如何應用正態概率分布來分析投資的風險程度

文/劉浪，湖北科技學院數學與統計學院統計學

1 正態分布的概念

正態分布，也稱“常態分布”，又名高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。

正態曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標準正態分布。

2 確定概率分布

一個事件的概率是指這一事件可能發生的機 會。例如， 一個企業有 70% 盈利的機會，有30%虧損的機會，如果把所有可能的事件或結果都列示 出來， 因每一事件都給以一種概率， 把它們列示在 一起， 便構成了概率分布。可以看出概率分布即有如下特點，首先各種事項可能發生的概率只能在0與1之間，即不能小于0也不能大于1，其次所有事項發生可能性的概率之和必須要等于1。

3 計算期望報酬

期望報酬率是各種可能的報酬率按其概率進 行加權平均得到的報酬率， 它是反應集中趨勢的 一種量度。 期望報酬率可按下列公式計算：

式中，λk——期望報酬率

ki——第i種可能結果的報酬率

pi——第i種可能結果的概率

n——可能結果的個數

例如：甲公司有兩個投資機會，A投資機會是 一個高科技項目，該領域競爭激烈，如果經濟發展迅速并且該項目搞得好取得較大市場占有率，利潤會很大，否則利潤很小甚至虧本。B項目是一個老產品，并且是生活必需品，銷售前景可準確預測。假設未來的經濟情況只有三種，繁榮、正常、衰退，若A項目繁榮，一般，衰退，三種分別為70%，20%，40%，若B項目繁榮，一般，衰退，三種分別為40%，20%，0%，且發生三者概率都為0.2，0.6，0.2

下面， 根據上述期望報酬率公式分別計算A、B項目的期望報酬率：

λkA=k1p1+k2 p 2+k3 p3=70%×0.2 +20%×0.6 +（-30% ）×0.2 =20%

λkB =k1 p1+k2p2+k3p3=40%×0.2 +20%×0.6 +0%×0.2=20%

兩個項目的期望報酬率都是20%，但相比之下可以發現A方案的報酬率非常分散，而B方案的報酬率較集中，一般可以認為B方案的投資風險要比A方案小，由此在風險衡量時可得出如下結論：即預期報酬的概率分布愈狹窄，那么其投資風險越小，反之。能得A、B方案概率分布的寬窄程度，根據期望報酬率的分散程度 。

可見雖然A、B方案的期望報酬率相同，但A方案的概率分散，B方案的則比較集中。

4 置信概率和置信區間

根據統計學原理，在概率分布為正態分布的 情況下，隨機變量出現在預期值±1個標準差范圍內的概率有68.26%；出現在預期值±2個標準差范圍內的概率有 95.44% ；出現在預期值±3個標準差范圍內的概率有99.72%。把“預期值在±X個標準差”稱為置信區間，把相應的概率稱為置信概率。已知置信概率， 可求出置信區間，反之亦然。

下面還是源用上例，利用置信原理對A、B 兩項目的風險報酬進行進一步分析：

1.計算A項目盈利與虧損的概率；

（1）計算出報酬率從0%——20%占標準差的比重，設該比重為X

（2）通過查表可求出63.26%個標準差對應 的置信概率為 23.57% ， （該表為正態分布曲線的面積）。

（3）因為正態分布圖是以期望報酬率為對稱 軸的鐘形分布圖；所以從期望報酬率20%—-∞的部份占總面積的一半。因此：

P(A盈利）=50% + 23.57%=73. 57%

P（A虧損）=50%- 23.57%=26. 43%

2.同樣可計算 B項目的盈虧情況

（1）計算出報酬率從0%——20%占標準差的比重，設該比重為X。

X=20%/12.65%=1.58

（2）通過查表可求出1.58個標準差對應的置信概率為44. 29%.

P（B盈利）=50% +44. 29%=94. 29%

P（B虧損）=50%-44. 29%=5.71%

3.計算兩個項目報酬率在 40% 以上的概率

X（A）=（40%-20%）31.62%=0.6325

查表可得0.6325個標準差對應的置信概率為23. 57% 則：

P（A、40%以上）=50%-23.57%= 26.43%

同樣，可計算B項目如下：

X（B）=（40%—20%）12. 65%=1. 58

查表可得1.58個標準差對應的概率為 44.29%，則：

P（B、40%以上）= 50% -44.29%=5.71%

說明、B項目取得 40% 以上報酬率的可能性很小。

5 結語

在整個分析過程中大量地應用了概率論與數理統計原理，可見該原理在投資“風險報酬”分析中的作用是非常重要的。綜上所述，兩個項目的平 均報酬率相同， 但風險大小程度不同，A項目可能取得高報酬， 但虧損的可能性也大； B 項目取得高 報酬的可能性小，但虧損的可能性也小。

【參考文獻】

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