一個杠桿問題的解法及推廣

【摘要】用對函數(shù)求導(dǎo)確定駐點(diǎn)的方法，探究一個力學(xué)問題中兩物體間作用力的變化規(guī)律，并將解決問題的方法作一推廣.

【關(guān)鍵詞】鋼板；圓柱體；壓力；杠桿平衡；三角函數(shù)

例題1如圖1所示，一密度均勻的長鋼板OA左端O點(diǎn)用鉸鏈固定于地面，從鋼板右方底下沿水平地面向左推進(jìn)一個圓柱體鐵桶，若不計(jì)摩擦，在鐵桶緩慢左移的過程中，鋼板對鐵桶的壓力[假設(shè)鐵桶剛進(jìn)入時鋼板與水平地面的夾角足夠小]（）.

A.逐漸變小B.逐漸變大

C.始終不變D.先變大，再變小

作為選擇題，考慮“極端值”并采用淘汰法，很容易確定本題的答案是選項(xiàng)D——由題目條件“鐵桶剛進(jìn)入時鋼板與水平地面的夾角足夠小”可知，若鐵桶直徑相對鋼板的長度足夠小（只有這樣才能保證開始“鋼板與水平地面的夾角足夠小”），鐵桶剛進(jìn)入時，鋼板對鐵桶的壓力接近于鋼板重力的一半，當(dāng)鐵桶向左前進(jìn)相當(dāng)長的距離后（比如前進(jìn)的距離是鋼板長度的一半），則相對于支點(diǎn)，鐵桶對鋼板壓力的力臂幾乎減小一半，而鋼板與水平面的夾角可以幾乎不變（我們可以設(shè)想鋼板有鉸鏈的一端在北京，另一端在上海，鐵桶只是直徑為30cm的普通鐵桶，就可以想象出在鐵桶向左推進(jìn)過程中鋼板與水平地面夾角的變化情形了），所以，開始的過程，鐵桶與鋼板間的壓力應(yīng)該不斷的增大，而當(dāng)鋼板與水平地面的夾角接近于90°時，鋼板與鐵桶之間的壓力趨向于0，變得很小，所以，我們可以將題目所給4個選項(xiàng)中的前三個淘汰，而得出本題的正確選項(xiàng)D.

圖1圖2然而，如果本題不是選擇題，而是一道問答題——“在鋼板從右端緩慢推進(jìn)過程中，鋼板對鐵桶的壓力如何變？”，或者，題目雖然依然是選擇題，但作為教師的我們想弄清楚在鐵桶的整個運(yùn)動過程中，鋼板與鐵桶間壓力的變化規(guī)律，那么，就需要對兩者間的壓力進(jìn)行定量分析.下面，我們將本題作為問答題進(jìn)行解答.

分析在鐵桶向左緩慢移動的的過程中，鐵桶對鋼板壓力的作用點(diǎn)位置和方向都在不停的變化，而且鋼板與水平面的夾角也在不斷增大.設(shè)鋼板與水平地面的夾角為θ，顯然，當(dāng)鋼板的長度、重力和鐵桶的直徑大小等物理量確定之后，對于每一個確定的θ值，鐵桶都有唯一的位置與之對應(yīng)，此時，鐵桶對鋼板壓力的大小便唯一確定下來了，所以，鐵桶與鋼板間壓力的大小是鋼板與水平面夾角θ的函數(shù)，函數(shù)關(guān)系式一旦確定下來，我們就可以確定鐵桶與鋼板之間壓力的變化范圍，當(dāng)然也是鋼板對鐵桶壓力的變化范圍.

解析如圖2所示，設(shè)鋼板長為L，重力是G，鐵桶直徑為R，鋼板與水平面的夾角為θ時鐵桶對鋼板的壓力是F，以鉸鏈點(diǎn)O為質(zhì)點(diǎn)，由杠桿平衡條件可得：F·Rcotθ2=G·12Lcosθ.

所以F=GLcosθ2Rcotθ2=GL2Rcosθtanθ2（arctan2RL≤θ≤π2）

F對θ求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，確定函數(shù)的駐點(diǎn)——

由F′=GL2R（-sinθtanθ2+12cosθsec2θ2）=0得：

sinθtanθ2=12cosθsec2θ2

所以tanθtanθ2=12sec2θ2

利用2倍角三角函數(shù)公式，將等式中的不同角度的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同一角度的三角函數(shù)，可得：

4tan2θ21-tan2θ2=sec2θ2

所以4sin2θ2cos2θ2-sin2θ2=1cos2θ2

所以4sin2θ21-2sin2θ2=11-sin2θ2

令x=sin2θ2，則有：4x1-2x=11-x

整理得：4x2-6x+1=0

所以x=6±208=3±54（將大于1的舍去），故有：sin2θ2=3-54

因?yàn)閟inθ2>0，故有：

θ=2arcsin3-54=2arcsin6-258=2arcsin（5-1）28=2arcsin10-24

因?yàn)楹瘮?shù)F=GL2Rcosθtanθ2（arctan2RL≤θ≤π2）在其定義域內(nèi)只有唯一的一個駐點(diǎn)θ=2arcsin10-24，且當(dāng)θ=π2，壓力F=0最小，所以，駐點(diǎn)處的函數(shù)有最大值，因此，本題的正確選項(xiàng)是D——先變大，再變小.

那么，當(dāng)鋼板下的圓柱體鐵桶改為其它形狀的物體時，在不考慮摩擦的情況下，答案是否還是如此？

例題2如圖3所示，一長度為L密度均勻的長鋼板OA的重力為G，左端O點(diǎn)用鉸鏈固定于地面，從鋼板右方底下沿水平地面向左推進(jìn)一棱長為a的正方體，若不計(jì)摩擦，在正方體緩慢左移的過程中，求鋼板對正方體壓力的變化范圍[已知正方體的棱長a與鋼板長度L間的關(guān)系為a<22L]

圖3圖4解析如圖4所示，由于沒有摩擦，所以正方體與鋼板之間只存在正壓力，不存在切向作用力，因此，正方體對鋼板的作用力垂直于鋼板.仿照例題1的解法，以O(shè)為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件得：

F·asinθ=G·L2cosθ

所以F=GL2asinθcosθ=GL4asin2θ

所以F′=GL2acos2θ

由F′=GL2acos2θ=0得：θ=π4

由于在自變量的取值范圍內(nèi)，函數(shù)F=GL4asin2θ只有唯一的駐點(diǎn)θ=π4，而當(dāng)θ→π2時，鋼板與正方體間的壓力F→0，所以，當(dāng)θ=π4時，鋼板與正方體間的壓力存在最大值，此最大值Fmax滿足：

Fmax·2a=G·L2·22

解得：Fmax=LG4a.

因此，在正方體緩慢左移的過程中，鋼板對正方體壓力的變化范圍是0≤F≤LG4a.

作者簡介王偉民（1964—），男，本科學(xué)歷，中教高級.曾榮獲太和縣優(yōu)秀教師、太和縣師德標(biāo)兵、阜陽市優(yōu)秀教師等稱號；在《物理通報》、《物理教學(xué)》、《物理教學(xué)探討》、《物理教師》、《中學(xué)物理教學(xué)參考》、《中學(xué)地理教學(xué)參考》、《中學(xué)生物教學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》等期刊發(fā)表論文140余篇.

意外的提問精彩的生成

上海市寶山區(qū)教育學(xué)院201999王鳳春

上海市通河中學(xué)200431張冰

在選修教學(xué)中，為了證明不等式aba>0，m>0），我作了如下教學(xué)設(shè)計(jì).

1教學(xué)設(shè)計(jì)

例題若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之.

分析本例實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念可知aba>0，m>0），即糖水中加糖甜更甜.

注保和溶液時，m有取值范圍.

解師生合作給出了如下證明.

證法一（比較法）a+mb+m-ab=b（a+m）-a（b+m）b（b+m）=m（b-a）b（b+m）.

因?yàn)閎>a>0，m>0，所以b-a>0，b+m>0，所以m（b-a）b（b+m）>0，即a+mb+m>ab.

證法二（放縮法）因?yàn)閎>a>0且m>0，所以ab=a（b+m）b（b+m）=a+abmb+m

圖1證法三（數(shù)形結(jié)合法）如圖1，在Rt△ABC及Rt△ADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CE 瘙 綊 BD，

因?yàn)椤鰽BC∽△ADF，

所以ab=a+mb+CF

完成證明，師生共同給出如下推廣：

設(shè)真分?jǐn)?shù)a1b1

則a1b1

原來的教學(xué)設(shè)計(jì)是推廣（*）后，講解兩道基本例題，便完成本課的教學(xué).但是，學(xué)生甲追問（*）如何證明？這個提問既打亂了教學(xué)設(shè)計(jì)，也激發(fā)了學(xué)生的思考.課堂上片刻的沉靜后，學(xué)生乙受生活模型，即上述糖水混合的啟發(fā)，給出了如下證明.

2意外生成

2.1化學(xué)模型

有一種化學(xué)溶液，裝在標(biāo)號分別為1號，2號，…，n號的瓶中，其溶質(zhì)和溶液的質(zhì)量分別是（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），且濃度滿足a1b1

若將1號，2號混合，其濃度為a1+a2b1+b2，所以有

a1b1

將1號，2號，3號混合，其濃度為a1+a2+a3b1+b2+b3，

所以有a1b1

依次類推，（*）式成立.

這個模型直觀易懂，無需數(shù)學(xué)的邏輯推理，說出了（*）式的本質(zhì).

2.2幾何模型

圖2如圖2，設(shè)AC1=a1，AA1=b1，A1D2=a2，A1A2=b2，A2D3=a3，A2A3=b3.

因?yàn)閍1b1

顯然有a1b1

a1b1

經(jīng)過一番討論，學(xué)生甲給出這個模型，全班學(xué)生無言，同學(xué)們對他們豎起了大拇指，一種成功感溢于言表，我也為弟子們的精彩表現(xiàn)而自豪.

3精彩應(yīng)用

學(xué)生的精彩發(fā)現(xiàn)，讓我對學(xué)生的思維有了更高的預(yù)期，于是我改動了例題，把原本當(dāng)做思考題的題目作為課堂練習(xí).

練習(xí)（2013年北大保送生）

已知：正數(shù)a，b，c，滿足a

求證：a1+a

證明：因?yàn)閍b+c+bc1+b+c+bc>b+c1+b+c>a1+a.

應(yīng)用公式，學(xué)生很快給出了上述解答.學(xué)生意猶未盡，但此時鈴聲已響……

課后反思本課由于一位學(xué)生的疑問，引發(fā)了全班學(xué)生的思考.兩個模型的建立，讓學(xué)生產(chǎn)生興奮驚奇，無字的證明，將課堂氣氛推向高潮，扣人心弦.其間，老師及時捕捉學(xué)生靈光閃現(xiàn)的思維火花，調(diào)動學(xué)生積極參與，充分暴露學(xué)生的思維過程，才有如此大的收獲.模型二實(shí)質(zhì)上是對不等式鏈的幾何解釋.如何落實(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的問題，深度學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生的高階思維是個有效的途徑，新課程以學(xué)生發(fā)展為本的口號喊了多年，然而，課堂教學(xué)真正體現(xiàn)這種理念，還需經(jīng)常反思自己的教學(xué)行為.學(xué)生帶著自己的知識、經(jīng)驗(yàn)、思考、興趣參與課堂活動，可以獨(dú)立思考、個性化理解、自由表達(dá)，可以質(zhì)問、懷疑、批判教師觀點(diǎn)或教材觀點(diǎn)，從而使課堂教學(xué)呈現(xiàn)出多樣性、豐富性和隨機(jī)性.這樣的教學(xué)對教師提出了新的要求，不僅要有新的理念，還必須具有深厚的學(xué)科底蘊(yùn)，才能把握課堂，使課堂教學(xué)煥發(fā)出生命活力.

作者簡介王鳳春（1962—），男，江蘇徐州市人，上海市特級教師，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院碩士生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教育和教育科研.出版《中學(xué)數(shù)學(xué)教育科研》等著作；解決了最優(yōu)化問題中 Lagrange乘數(shù)法的相關(guān)問題，論文發(fā)表在《高等數(shù)學(xué)研究》.

張冰（1979—），女，湖北黃岡市人，中學(xué)高級教師，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)和教育科研，寶山區(qū)學(xué)科帶頭人，寶山區(qū)教育學(xué)院高中數(shù)學(xué)兼職教研員.