北師大版與人教A版高中數學教科書比較研究

劉冰

【摘要】本文比較分析普通高中數學課程標準實驗教科書人教A版與北師大版“空間圖形的基本關系與公理”這一節內容，揭示兩版本教科書所滲透的數學思想方法、數學語言的使用與表達及例習題配置情況，進而為高中立體幾何教學提供參考建議.研究發現，兩版本教科書內容結構設置類同于《幾何原本》的公理化系統，滲透公理化思想方法；內容呈現方式始于公理化思想方法的應用；北師大版圖象語言的使用頻率高于人教A版，而人教A版同時使用三種語言描述的知識點則多于北師大版；例題均設置了推理論證和三種語言間轉換的題目，但習題設置存在差異，各有側重.最后根據研究結果提出了相應的教學建議.

【關鍵詞】教科書；比較研究；空間圖形的基本關系與公理；教學建議

1引言

普通高中數學課程標準（2017年版）指出：數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法；提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界[1].教科書作為依據課程標準和學生接受能力編寫的教學材料，它是課程目標與教學內容的具體體現，在一定程度上決定了學生的學習機會和學業成就[2].課標提倡教材編寫的多樣化，在以課程標準為基礎的前提下，不同的教材可以有各自的風格和特點.因此，不同版本教材，對知識內容的安排、數學思想方法的滲透、數學語言的表達也不盡相同，那么不同的數學教科書在滲透數學思想方法、用數學語言進行表達、例習題與內容的匹配等問題的差異就值得研究了.長期以來，幾何承擔著推理與證明的責任，這種責任并不會因為數學教育的改革而消亡，究其緣由，幾何知識比其他數學內容能更好地使學生體會和理解數學世界的推理與證明，或者說是更明確、更符合人們認識事物的直覺[3].因此，本文選取人教A版和北師大版教科書立體幾何部分內容進行比較，探析兩版本教科書滲透數學思想方法、運用數學語言、例習題與內容的匹配的問題，以期為教材編寫者就數學思想方法與知識的有機融合提供數據支撐與理論依據，為一線教師教學提供教學建議與方法.

2研究方法與內容

本文選取普通高中數學課程標準實驗教科書人教A版[4]（以下簡稱“人教A版”）與普通高中數學課程標準實驗教科書北師大版[5]（以下簡稱“北師大版”）必修2關于“空間圖形的基本關系與公理”的內容，比較的具體內容見表1.基于人教A版與北師大版教科書的文本材料，運用文獻研究和比較研究的方法，從內容呈現、數學語言及例習題設置三個維度對兩版本教科書進行深度剖析.表1兩版本教科書中關于“空間圖形基本關系和公理”的具體內容

教科，書內容人教A版2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系：2.1.1 平面；2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系；2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關系；2.1.4 平面與平面之間的位置關系；習題 2.1；復習參考題 .北師大版第1章第4節：4.1 空間圖形基本關系的認識；4.2 空間圖形的公理；習題 1—4；復習題一.3研究結果

3.1內容呈現

3.1.1兩版本教科書內容結構設置與《幾何原本》公理化系統相似，滲透公理化思想方法

內容結構反映了本節教材所包括知識點之間的相互關系，且每一部分內容都是必不可少的，這個有機構成的知識團從側面反映了它所蘊含的數學思想方法.王仲春先生提出的公理化方法的結構層次分為4層次架構：第一層次——基本概念（對象、基本關系）；第二層次——定義；第三層次——公理組（包括邏輯公理）；第四層次——定理及其證明[6].以此為比較分析框架，兩版本教科書內容結構見表2.表2北師大版和人教A版內容結構

公理化方法的層次結構北師大版人教A版基本概念對象點、線、面基本關系（位置關系）屬于、不屬于、相交、平行、重合、共面、異面定義給空間中點、線、面的位置關系下定義.如：異面直線的定義.空間平面的定義；

給空間中點、線、面的位置關系下定義.公理組公理1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；

公理2如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內；

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；

公理4平行于同一條直線的兩條直線平行.定理及其證明定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補；

例習題中有關推理論證的命題；

平行、垂直關系的判定與性質（本文未詳細討論）.從表2可以看出，兩版本教科書在“空間圖形的基本關系與公理”這一節包含的知識點基本一致，只在定義層次人教A版比北師大版多了空間平面的定義，這是由于兩版本教科書在小學和初中兩個學段幾何內容的安排略有差異.公元前300年歐幾里得寫成了名著《幾何原本》，其對于人類文明的最大貢獻在于用演繹方法構建了一個公理化體系，而兩版本的教科書內容結構也完全符合公理化方法的層次結構，從公理化體系的角度對幾何章節的內容進行安排.基于《原本》的公理化體系，無形中滲透了公理化思想方法，使立體幾何章節各部分內容有機結合，呈現出一個精密運作的幾何世界.

3.1.2兩版本教科書內容呈現方式“貌離神合”——公理化思想方法的應用

北師大版和人教A版關于空間圖形基本關系與公理的呈現方式比較見表3.表3北師大版和人教A版內容呈現方式

呈現方式北師大版人教A版引入借助長方體模型，在直觀認識的基礎上引出空間點、線、面的位置關系的問題.知識呈現概括空間圖形基本位置關系主要包括五種；

空間點和直線的位置關系；

空間點和平面的位置關系；

公理1；

公理2空間直線與平面之間的位置關系；

公理3空間平面與平面的位置關系；

公理4空間兩條直線的位置關系；

異面直線及其夾角.空間平面的定義；

空間點和平面的位置關系；

公理1空間點與直線、直線與平面的位置關系；

公理2；

公理3；

異面直線的定義；

空間兩條直線的位置關系、公理4；

異面直線的夾角；

空間直線與平面的位置關系；

空間平面與平面的位置關系.從表3可以看出，兩版本基于《標準》要求，借助長方體模型，在學生直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的條件下，抽象出空間線、面位置關系的定義，同時了解作為推理依據的公理和定理[7].但是，通過比較發現，盡管兩版本教科書知識點呈現順序大相徑庭，看似雜亂無章，實則都是按照一定的主線，將各個知識點以邏輯規則和順序有機結合.人教A版從空間圖形與位置關系的視角，分別以平面、空間中直線與直線之間的位置關系、空間中直線與平面之間的位置關系、平面與平面之間的位置關系為小節標題，基于這樣的劃分分別引出與之相應的知識點，即以空間圖形與位置關系為主線引出與之有關聯的公理.如：由平面引出公理1、2、3；由空間兩條直線位置關系引出公理4.北師大版則選擇從公理的角度出發，引出與每條公理密切相關的空間圖形位置關系.如：由公理2引出空間直線與平面之間的位置關系等.

由上可知，雖然人教A版和北師大版知識點展開所依據的主線各有側重，但事實上兩版本教科書內容呈現方式貌離神合：教材編寫者都應用了公理化思想方法.利用公理化思想方法可以揭示一個數學分支中命題與命題之間的內在關系，從而使它系統化、邏輯化，有利于人們掌握[8].因此，無論選擇以位置關系還是公理為主線，都充分運用公理化思想方法，使這一節內容有機結合，使之成為一個有邏輯、有關聯的整體.這樣的教科書，不管對于教師教學還是學生學習都是一場潛移默化的思維訓練.

3.2數學語言

數學語言是在數學思維中產生和發展的，是數學思維不可缺少的重要工具.數學語言具體可以分為圖象語言、文字語言、符號語言三種.數學教材要滲透和傳播數學知識與思想方法，就需要使用數學語言來表達.立體幾何以空間圖形為研究對象，幾何內容的學習必然無法缺少數學語言的使用.

3.2.1北師大版圖象語言的使用頻率高于人教A版

為了解兩版本教科書在圖象語言使用方面的區別，本文做出以下對比統計.北師大版“空間圖形的位置關系與公理”內容共7頁，其中課文中的插圖共25幅；習題（包括練習題）共16道，習題的插圖共6幅.以上31幅插圖中實物圖有5幅，其中包括3張照片，剩余都是幾何線條圖.人教A版這節內容共14頁，其中課文的插圖共25幅；習題（包括練習題）共34道，習題的插圖共有11幅.以上36幅插圖中實物圖有3幅，其中包括1張照片，其余都是幾何線條圖.由此得出下面的對比表.表4北師大版和人教A版圖象語言

平均圖文比

（幅/頁）平均圖題比

（幅/道）實物圖所占率

（實物圖數/插圖總數）照片所占率

（照片數/插圖總數）北師大版3.570.380.160.10人教A版1.790.320.080.03從表4可以發現，兩版本教科書對于課文插圖、習題插圖、實物圖和照片等使用頻率相差較大，北師大版圖象語言整體使用頻率高于人教A版.北師大版教科書平均每頁分布3.5幅圖，而人教A版還不足2幅.平均圖題比相差不大，但北師大版仍然高于人教A版.實物圖所占率和照片所占率，北師大版是人教A版的2-3倍.

3.2.2人教A版同時使用三種語言描述的知識點多于北師大版

由圖象語言向符號語言的轉化需要借助文字語言的中轉，文字語言是對圖形的描述、解釋與討論，符號語言則是文字語言的簡單化和再次抽象.兩版本教科書這一節在對位置關系、公理和定理的描述中，既有只使用一種語言的情況，如公理4——空間平行線的傳遞性，也有同時使用兩種或三種語言的情形.事實上，三種語言之間的轉換都是為其后的演繹推理做準備，為學生邏輯推理能力的培養添磚加瓦.因此，文本統計了兩個版本教科書中使用不同語言的知識點的情況，見表5.表5北師大版和人教A版使用不同語言描述的知識點

一種語言

（文字語言）兩種語言文、符文、圖圖、符三種語言總計北師大版2210712人教A版2110913從表5的數據統計可以得出，兩版本教科書使用2-3種語言描述知識點的比例更大.北師大版為83.3%，人教A版為84.6%.此外，兩版本教科書中使用三種語言表述的知識點是最多的，北師大有7個，占比為58.3%，人教A版有9個，占比為69.2%.很明顯，人教A版中三種語言描述的知識點多于北師大版.

3.3例、習題設置

例、習題是數學教科書的重要組成部分，是鞏固數學基礎知識、形成數學基本技能、領會數學基本思想、積累數學基本活動經驗以及培養學生數學核心素養的主要途徑[9].

3.3.1兩版本教科書例題均設置了推理論證和三種語言間轉換的題目

這一節內容中，人教A版設置了4道例題，其中3道考查空間點、直線、平面之間的位置關系；1道為推理論證題.北師大版設置了2道例題，1道考查兩條直線之間的位置關系，1道為推理論證題.可以發現，兩版本教科書不約而同都設置了一道證明題作為例題，均為“證明空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點E，F，G，H，構成的四邊形為平行四邊形”這樣一道經典題，證明的過程比較簡潔，從中位線出發依據公理4即可證明，但這道題卻滲透出數學公理化思想方法，讓學生在會做例題的基礎之上體會知識點之間的邏輯關系和公理化體系，并訓練學生養成嚴密的邏輯思維.除此之外，人教A版的4道例題和北師大版的2道例題均注重考察三種語言之間的轉換，每道例題都配以相應的圖形，同時文字語言和符號語言的表述并重.人教A版的例1特意設置為將圖象語言轉換為符號語言的練習，這也彌補了課文中未設置這樣內容的缺憾.

3.3.2兩版本教科書習題設置存在差異，各有側重

研究擬從習題內容題量分布及對應的百分比兩個維度對兩版本教科書的習題配置進行比較分析.將本節習題分為空間圖形基本關系、公理定理、三種語言間的轉換、推理論證這四類.其中將與“異面直線及其夾角”有關的題歸類至“空間圖形基本關系”這一組；“三種語言間的轉換”指考查有關三種數學語言的描述轉化的問題；“推理論證”指涉及到有關演繹推理的題目.具體統計結果見表6.表6北師大版和人教A版習題設置

習題內容北師大版人教A版題量百分比題量百分比空間圖形基本關系842.10%2547.17%公理、定理421.05%1324.53%三種語言間的轉換210.53%815.09%推理論證526.32%713.21%總計19100%53100%從表6可以看出，無論是北師大版還是人教A版教科書，在習題的配置中，均著重“空間圖形基本關系”和“公理、定理”這兩類習題，為學生鞏固本節內容所學知識提供了平臺，這也符合教科書的習題設置的要求.但通過比較可以發現，兩版本教科書關于“三種語言間的轉換”和“推理論證”的題目的設置存在明顯差異，而且各有側重.北師大版的兩類題目數量占到總題數的36.85%，其中“推理論證”類題目的數量甚至超過“公理、定理”類題目，百分比達到26.32%.而人教A版這兩類題目數量占總題數的28.30%，相比北師大版低.其中“三種語言間的轉換”類題目數量更多一點，百分比達到了15.09%.但從總題數來看，人教A版習題數量是北師大版的兩倍多.

4研究結論及建議

4.1結論

4.1.1從宏觀視角看，北師大版與人教A版教科書都滲透了公理化思想方法

歐幾里得《幾何原本》是有史以來用公理化思想方法建立起來的第一門演繹數學，而且成為以后很長時期嚴格證明的典范[10].兩版本教科書在內容選取上符合公理化方法結構層次，以空間圖形、關系、公理和推理論證為結構基礎，與《幾何原本》相似.關于內容呈現方式，運用公理化思想方法將本節知識點邏輯、關聯、有機地串聯起來，建立本節內容的“公理系統”.除此之外，兩版本教科書都配置了相應比例的推理論證題目，在應用層面滲透公理化思想方法.

4.1.2從微觀視角看，北師大版和人教A版對于數學語言及例習題配置的側重各有不同

兩版本教科書均十分重視學生對數學語言的學習，但北師大版偏重圖象語言的內容設置.圖象語言是將現實事物進行數學抽象的第一步，也是問題解決的第一水平[11]，更能培養學生直觀想象的能力.但人教A版則更注重三種數學語言轉換的學習，從表5、6及例題配置可以看到，人教A版在相關內容所占比例均比北師大版高，此外，人教A版在例題中專門設置了一道三種語言相互轉換的題目，北師大版與之相比則顯得比較欠缺.例習題的配置中，北師大版有關推理論證題目占總題數的比例均比人教A版高，除此之外，北師大版題目多注重應用.因此，人教A版側重為后續定理及推理論證的學習奠定基礎，而北師大版更關注學生在知識應用過程中加深對其的理解.

4.2建議

4.2.1立體幾何課堂教學應重視公理化思想方法的滲透

公理化思想方法在數學教學和學習中具有重要的作用和意義.首先，公理化思想方法可以揭示一個數學系統或分支的內在規律性，從而使它系統化、邏輯化，有利于人們學習和掌握.其次，由于公理系統是一個邏輯演繹系統，所以對培養學生的邏輯思維能力和演繹推理能力都有其重要意義[12].雖然《標準》中突出直觀感知、操作確認、歸納類比等方法，但演繹推理仍然是驗證猜想、證明結論的重要手段.因此，教師作為知識傳遞的源頭，應在充分理解公理化思想方法的基礎之上，將其融入自己的課堂教學中，向學生展示公理化思想方法及系統的特點與優勢，在構建學生知識體系的過程中沉淀數學思想方法.

4.2.2立體幾何教學中合情推理與演繹推理應相輔相成

數學推理位于數學核心素養體系塔的第三層次——數學思維層，包括演繹推理和合情推理.合情推理作為獲得猜想、發現結論的重要方式，有助于培養學生學生大膽猜想、勇于創造的探索精神；演繹推理注重運用事實和邏輯進行論證，有助于個體形成尊重事實和證據的理性精神[13].因此，立體幾何角教學中教師應該在借助幾何直觀、空間想象、操作確認、度量計算等手段的基礎之上，不失時機的引導學生進行抽象概括，體會公理化思想方法，發展學生必要的論證思維水平.

4.2.3教師應充分利用兩版本教材，取長補短，設計優質教案

教師在講授這一部分內容時，應同時參考這兩個版本的教科書（甚至是多個版本），取長補短，精心設計.北師大版更注重知識的應用性，而人教A版則以夯實學生基礎為主.兩個版本各有特色，教師在進行新授課之前應仔細研讀這兩版本教科書，基于學生學情制定相匹配的教學目標，選擇合適的教學內容，創設與之相適應的教學情境，最終進行教學.因材施教，一標多本即是追求個性化教學，因此教師不應僅僅局限于某一個版本的課本.

參考文獻

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