三角函數(shù)易錯(cuò)剖析

黃立華

三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)模型，歷來(lái)高考都有涉及.但在初學(xué)三角函數(shù)時(shí)，學(xué)生或多或少會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.本文就一些常見(jiàn)的典型錯(cuò)誤實(shí)例加以分析，找出錯(cuò)誤原因，僅供參考.

一、誘導(dǎo)化簡(jiǎn)不善，中途草率作答

〖例1〗設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x-■），x∈R. 求f（x）的奇偶性.

【錯(cuò)解】∵f（-x）=sin（-2x-■）=-sin（2x+■）≠±f（x），∴f（x）非奇非偶.

【錯(cuò)因】對(duì)題目及解題過(guò)程運(yùn)算不徹底，沒(méi)有充分利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

【正解】∵f（x）=sin（2x-■）=-sin（-2x+■）=-cos2x.

故f（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=f（x）.

（或f（-x）=sin（-2x-■）=-sin（2x+■）=-cos2x）.

∴ f（x）是偶函數(shù).

〖剖析〗

在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，由于定義中的任一個(gè)x都必須存在一個(gè)-x ，故首先函數(shù)的定義域需關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；其次，要尋找f（x）與f（-x）是否有相等或互為相反的關(guān)系.

在尋找f（x）與f（-x）是否有相等或互為相反的關(guān)系時(shí)，切忌半途而廢！或者說(shuō)，運(yùn)算化簡(jiǎn)“要將革命進(jìn)行到底！”

【練習(xí)】已知函數(shù)f（x）=sin（2x+？仔），則f（x）是（ ）

A. 奇函數(shù) B. 偶函數(shù) C. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D. 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

〖答案〗A.

二、平移變換理解不到位導(dǎo)致錯(cuò)誤

〖例2〗將函數(shù)y=sin（6x+■）的圖像上各點(diǎn)向右平移■個(gè)單位，求平移后所得到的函數(shù)解析式.

【錯(cuò)解】y=sin（6x+■）■ y=sin（6x+■-■）=sin（6x+■）.

【錯(cuò)因】教材所強(qiáng)調(diào)的順序是“平移變換—周期變換—振幅變換”，不能混同于“先周期變換再平移變換”，有些圖像變換錯(cuò)誤往往就在于此.

【正解】y=sin（6x+■）■ y=sin[6（x-■）+■）]=sin（6x-■）=-cos6x.

〖剖析〗

在函數(shù)的平移變換中，理解f（x）→ f（x±？覬）的具體含義，注意其與f（x）→ f（？棕x±？覬）、f（？棕x）→ f [？棕（x±？覬）]兩者含義的差異，需深刻理解.

【練習(xí)】要得到函數(shù)y=cos（2x+1）的圖像，只要將函數(shù)y=cos2x的圖像（ ）

A. 向左平移1個(gè)單位 B. 向右平移1個(gè)單位

C. 向左平移■個(gè)單位 D. 向右平移■個(gè)單位

〖答案〗C.

三、因忽略定義域而導(dǎo)致錯(cuò)誤

〖例3〗已知f（x）=-2asin（2x+■）+2a+b（a>0），x∈[■，■]是否存在常數(shù)a，b，使得f（x）的值域?yàn)閇-3，■-1]，若存在，求出a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.

【錯(cuò)解】f（x）=-2asin（2x+■）+2a+b.

∵a>0，f（x）∈[-3，■-1].

∴當(dāng)sin（2x+■）=-1時(shí)，f（x）max=2a+2a+b=■-1.…（1）

當(dāng)sin（2x+■）=-1時(shí)，f（x）max=-2a+2a+b=-3. ……（2）

由（1）（2）解得a=■，b=-3.

∴存在常數(shù)a=■，b=-3使得f（x）的值域?yàn)閇-3，■-1] .

【錯(cuò)因】在求函數(shù)y=sin（2x+■）的值域時(shí)，忽略了函數(shù)的定義域x∈[■，■] .

【正解】∵x∈[■，■]，∴2x+■∈[■，■] .

∴-1≤sin（2x+■）≤■.

又a>0，f（x）∈[-3，■-1]，

∴-2a×■+2a+b=-3，-2a×（-1）+2a+b=■-1，解得a=1，b=■-5.

∴存在常數(shù)a=1，b=■-5，使得f（x）的值域?yàn)閇-3，■-1].

〖剖析〗

在研究函數(shù)的過(guò)程中，先搞清函數(shù)的定義域是求解函數(shù)其它問(wèn)題的前提.本例中因?yàn)樽宰兞康男》秶率拐液瘮?shù)的值取不到一般情況下的[-1，1]，因此產(chǎn)生錯(cuò)誤.

【練習(xí)】函數(shù)y=lg tan x的增區(qū)間（ ）

A.（k？仔-■，k？仔+■）（k∈Z） B.（k？仔，k？仔+■）（k∈Z）

C.（2k？仔-■，2k？仔+■）（k∈Z） D.（k？仔，k？仔+？仔）（k∈Z）

〖答案〗B.

四、因不盤(pán)活角而死算陷入泥潭

〖例4〗已知sin（■-？琢）=■，求cos（■+2？琢）的值.

【解法】：由已知得■cos？琢-■sin？琢=■，∴cos？琢=■sin？琢 +■.

由cos？琢=■sin？琢+■，sin2？琢+cos2？琢=1，得4sin2？琢+■sin？琢-■=0 .

…………………

大多數(shù)學(xué)生因計(jì)算復(fù)雜半途而廢.

【正解】只要將■-？琢拆分為■-（■+？琢）即可.

由sin（■-？琢）=sin[■-（■+？琢）]=cos（■+？琢）=■.

則cos（■+2？琢）=cos2（■+？琢）=2cos2（■+？琢）-1=-■.

〖剖析〗

在研究三角函數(shù)時(shí)，時(shí)刻牢記先注意角的變化，理清已知角與所求角的“和、差、倍半”關(guān)系，架起這座彩虹來(lái)貫通它們，則所求問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了.

【練習(xí)】已知cos（■+？琢）=■，且-？仔<？琢<-■，求sin（■-？琢）的值.

〖答案〗■.

五、因忽略約束條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤

〖例5〗在△ABC中，已知sin（A+■）=-■，求sinA.

【錯(cuò)解】∵sin（A+■）=-■<0.

∴A+■為三、四象限角.

∴cos（A+■）=±■.

∴sinA=sin[（A+■）-■]=sin（A+■）cos■-cos（A+■）sin■

=-■·■±■·■=■或-■.

【錯(cuò)因】角A+■的取值范圍除了受sin（A+■）<0的條件約束外，還受角A是三角形的一個(gè)內(nèi)角這一條件約束，題目這一隱敝條件往往易被忽略.

【正解】∵0

又∵sin（A+■）=-■<0，

∴？仔

故cos（A+■）=-■.

∴sinA=sin[（A+■）-■]

=sin（A+■）cos■-cos（A+■）sin■

=-■·■+■·■=■.

〖剖析〗

在三角函數(shù)的求值過(guò)程中，要善于從所給條件中發(fā)現(xiàn)、挖掘題目所包含的隱含條件，簡(jiǎn)化求解過(guò)程.解題時(shí)關(guān)注三角形中的角的范圍、已知角的范圍、符號(hào)法則等所帶來(lái)的限制.

【練習(xí)】已知在△ABC中，sinA+cosA=■，求tanA的值.

〖答案〗-■.

六、因忽略三角函數(shù)的有界性導(dǎo)致錯(cuò)誤

〖例6〗求函數(shù)f（x）=sin2x+2■cos（■+x）+3的值域.

【錯(cuò)解】f（x）=sin2x+2■cos（■+x）+3

=2sinxcosx+2（cosx-sinx）+3.

設(shè)cosx-sinx=t，則1-2sinxcosx=t2.

∴2sinxcosx=1-t2.

∴f（t）=1-t2+2t+3=-（t-1）2+5.

∴t=1時(shí)，f（x）max=5 ∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，5].

【錯(cuò)因】忽略換元后新元的取值范圍，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【正解】f（x）=sin2x+2■cos（■+x）+3

=2sinxcosx+2（cosx-sinx）+3.

設(shè)cosx-sinx=t，則t=■cos（■+x），

∵x∈R ∴t∈[-■，■].

故1-2sinxcosx=t2，∴2sinxcosx=1-t2.

∴f（t）=1-t2+2t+3=-（t-1）2+5.

∴t=1時(shí)，f（x）max=5 ，當(dāng)∴t=-■時(shí)，f（x）max=2-2■.

∴f（x）的值域?yàn)閇2-2■，5].

〖剖析〗

由于三角函數(shù)中正弦、余弦值都是有界的，故換元法中與其有關(guān)的變量都要注意其變化范圍.若丟了根本，談何春暖花開(kāi)？

【練習(xí)】求函數(shù)f（x）=■cos2x-4cosx+■的最大值.

〖答案〗8.

以上僅對(duì)三角函數(shù)中出現(xiàn)的六類(lèi)典型錯(cuò)誤展開(kāi)剖析，以避免或減少這類(lèi)錯(cuò)誤的再次發(fā)生.“不積小流，無(wú)以成江海”，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們只有多一點(diǎn)關(guān)注易錯(cuò)易漏知識(shí)點(diǎn)，糾錯(cuò)反思，才能匯聚成真知的海洋，我們何樂(lè)而不為？