為NLP問題，可以采用SNOPT軟件包求解。

4 仿真算例

4.1 仿真條件

根據上文的任務剖面，RBCC高超聲速巡航飛行器先通過載機掛飛到10 km高度，隨后被水平發(fā)射。初始馬赫數、速度傾角、質量分別為0.8、0°、1500 kg；巡航高度和馬赫數的取值范圍分別為 25～30 km、Ma=6.5～7；期望射程為1500 km。飛行過程中，攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度的取值范圍分別為-2～6°、0.2～1；過程約束為飛行動壓小于等于90 kPa，法向過載小于等于3，熱流密度小于等于2500 kW/m2。RBCC發(fā)動機使用碳氫燃料，引射模態(tài)和亞燃沖壓模態(tài)的轉換馬赫數為3，亞燃沖壓模態(tài)和超燃沖壓模態(tài)的轉換馬赫數為6，各模態(tài)適宜工作范圍由RBCC發(fā)動機性能分析得出。設定粒子群優(yōu)化算法的粒子數10，迭代次數6，c0=0.729，c1= c2=2。在Radau偽譜法中，對RBCC高超聲速飛行器爬升-巡航飛行軌跡的每一階段，均選取插值節(jié)點數21。

4.2 結果分析

圖4為巡航高度、馬赫數優(yōu)化結果。由圖4可知，在第2代時全局最優(yōu)粒子出現(xiàn)，第4代時所有粒子均收斂于全局最優(yōu)粒子，從而得到飛行器最佳巡航高度和馬赫數為30 km、Ma =6.5，此時飛行器剩余質量最大，為749.1 kg。分析認為，RBCC高超聲速飛行器在25～30 km的巡航高度范圍內，高度越高，大氣密度越低，所受阻力越?。淮送猓斠訫a=6.5～7超燃沖壓巡航時，RBCC發(fā)動機的比沖隨馬赫數增大而減小，因此，30 km、Ma =6.5的巡航狀態(tài)下燃料使用效率最高。雖然具體第幾代出現(xiàn)全局最優(yōu)粒子會受到初代粒子分布的影響，但從粒子數較多及初值取值的隨機性這兩點考慮，PSO算法在對RBCC高超聲速飛行器巡航高度和馬赫數尋優(yōu)時總能快速收斂。

圖4 巡航高度、馬赫數優(yōu)化結果Fig.4 The Optimization Result of Cruise Altitude and Mach Number

巡航高度、馬赫數取最優(yōu)值時，由Radau偽譜法得到的飛行器控制變量、飛行狀態(tài)以及過程約束變化規(guī)律如圖5所示。由圖5a～5b可知，攻角和發(fā)動機節(jié)流閥開度均在限定的取值范圍內，且變化平緩，易于實現(xiàn)；在引射爬升段和亞燃沖壓爬升段，RBCC發(fā)動機處于滿推狀態(tài)，表明此段飛行對爬高和增速需求較大，而在巡航段，飛行器高度較高，大氣較稀薄，發(fā)動機節(jié)流閥開度取較小值就能實現(xiàn)推阻平衡。由圖 5c～5g可知，飛行器能穩(wěn)定爬升、加速，并平滑過渡到巡航段，巡航高度和馬赫數達到期望值；飛行器射程為1500 km，滿足任務要求，全程飛行耗時819.4 s，可實現(xiàn)快速抵近；引射爬升段、亞燃沖壓爬升段和超燃沖壓爬升段燃料消耗量分別為255 kg、122 kg、38 kg，可見在爬升段中，引射模態(tài)消耗燃料最多，占比61.45%，而亞燃沖壓模態(tài)消耗較少燃料就實現(xiàn)了高度和速度的大幅增加，增幅分別為11.42 km、910 m/s，各自占總爬高量和加速量的57.1%、52.86%；爬升-巡航全程飛行消耗燃料 750.9 kg，占飛行器總質量的50.06%。由圖 5h可知，飛行器馬赫數-高度曲線始終處于RBCC發(fā)動機正常工作范圍內，滿足動力對飛行軌跡的約束，此外，還能看出，在飛行初期，飛行器處于先加速后爬高的狀態(tài)，分析認為，盡早加速以更快進入亞燃沖壓模態(tài)，有利于節(jié)省燃料。由圖 5i～5k可知，飛行過程中動壓、法向過載、熱流密度均滿足約束條件，動壓最大值70.5 kPa出現(xiàn)在亞燃沖壓爬升段，這是因為該階段飛行器速度大，同時大氣仍較稠密；法向過載最大值2.62出現(xiàn)在引射爬升段，對照攻角剖面可看出，這主要由攻角較大引起；熱流密度最大值2280 kW/m2同樣出現(xiàn)在引射爬升段，其在該段的變化規(guī)律是先增大后減小，表明速度增加和大氣密度減小先后起主要作用。

圖5 爬升-巡航軌跡優(yōu)化結果Fig.5 The Optimization result of Climb-cruise Trajectory

續(xù)圖5

續(xù)圖5

續(xù)圖5

5 結 論

本文以 RBCC高超聲速巡航飛行器為研究對象，對其爬升-巡航全局軌跡優(yōu)化問題進行研究，所得結論如下：

a）“粒子群優(yōu)化算法+偽譜法”的嵌套優(yōu)化策略能很好地解決同時優(yōu)化巡航高度、馬赫數、飛行攻角以及發(fā)動機節(jié)流閥開度這一難題，所得結果合理可行；

b）對巡航高度和馬赫數的優(yōu)化結果表明，在25～30 km、Ma=6.5～7的巡航包線內，為使RBCC高超聲速飛行器爬升-巡航全程飛行燃料最省，巡航高度應盡可能高，而巡航馬赫數應盡可能低；

c）優(yōu)化所得爬升-巡航軌跡符合 RBCC高超聲速飛行器各階段工作特點，滿足所有約束條件，表明偽譜法對RBCC高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化問題具有較好的適應性；

d）RBCC高超聲速巡航飛行器具有全程自主飛行、無需助推、高馬赫數巡航的特點，能快速抵近目標，是未來高超聲速飛行器的重要發(fā)展方向。