聯合分析法與綜合法解決證明問題

高慧明

綜合法：一般地，利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.這種證明方法叫做綜合法.

對于綜合法大家并不陌生， 實際上初中的平面幾何題大多就是用綜合法加以證明的.

特點：由因導果，綜合法可用框圖表示為：

P？圯Q1 → Q1？圯Q2 → Q2 ？圯Q3 →…→ Qn？圯Q

證明數學命題時，還經常從要證的結論Q出發，反推回去，尋求保證Q成立的條件，即使Q成立的充分條件P1.為了證明P1成立，再去尋找P1成立的充分條件P2；為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件…，直到找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.

求證：■≥■（a>0，b>0）.

要證 ■≥■，只需證a+b ≥2■，

只需證a+b- 2■≥0，只需證（■-■）2≥0.

由于（■-■）2≥0顯然成立，因此原不等式成立.

這就是分析法.

分析法：一般地，從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法.

特點：逆推證法；執果索因. 框圖表示：

Q？坩P1 → P1？坩P2 → P2？坩P3 →…→ 得到一個明顯成立的條件

應用舉例：

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件.綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題.對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛.

既然綜合法是“由因導果”，分析法是“執果索因”，那么在證明過程中，就可用分析法尋找思路，用綜合法表達. 運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題. 值得注意的是分析法也是思考問題的一種基本方法，在已知和未知之間的關系不明朗時可以通過從結論出發探究問題的思路.學科網

例1. 設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3>a2b+ab2.

證明：（用分析法思路書寫）

要證 a3+b3>a2b+ab2成立，

只需證（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b）成立，

即需證a2-ab+b2>ab成立.（∵a+b>0）

只需證a2-2ab+b2>0成立，

即需證（a-b）2>0成立.

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以（a-b）2>0顯然成立，由此命題得證.

（以下用綜合法思路書寫）

∵ a≠b，∴ a-b≠0，∴（a-b）2>0，即a2-2ab+b2>0，

亦即a2-ab+b2>ab.

由題設條件知，a+b>0，∴（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b），

即a3+b3>a2b+ab2，由此命題得證.

例2. 若實數x≠1，求證：3（1+x2+x4）>（1+x+x2）2.

證明：（綜合法）

3（1+x2+x4）-（1+x+x2）2

=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3

=2（x4-x3-x+1）=2（x-1）2（x2+x+1）

=2（x-1）2[（x+■）2+■].

∵ x≠1，從而（x-1）2>0，且（x+■）2+■>0，

∴ 2（x-1）2 [（x+■）2+■]>0，

∴ 3（1+x2+x4）>（1+x+x2）2.

討論：若題設中去掉x≠1這一限制條件，要求證的結論如何變換？

例3. 已知a，b∈R+，求證aabb≥abba.

證明：本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行. （綜合法）

1）差值比較：注意到要證的不等式關于a，b對稱，

不妨設a≥b>0，從而原不等式得證.

∵ a-b≥0，

∴ aabb-abba = abbb（aa-b-ba-b）≥0.

2）商值比較：設a≥b>0，

∵ ■≥1，a-b≥0， ∴ ■=（■）a-b≥1.

故原不等式得證.

注：1.比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號；

2.無論用分析法還是綜合法， “變形”是解題的關鍵，是最重一步. 因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法.

例4. 在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列. 求證：△ABC為等邊三角形.

分析：將A，B，C成等差數列，轉化為符號語言就是2B= A+C；A，B，C為△ABC的內角，這是隱含條件，明確表示出來就是 A+ B+ C=？仔；a、b、c成等比數列，轉化為符號語言就是b2=ac.此時，如果能把角和邊統一起來，那么就可以進一步尋找角和邊之間的關系，進而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求.于是，可以用余弦定理為工具進行證明.

證明：由A，B，C成等差數列，得2B= A+C，又A+ B+ C=？仔，所以B=■.

由a、b、c成等比數列，得b2 =ac.

由余弦定理得b2 =a2+c2-2accosB=b2=a2+c2-ac.

所以a2+c2-ac=ac，即（a-c）2=0，a=c，從而A=C.

所以A=B=C=■.

所以△ABC為等邊三角形.

說明：解決數學問題時，往往要先作語言的轉換，如把文字語言轉化成符號語言，或把符號語言轉化成圖形語言等.還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來.

例5. 已知a，b>0，求證：a（b2 +c2）+b（c2+a2）≥4abc.

證明：∵ b2 +c2≥2bc，a>0，∴ a（b2 +c2）≥2abc.

同理 b（c2+a2）≥2 abc，∴ a（b2 +c2）+b（c2+a2）≥4abc.

變式：已知a，b>0，求證：（ab+c2）（a+b）≥4abc，如何證明？

例6. 證明：■+■<■+■.

分析：本題直接入手困難，但可以去掉根號，證明變形后的不等式成立即可.

證明：欲證：■+■<■+■.

只需證：（■+■）2<（■+■）2.

即9+2■<9+2■.

只需證■<■.

只需證14<18.

而14<18顯然成立.

∴ ■+■<■+■.

說明：1. 用分析法證明不等式時，省略掉“要證明”和“只需證明”的字樣是錯誤的；

2. 在本例中，如果我們從“14<18”出發，逐步推退回去，就可以用綜合法證出結論.但由于我們很難想到從“14<18”入手，所以用綜合法比較困難.

證法2：由上面證法，可以構造出所要證明的不等式.

∵14<18，∴ ■<■，即9+2■<9+2■.

故（■+■）2<（■+■）2，∴ ■+■<■+■.

證法2用的是綜合法，它剛好是分析過程的逆過程.

說明：事實上，在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法綜合起來使用：根據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P′.若由P′可以推出成Q′立，就可以證明結論成立.

例7. 已知a≥2，求證：■-■<■-■

證明：要證■-■<■-■，

只需證■-■<■-■，

只需證2a-1+2■■<2a-1+2■■，

即證■■<■■，

只需證（a+1）（a-2）<（a-1）a，

即證a2-a-2

只需證-2<0.

因為-2<0顯然成立.

所以■-■<■-■.

可以用綜合法敘述.

例8. 已知？琢，？茁≠k？仔+■，k∈Z，且sin？茲+cos？茲=2sin？琢

……①，sin？茲·cos？茲=sin2？茁……②

求證：■=■.

分析：比較已知條件和結論，發現結論中沒有出現？茲，因此第一步工作可以從已知條件中消去？茲.觀察已知條件的結構特點，發現其中蘊含數量關系（sin？茲+cos？茲）2-2sin？茲·cos？茲=1，于是可得4sin2？琢-2sin2？茁=1. 把4sin2？琢-2sin2？茁=1與結論相比較，發現角相同，但函數名稱不同，于是嘗試轉化結論：統一函數名稱，即把正切函數化為正（余）弦函數.把結論轉化為cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁）再與4sin2？琢-2sin2？茁=1.比較，發現只要把cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁）中的角的余弦轉化為正弦，就能達到目的.

證明：因為（sin？茲+cos？茲）2-2sin？茲cos？茲=1.

所以可得4sin2？琢-2sin2？茁=1. ……③

另一方面，要證■=■，

即證■=■，

即證cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁），

即證1-2sin2？琢=■（1-2sin2？茁），

即證4sin2？琢-2sin2？茁=1由于上式與③相同，于是問題得證.

說明：（1）用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結論，則上述過程可用框圖表示為：

P？圯P1 → P1？圯P2 →…→ Pn ？圯P′ ←…← Q2？圯Q1 ← Q1？圯Q

Q′？圯Qm

（2）在解決問題過程中，通常用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”（分析），從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.

例9. 已知函數f（x）=2sin■cos■-2■sin2■+■.

（1）求函數f（x）的最小正周期及最值；

（2）令g（x）=f（x+■），判斷函數g（x）的奇偶性，并說明理由.

分析：本題考查三角恒等變換、三角函數的性質，解題的基本方法就是綜合法.將三角函數式化為一個角的一個三角函數.

解析：（1）∵ f（x）=sin■+■（1-2sin2■）=sin■+■cos■=2sin（■+■）.

∴ f（x）的最小正周期T=■=4？仔.

當sin（■+■）=-1時，f（x）取得最小值-2；當sin（■+■）=1時，f（x）取得最大值2.

（2）由（2）知f（x）=2sin（■+■）.又g（x）=f（x+■）.

∴ g（x）=2sin[■（x+■）+■]=2sin（■+■）=2cos■.

∵ g（-x）=2cos（-■）=2cos■=g（x）.

∴ 函數g（x）是偶函數.

例10. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2■，∠PAB=60° .

（1）證明AD⊥平面PAB；

（2）求異面直線PC與AD所成的角的正切值；

（3）求二面角P-BD-A的正切值.

分析：（1）根據演繹推理的三段論模式，根據有關的已知定理進行推證，注意轉化的思想；

（2）也得根據異面直線的角的定義這個大前提，作出兩異面直線所成的角，再進行求解；

（3）根據二面角的定義，作出二面角的平面角，再進行具體的計算.學科網

（1）證明：在△PAD中，由題設PA=2，AD=2，PD=2■，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA.在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB.

解析：（2）由題設，BC∥AD，所以∠PCB（或其補角）是異面直線PC與AD所成的角.

在△PAB中，由余弦定理得：

PB=

■=

■.

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB？奐平面PAB，所以AD⊥PB. 因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tan∠PCB=■=■.

所以異面直線PC與AD所成的角的正切值為■.

（3）過點P作PH⊥AB于H，過點H作HE⊥BD于E，連結PE.因為AD⊥平面PAB，PH⊥平面PAB，所以AD⊥PH.又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE在平面ABCD內的射影.由三垂線定理可知BD⊥PE.從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.

由題設可得. PH=PA·sin60°=■，AH=PA·cos60°=1，BH=AB-AH=2，BD=■=■，HE=■·BH=■.

于是在Rt△PHE中，tanPEH=■=■.

所以二面角P-BD-A的平面角的正切值為■.

注：當然此題除了利用這種幾何方法處理，也可以使用向量方法處理，實際上高中數學試題中的絕大多數題目都是通過綜合法解決的， 綜合法是最廣泛的一種解決問題的方法.

題組練習：

1. 證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.

2. 設a， b， c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2-a2-b2+4ab≥4■S.

3. A，B為銳角，且tanA+tanB+■tanAtanB=■，求證：A+B = 60°.

答案簡析：

1. 提示： 設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為■，截面積為 ？仔（■）2，周長為 l的正方形邊長為 ■，截面積為（■）2，問題只需證： ？仔（■）2>（■）2.

2. 略證：正弦、余弦定理代入得：-2abcosC+4ab≥2■absinC，

即證：2-cosC≥2■sinC，即：■sinC+cosC≤2，即證：sin（C+■）≤1（成立）.

3. 提示：計算tan（A+B）.