一類條件可化為“∏x=1”的不等式研究述評

牛偉強 張麗玉

【摘要】不等式的證明方法靈活多樣，因而證明不等式有利于培養學生的數學探究意識和數學探究能力.這篇文章首先探討了一類條件可化為“∏x=1”的不等式研究的概況，其后給出了研究的主要結論，最后文末提出了三個猜想供有興趣的讀者進一步研究.

【關鍵詞】不等式；∏x=1；述評

1引言

2003年安振平[1]提出問題（數學問題解答1435）：設a，b>0，求證：

aa+3b+b3a+b≥1.（1）

這個問題猶如一顆火星，引發了一系列相關的研究，見文[2-11].2006年賀中杰[12]提出問題（數學問題解答1613）：設a，b，c∈R+，λ≥0，求證：

a2+λb2a+b2+λc2b+c2+λa2c≥31+λ.

他用反證法證明了上述不等式并且指出原不等式其實可以推廣到：設xi∈R+，∏ni=1xi=1，λ≥0，i=1，2，…，n，n≥2，則：

∑ni=11+λ≥n1+λ.（2）

后來，蔡曉蘭（2009）[13]又從幾何角度給出了不等式（2）的一個證明，然而關于上述兩個不等式的聯系目前似乎尚未有人發現.

不等式（1）可以改寫為：設xi∈R+，x1x2=1，則：

∑2i=1（1+3xi）-12≥21+3-12.

不等式（2）可以改寫為：設xi∈R+，∏ni=1xi=1，λ≥0，則：∑ni=1（1+λxi）12≥n1+λ12.

觀察可以發現上述兩個不等式的形式幾乎一模一樣，這引起了我們對下列問題的深深思考.設xi∈R+，∏ni=1xi=1，那么λ和k滿足什么樣的條件時，則有：

∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k.（*）

為了避免重復的工作，我們首先對不等式（*）相關的文獻做了系統的梳理.

2研究概況蔣明斌（2004）[2]最早注意到了不等式（1），他對這個不等式進行了推廣，得到如下兩個優美的不等式.設a，b>0，若λ≥3，則：

aa+λb+bλa+b≥21+λ，（3）

若0<λ≤2，則：

aa+λb+bλa+b≤21+λ，（4）

李永利（2005）[3]對不等式（3）進行了研究，得到了一個指數推廣的不等式.設a，b>0，n≥2且n∈N，若λ≥2n-1，則：

naa+λb+nbλa+b≥2n1+λ. （5）

上述不等式岳嶸（2007）[7]、李鳳清（2014）[11]也都給出了證明，并且給出了一個更加完整的結果.郭要紅（2006）[4]則對不等式（4）進行了研究，他用微分法證明了a，b>0，0<λ≤3時：

3aa+λb+3bλa+b≤231+λ.

最后，他還提出了一個漂亮的猜想：設a，b>0，n≥2且n∈N，若0<λ≤n，則：

naa+λb+nbλa+b≤2n1+λ. （6）

后來，不少學者[5-7，10-11]都證明了這個猜想的正確性.關于不等式（6），目前一個較新的研究結果屬于尚生陳（2009）[8]，他證明了a，b，c∈R+，當0≤λ≤n時，有：

naa+λb+nbb+λc+ncc+λa≤3n1+λ. （7）

對于不等式（5），李建潮（2008）[9]則用反證法證明了一個n元的一般結論：

設ai>0（i=1，2，…，n，n≥2且n∈N，an+1=a1），k≥2且k∈N，λ≥nk-1，則：

∑ni=1kaiai+λai+1≥nk1+λ.（8）

事實上，不等式（8）可改寫為：設xi∈R+，∏ni=1xi=1，λ≥nk-1，k≥2且k∈N，則：

∑ni=1（1+λxi）-1k≥n（1+λ）-1k.

這個不等式是極漂亮的，它其實就是不等式（*）當指數為負數時的一種特殊情況，而不等式（1，3，5）則是幾種最簡單的情況.那么當指數為正數時，又會得到怎樣的結果呢？根據與不等式（2）的類比，我們證明了下面的結論.

3主要結果

定理設xi∈R+，∏ni=1xi=1，若k≥0，則當λ≥0時，有：∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k

證明k=0時是顯然的.當k>0時，由均值不等式可知

∑ni=1（1+λxi）k≥nn∏ni=1（1+λxi）k，

故只需證明

nn∏ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k，

即證明∏ni=1（1+λxi）≥（1+λ）n.

令f（λ）=∏ni=1（1+λxi），g（λ）=（1+λ）n，

因為fλ=∏ni=11xi+λ=∑nj=0λj（∑1xi1xi2…xij），其中∑1xi1xi2…xij表示1x1，1x2，…，1xn中任意j個（共Cjn個）數的乘積再求和，gλ=1+λn=∑nj=0λj（Cjn）.

所以只需證明∑1xi1xi2…xij≥Cjn，

再次使用均值不等式得

∑1xi1xi2…xij≥CjnCjn∏1xi1xi2…xij

其中∏1xi1xi2…xij表示1x1，1x2，…，1xn中任意j個（共Cjn個）數的乘積再求積.由于每個xi都恰好出現Cj-1n-1次，所以∏xi1xi2…xij）=xCj-1n-11xCj-1n-12…xCj-1n-1n=1.

故∑1xi1xi2…xij≥Cjn，等號成立時x1=x2=…=xn=1.

于是，fλ≥gλ，所以原不等式成立.

這樣當k≥0時，不等式（*）成立的條件就解決了.當k<0時，還有一些遺留的問題需要進一步分析.

4遺留問題

讀者可能已經注意到了不等式（4，6，7）都是反向的，仔細觀察可以發現原因在于參數λ的取值范圍發生了變化.也就是說當k<0時，不等式（*）可能成立也可能反向成立.

甘義寧（2014）[10]證明了下面的命題.設a，b>0，若α>1，λ≥1α，則：

aa+λbα+bb+λaα≥2（1+λ）α

上面的命題可以改寫為：∑2i=1（1+λxi）-α≥21+λ-α.因為α>1，所以-α<-1，也就是說當指數k<-1時，不等式（*）的二元形式是成立的.

尚生陳（2009）[8]給出了一個三元不等式的證明.設x，y，z∈R+且xyz=1，0≤β≤1，0≤λβ≤1，則：

11+λxβ+11+λyβ+11+λzβ≤3（1+λ）β

這個不等式可以改寫為：∑3i=1（1+λxi）-β≤31+λ-β.因為0≤β≤1，所以-1≤-β≤0，也就是說當指數-1≤k≤0時，不等式（*）的反向三元形式是成立的.最后，通過對上述不等式特征的歸納和類比，我們提出幾個問題留給有興趣的讀者進一步研究.

猜想1：設xi∈R+，∏ni=1xi=1，-1≤k<0，0≤λ≤n時，則有：

∑ni=1（1+λxi）k≤n（1+λ）k.

猜想2：設xi∈R+，∏ni=1xi=1，-1≤k<0，λ≥n-1k-1時，則有：

∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k.

猜想3：設xi∈R+，∏ni=1xi=1，當k<-1，λ≥-1k時，則有：

∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k.

參考文獻

[1]安振平. 數學問題解答-1435[J]. 數學通報， 2003（5）：8.

[2]蔣明斌. 一個數學問題的證明推廣及其它[J]. 數學通報， 2004（9）：34-34.

[3]李永利. 一個不等式的指數推廣[J]. 數學通報， 2005（11）：63-64.

[4]郭要紅. 一個無理不等式的類比[J]. 數學通訊（教師閱讀）， 2006（9）：30-30.

[5]有名輝. 一個不等式的糾錯、推廣及統一證明[J]. 中學數學教學， 2009（1）：58-59.

[6]李建潮. 一個猜想不等式的證明[J]. 數學通訊， 2006（21）：36-37.

[7]岳嶸. 一個無理函數的值域[J]. 高等繼續教育學報， 2007（3）：27-29.

[8]尚生陳. 一個不等式的再推廣及一個猜想的證明[J]. 中學數學教學， 2009（4）：57-58.

[9]李建潮. 一道IMO試題引發的思索[J]. 中小學數學（高中版）， 2008（9）：44-45.

[10]甘義寧. 一個無理不等式猜想的推廣及其證明[J]. 數學通報， 2014， 53（3）：62-63.

[11]李鳳清. 對一對姊妹無理不等式的探究[J]. 四川職業技術學院學報， 2014， 24（5）：148-149.

[12]賀中杰. 數學問題解答-1613[J]. 數學通報， 2006（6）：47-48.

[13]蔡曉蘭. 一個“數學問題”的幾何證明[J]. 數學通報， 2009（5）：61.