含電磁軸承的推進軸系橫向振動特性研究

覃 會，鄭洪波，張志誼,2

(1.上海交通大學 機械與動力工程學院 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

推進系統噪聲主要包括螺旋槳旋轉形成的水動力噪聲以及軸系-殼體耦合振動形成的結構輻射噪聲。在低速航行狀態下，結構輻射噪聲是主要的。結構輻射噪聲主要由機械振動引起，一部分是由于各種機械運轉設備的振動直接通過安裝基座、管道聯接等激發殼體結構，另一部分是由于推進軸系振動直接通過軸承基座激發殼體結構。螺旋槳在不均勻伴流場中運轉時會產生包含窄帶周期和寬頻隨機成份的激振力，推進軸系是一個多支承的連續彈性體，軸系縱、橫振動主要由螺旋槳脈動載荷所致?？刂戚S系橫向振動，就有可能降低由耦合系統橫向振動引起的輻射噪聲[1]。國內外對軸系縱向振動控制已有大量研究[2-6]，但是橫向振動控制研究較少。主要研究集中在橫向振動固有頻率、軸系回旋振動計算等方面[7-10]。

振動控制按實現手段可分為五類：消振、隔振、吸振、阻振和結構修改[11]。本文采用電磁軸承對軸系橫向振動進行控制，重點分析含電磁支承的推進軸系的動力學特性。電磁軸承相對于傳統軸承具有許多優點，電磁軸承無接觸磨損、無需潤滑、工作壽命長且維護費用低。電磁軸承的動態性能主要取決于所采用的控制規律，這樣就有可能通過控制手段在物理極限內使剛度和阻尼與軸承的工作環境甚至運行狀態相適應[12-14]。電磁軸承可以采用不同的控制算法和控制器，相關研究較多[15-20]。

本文通過動力學模型，分析電磁支承的電磁力和剛度特性、線性化及誤差，并簡單討論PD控制參數對軸系動態特性的影響，為后續軸系振動控制研究提供參考。

1 電磁軸承系統的數學模型

在電磁軸承中，磁極一般對稱布置，采用對稱的功放電路，按差動模式驅動電磁鐵，可獲得一對方向相反的電磁力，如圖1所示。

圖1 單自由度電磁軸承差動驅動Fig.1 Differential driving mode of the single DOF magnetic bearing

忽略電磁鐵磁阻及磁通邊緣效應，當轉子軸心有偏移時，兩電磁鐵的作用力為

(1)

假設振幅x?s0且動態電流ix?i0，利用Taylor級數展開，將電磁力線性化，可以得到

Fx≈kiix+ksx

(2)

(3)

電磁力誤差隨Δx變化的最大值和最小值如圖2所示。

圖2 電磁力誤差隨Δx變化Fig.2 Error of magnetic force

圖3為典型的單自由度電磁軸承控制系統框圖。轉子位移由位移傳感器實時檢測，并將信號送給控制器，控制器產生控制信號U，經功率放大器產生控制電流I，電磁軸承定子與轉子鐵芯將控制電流轉化為作用于轉子的電磁力。整個系統由電磁鐵(線性化的動力學模型為G(s))、功率放大器ka、位置傳感器kb及控制器Gc(s)組成，輸出位移為X(s)，位移傳感器的輸出為Z(s)。

圖3 電磁軸承控制系統框圖Fig.3 Block diagram of magnetic bearing control system

電磁力的傅里葉變換為

F(s)=kiI(s)+ksX(s)

(4)

由圖3可知

I(s)=kbX(s)·Gc(s)ka

(5)

(6)

式(6)表明，磁軸承的動態剛度和動態阻尼不僅與系統參數有關，而且與頻率ω有關。

若采用PD控制，則等效剛度和阻尼分別為

K=kikp+ks,C=kikd

(7)

式中：kp和kd分別為PD控制的比例系數和微分系數。

2 支承特性分析

(8)

(9)

(10)

(11)

根據剛度定義，無量綱剛度為

(12)

由此可知，無量綱剛度與無量綱位移是非線性的關系。如果不考慮非線性，直接進行線性化，則得到線性化無量綱剛度

(13)

圖4 不同情況下的剛度和支承力變化規律(點畫線-線性化無量綱剛度；深色實線-無量綱剛度；淺色實線-無量綱支承力)Fig.4 Stiffness and magnetic force with different

3 梁橫向振動特性分析

考慮如圖5所示的軸系，視為三個彈性支承的等截面梁，每段長度分別為l1、l2、l3，彈性支承剛度分別為k1、k2、k3，梁截面為圓形，橫截面積Aa，彈性模量E，I為梁截面對y軸的慣性矩，材料密度ρ，梁左端附有大圓盤(考慮陀螺力矩的作用)，右端為彈性支承，圓盤質量m，極轉動慣量Jp，直徑轉動慣量Jd。

圖5 軸系簡化模型Fig.5 Simplified model of the shaft system

將軸系分為三段，對于第r(r=1,2,3)段等截面梁，自由振動微分方程為

(14)

根據分離變量法，梁的y向撓度為：wr(x,t)=Wr(x)ejωt，z向撓度為：ur(x,t)=Ur(x)ejωt。 其中，振型函數為

(15)

固有頻率

(16)

第一段軸的左端為大圓盤，設軸的轉速為Ω，考慮陀螺力矩的作用，則滿足以下邊界條件

(17)

第二段軸左右兩端(r=1,2)均為彈性支承，滿足

(18)

第三段軸的右端為彈性支承，滿足條件

(19)

上述三式是在y向所需滿足的條件，z向同理可得。根據以上邊界條件和中間連接條件，可以得到關于振型系數的方程，由系數矩陣行列式為零，可以求得系統的固有頻率，同時也可以得到振型函數，整個軸系的振型函數是三段軸的分段函數。

在x=x0處受簡諧力p(x,t)=P(x=x0)ejωt作用時，x處的頻響函數可以利用振型疊加法求得

(20)

表1為不同轉速下系統的垂向固有頻率，在低轉速下(0～600 r/min)，軸系前五階頻率變化百分比最大為1.01%，由此可見，陀螺力矩對固有頻率影響很小。后面對軸系進行動力學分析時，不考慮陀螺力矩影響。

表1 不同轉速下系統的垂向固有頻率Tab.1 Vertical natural frequencies of the shaft system under varying rotating speeds

將電磁軸承引入軸系中，若不考慮電磁軸承的阻尼特性，可將其簡化為彈簧支承(從左至右依次為第一、第二、第三彈性支承)，如圖6所示，其中ke為電磁軸承等效剛度，與支承k2并聯。無控制時，電磁軸承提供負剛度-ks，采用PD控制時ke=kikp-ks。

圖6 電磁軸承支撐時軸系簡化模型Fig.6 Simplified shaft model with a magnetic bearing

4 算 例

計算梁參數：l1=1.5 m，l2=6.13 m，l3=3.85 m，梁截面半徑為R=0.15 m，E=2.1E+011 Pa，ρ=7 800 kg/m3。

4.1 固有特性

如表2所示為不同控制參數下軸系的固有頻率。由表可知，隨著比例系數的增大，軸系的前五階固有頻率呈現增大的趨勢。由此可以說明，比例系數對電磁軸承負剛度有補償作用，改變比例系數可以改變電磁軸承提供的等效剛度，從而改變系統振動固有頻率。

表2 軸系前五階固有頻率Tab.2 The first five natural frequencies of the shaft

圖7 有無磁軸承時軸系前五階固有振型(向模態質量歸一化)(圖中三角符號從左到右依次標記三個支承位置)Fig.7 Comparison of mode shapes with or without magnetic bearing

4.2 傳遞特性

在左端大圓盤質心處施加垂向簡諧激勵，幅值1 N，頻率范圍為0～100 Hz，頻率分辨率為0.5 Hz，計算幅頻特性。分別提取三個彈性支承的位移響應，位移乘以相應的支承剛度即為各彈性支承的界面力，結果如圖8所示。

圖8 三個彈性支承的界面力響應幅值Fig.8 Force magnitude of the three bearings

由圖8可知，電磁軸承及控制環節的加入使得固有頻率會發生偏移，振動響應發生變化，其中第二個彈性支承的響應變化較大，實際上這是振型函數的變化造成的。由式(20)可知，對于第n階固有頻率附近的頻響函數，主要取決于第n階振型函數的貢獻，其與第n階振型函數在激勵點及響應點的函數值成正比，與該階模態質量成反比。如圖7(c)、圖7(d)所示，由軸系的第三階固有振型可以看出，原軸系與含磁軸承時振型形狀基本相同，但是歸一化后量級相差較大，含電磁軸承時的歸一化振型函數小于無電磁軸承的歸一化振型函數。在采用振型疊加法計算頻響時，由頻響函數計算公式(20)可以看出，含磁軸承的頻響幅值比原軸系顯著降低。

5 結 論

本文針對推進軸系橫向振動控制問題，提出采用電磁軸承抑制支承振動傳遞的方法，建立了包含電磁軸承的簡化軸系動力學模型，根據梁橫向振動理論求解軸系橫向振動固有頻率和傳遞特性，分析了不同控制參數下的系統振動特性和傳遞特性。根據仿真結果可以得到如下結論：

(1) 在低轉速下(0～600 r/min)，陀螺力矩對軸系橫向振動固有頻率影響很小，對軸系進行動力學分析時，可以不考慮陀螺力矩影響。

(2) 電磁軸承線性化剛度與控制參數有關，要想獲得期望的線性化實用范圍，要選取合適的控制參數。

(3) 電磁軸承控制參數的變化可以改變電磁軸承提供的等效剛度，從而改變系統固有頻率和振型，最終使傳遞特性發生改變。

本文從原理上說明了電磁軸承用于推進軸系橫向振動剛度控制的可行性，通過引入電磁軸承，可以控制推進軸系橫向振動，進而減小螺旋槳振動通過軸系向船體傳遞。

參 考 文 獻

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