關(guān)于三角形邊長(zhǎng)一個(gè)猜想的證明及推廣

筆者在文[1]中提出如下

猜想若a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，n∈N且n≥2，∑表示對(duì)a，b，c循環(huán)求和，則有

∑bn+cn-anb+c-a≤∑an-1.

在猜想中，上述不等式被記為D（n）.經(jīng)研究，上述猜想是正確的.

證明由于a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，則有b+c-a>0，c+a-b>0，a+b-c>0，那么

∑bn+cn-anb+c-a-∑an-1

=∑bn+cn-an-b+c-aan-1b+c-a

=∑bbn-1-an-1b+c-a+ccn-1-an-1b+c-a

=∑bbn-1-an-1b+c-a+aan-1-bn-1c+a-b

=∑an-1-bn-1ac+a-b-bb+c-a

=∑an-1-bn-1ab+c-a-bc+a-bc+a-bb+c-a

=∑an-1-bn-1ac-a2-bc+b2c+a-bb+c-a

=∑an-1-bn-1ca-b-a+ba-bc+a-bb+c-a

=-∑an-1-bn-1a-ba+b-cc+a-bb+c-a

由于n∈N且n≥2，所以

當(dāng)a≥b時(shí)有an-1≥bn-1；

當(dāng)a≤b時(shí)有an-1≤bn-1，

故總有a-ban-1-bn-1≥0成立，那么

-∑an-1-bn-1a-ba+b-cc+a-bb+c-a≤0，

即∑bn+cn-anb+c-a-∑an-1≤0，所以有

∑bn+cn-anb+c-a≤∑an-1成立，即D（n）得證.

從證明過程看，我們可以將上述猜想推廣為：

命題 若a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，p∈R，∑表示對(duì)a，b，c循環(huán)求和，則

當(dāng)p≥1時(shí)，有∑bp+cp-apb+c-a≤∑ap-1；

當(dāng)p<1時(shí)，有∑bp+cp-apb+c-a≥∑ap-1.

參考文獻(xiàn)

[1]董林.關(guān)于三角形邊長(zhǎng)的一組優(yōu)美不等式及猜想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（6）.

作者簡(jiǎn)介董林（1975—），男，中共黨員，高級(jí)教師，高青縣教學(xué)研究室主任，主要從事教學(xué)研究和初等數(shù)學(xué)研究，近年來在各類專業(yè)刊物上發(fā)表論文180余篇.