用“先猜后證”的數學思想來判定三角形的形狀

廣東省云浮市第一中學 李建家

判定三角形的形狀是數學思維中充滿活力，而又非常神奇，具有探索功能的問題，可以用“先猜后證”的數學思想來解題。這里我們就用“先猜后證”的數學規律，個別舉例用配方、正、余弦定理、降冪公式、和積互化等作為工具來談正三角形的判定和等腰直角三角形的判定。

一、正三角形的判定

例1 在△ABC中，三內角A，B，C適合方程組：

當上面三個方程都各有相等的實根時，試確定三角形的形狀。

分析：已知三個方程符合輪換對稱式的條件，即A換B，B換C，C換A所得方程與原方程一樣，故猜想三角形為正三角形。

證明：由于一元二次方程有兩個相等的實數根，必有Δ=0，由此得三個等式：

三個方程分別乘2，相加得：

∴A=B=C時，故△ABC為正三角形。

由以上例子我們可以看出，已知條件里的邊、角都是輪換對稱式，其中角A、B、C或邊a、b、c在已知條件里都是“地位”平等的，交換其位置后所得條件與已知條件相符，這時，我們就可猜想為正三角形。

二、等腰直角三角形的判定

分析：題中把已知條件化簡后可看可猜想△ABC為等腰直角三角形，不能猜等邊三角形。證明中，既可以從角入手，也可以從邊入手。

證明1：（從角關系入手）由正弦定理，可得：

即得：sinBsinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

又由

故△ABC是等腰直角三角形。

證明2：（從邊關系入手）由余弦定理，可得：

由于 a、b、c 都是正數，

故△ABC是等腰直角三角形。

例3 在△ABC中，21ga+1gtanB=21gb+1gtanA，試判定△ABC形狀。

分析：題中把已知條件的對數“包裝”去掉后是由此可看出邊的對稱性，可猜想△ABC是等腰三角形，又由已知條件化弦與正弦定理化簡得：=可想象到sin2A=sin2B A=B或2A=π-2B（即A+B=。可進一步猜想△A BC是等腰三角形或是直角三角形。

證明：（從角入手）由分析可知由正弦定理，并化弦后得：

∴sinAcosA=sinBcosB.

即sin2A=sin2B.

∵A，B為同一三角形的內角。

∴2A=2B或2A=π-2B

?A=B或A+B=

故△ABC是等腰三角形或者是直角三角形。

在例2與例3中有兩個要特別注意的概念：“等腰三角形∩直角三角形”和“等腰三角形∪直角三角形”，前者是用“并且”來刻畫的，后者是用“或者”來刻畫的。

綜上所述，判斷三角形的形狀，這類題目主要是考察你對平面三角形知識的運用，但在用“先猜后證”的數學思想做選擇題與填空題時，因為這兩種題型只要數學思維的結果，而無需數學思維的過程，可以大大提高解題速度。猜想可以使學生的智力得到發展，尤其是觀察力、想象力與思維力得到迅速提高。在猜想結論時要用到合情推理；在論證推理的過程中，可以提高分析問題與解決問題的綜合能力，更可以鍛煉學生的分辨是非的能力與提高學生的數學思維的深刻性，準確性，靈活性與邏輯性。