一種面向多點定位的協同定位算法

沈家慶，姜維

（中國民航飛行學院航空工程學院，廣漢 618307）

0 引言

隨著中國經濟的增長，航空運輸業也得到了快速的發展，為保證航空運輸的安全，工業界和學術界對新型監控技術的研究力度也在不斷加深。多點定位技術[1]是通過在地面上布置多個地面基站來同時接收同一目標發出的信號，利用不同地面站接收到信號的時間差（TDOA）和接收角度（AOA）來對目標進行精確定位。根據目標到達兩個地面站的時間差可繪制一條以兩個地面站為焦點的雙曲線，目標位置就在這條雙曲線上。當有三個地面站時，就能繪制另外兩條雙曲線來確定目標在平面上的唯一位置。從理論上講，只要有四個地面站，就可以在空間上確定一點，在實際中就可以投入應用。但在一般的實際應用中都會布置四個以上的地方站以此來減少定位誤差，提高對監控目標定位的精確度。多點定位系統具有成本低、精度高、易維護等一系列優點，在國內外已經得到了廣泛的應用。因此，對多點定位技術特別是對其定位算法的研究具有極其深刻的意義。

現有關于多點定位所運用的算法有很多且大多數都是基于TDOA的[2]，Taylor級數展開法[3]是最經典的一種通過迭代來解決關于TDOA代數非線性問題的方法,迭代過程中每一步都是沿著當前點函數值下降方向。這種方法需要一個初始的預測值，然后通過求解局部線性最小二乘解來一步步的提高估計值的準確性。由于初始值的存在，這種方法也存在著一定的局限性，如果初始值與真實值距離過大，在操作中就不能保證迭代的收斂性，甚至可能會發散導致得不到所要求的結果。因為展開式每一步都要通過最小二乘法來求解，在實際計算過程中的計算量也是非常巨大的。而另外一種經典的Chan算法[4]的計算量就要小很多，是較優的求解雙曲線遞歸方程的方法。Chan算法只需要兩步迭代就可以得到最終結果，但如果其定位基站位置和TDOA定位精度存在較大誤差的情況下，其定位能力會受到較大影響。針對這個問題，本文利用誤差上限，利用文獻[5，6]提到的方法，解偽線性方程組，得到定位點的幾何位置以及它的斜距，再利用位置斜距的相關性，在定位點幾何位置的二范數、斜距相等的條件下，從而獲得一個相對誤差最小的定位解。再將此定位解作為初值代入Taylor級數展開，可得到一個精確度較高且穩定的結果。

1 誤差上限法和Taylor級數展開法介紹

1.1 誤差上限法

假設估計目標物體的所在位置m=[x,y,z]T，地面接收站位置，i=1,2,3,4…,N（N≥6），地面接收站i與目標距離為ri，ri=‖ni-m ‖，地面接收站i與地面站1距離為為TDOA 的測量值，c為光速，由空間定位可得：

即：

又因為：

由式（2）式（3）可以得到：

將（4）改成矩陣形式：

其中：

A，b中都含有噪聲，在TDOA測量誤差或布站誤差（布站誤差是指第i個基站相對于原點的距離偏差）較大的情況下，以往定位方法的定位精度都有待提高。可以根據布站情況估計其布站誤差上限εA和測量誤差上限εb，令：

A0=A+δA，b0=b+δb

其中 A，b為測量值，δA，δb為誤差，A0，b0為真實值，我們可以得到

（‖x‖2為x的二范數）。

為了求出以上條件的解，首先需要求解：

根據文獻[5-6]，將（6）轉化為：

令A的SVD分解為：

求出定位解：

其中為方程的正根。

由于噪聲的存在，上述等式沒有嚴格成立?？梢赃x擇在噪聲干擾最小的條件下求得最精確的定位解?？傻孟率剑?/p>

由于α為加權系數，可以利用拉格朗日算子來進行計算（10）。

結果為：

其中，α不等于-1。

最終定位。

1.2 Taylor級數展開法

利用Taylor級數展開法計算，首先猜測目標位置為(xv,yv,zv) ，有 x=xv+ δx，y=yv+δy，z=zv+δz。 δx,δy，δz為估計誤差。用 Taylor級數令 fi等于（12）

在猜測位置( )xv,yv,zv線性化，得到：

再定義矩陣 M，δ，Z，e：

其中M為猜測誤差的權，δ為猜測誤差，Z為猜測位置觀測函數值與實際值的誤差，e為測量誤差。

則公式可近似表達為Mδ?Z-e,該公式的轉變主要是將對初始位置猜測的誤差值并入了測量誤差之中，目標位置未知，由此猜測xv,yv,zv，M,Z可以估算，δ，e無法估算 。因為有 x=xv+δx，y=yv+δy，z=zv+δz，設定一個閾值ε，當丨δx丨+丨δy丨+丨δz丨<ε時，可近似認為猜測位置為目標的真實位置。

2 協同算法

雖然Taylor算法的迭代求解計算量相對較小，但由于其計算初始值的存在，如果估測值與真實值誤差過大會導致整個算法發散從而得不到結果。本文提出一種新的協同算法能有效地規避這種情況，提高最終定位結果的精確度。首先根據式：

計算求得誤差上限法得到的初始定位點，然后將作為Taylor算法所需要的初始值代入式：

進行展開，通過Taylor算法迭代計算出最終的計算結果。圖1為本文提出的協同算法的計算流程圖。

圖1 協同算法計算流程圖

3 仿真分析

為了比較協同算法與其他算法的計算精度，假設六個站的地址為（0km,0km,0km），（9.08km,7.02km,3km）,（-9.08km,7.02km,3km）,（12.18km,16.06km,3km）,（12,18km,-16.06km,3km）,（10km，5km，10km）。測量目標的位置為（3km,6km,9km）。在使用MATLAB對協同算法進行仿真后，3種算法在標準相對誤差情況下定位精度誤差情況比較如圖2所示，從圖中可以看出，泰勒級數展開法的精度是相比較最低的，協同定位算法的精度比泰勒級數展開法和誤差上限法的精度都有了明顯的提高。

圖2 算法定位精度仿真圖

4 結語

以往的定位算法為了能夠簡單快速地計算出結果而忽略了許多誤差的存在，所以導致了最后計算出來的結果與真實值之間存在較大的誤差，本文提出的協同定位算法，在計算中引入了測量誤差和選址誤差并通過利用誤差上限對誤差大小的控制，減小了計算結果與真實值之間的差距，在通過與Taylor算法的優劣互補，相互協同計算工作，從結果上看進一步提高其定位精度，具有一定的應用價值。但文中方法的缺點也比較明顯，由于引進了兩項誤差并融合了Taylor算法協同計算，用到了矩陣的分解和代數計算，導致計算量相對巨大，在以后的應用中可根據實際要求選擇所適合的算法進行計算研究。

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