二次曲線定比公式及其應(yīng)用

眾所周知，已知點(diǎn)P1（x1，y1），P1（x2，y2），直線l：Ax+By+C=0，直線P1P2與直線l相交于點(diǎn)P，若P1P=λPP2，則λ=-Ax1+By1+CAx2+By2+C.如果將直線l換成圓，橢圓，雙曲線或者拋物線，結(jié)論如何？本文旨在給出上述問題的解答，給出對應(yīng)的定比公式，得到如下有趣的命題.

命題1已知點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），圓C：x2+y2=r2（r>0），直線P1P2與圓C相交于點(diǎn)P.若P1P=λPP2，U=x22+y22-r2，V=x1x2+y1y2-r2，W=x21+y21-r2，則λ=-V±V2-UWU.

證明將點(diǎn)P1和P2的坐標(biāo)代入P1P=λPP2得Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x2+y2=r2得x1+λx21+λ+y1+λy21+λ=r2，整理得x22+y22-r2λ2+2（x1x2+y1y2-r2）λ+（x21+y21-r2）=0，即Uλ2+2Vλ+W=0.因?yàn)橹本€P1P2與圓C相交于點(diǎn)P，所以關(guān)于λ的方程有解，由求根公式得λ-V±V2-UWU.

例1設(shè)圓O：x2+y2=5，過圓心O作直線l交圓于A、B兩點(diǎn)，與直線x=-3交于點(diǎn)P，若A恰好為線段BP的中點(diǎn)，則直線l的方程為.

解由題意設(shè)P（-3，t）.因?yàn)锳恰好為線段BP的中點(diǎn)，所以PA=2AO.

由命題1得U=-5，V=-5，W=4+t2.由-5U=-5，V=-5，W=4+t2.由-5×22+2×（-5）×2+4+t2=0得t=±6.

當(dāng)t=6時(shí)，P（-3，6），kPO=-2，直線l的方程為y=-2x；當(dāng)t=-6時(shí)，P（-3，-6），kPO=2，直線l的方程為y=2x.故直線l的方程為y=-2x或y=2x.

命題2已知點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直線P1P2與橢圓C相交于點(diǎn)P.若P1P=λPP2，U=x22a2+y22b2-1，V=x1x2a2+y1y2b2-1，W=x21a2+y21b2-1，則λ=-V±V2-UWU.

證明將點(diǎn)P1和P2的坐標(biāo)代入P1P=λPP2得Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ，將點(diǎn)P代入x2a2+y2b2=1并整理得b2x22+a2y22-a2b2）λ2+2（b2x1x2+a2y1y2-a2b2）λ+（b2x21+a2y21-a2b2）=0，則（x22a2+y22b2-1）λ2+2（x1x2a2+y1y2b2-1）λ+（x21a2+y21b2-1）=0，即Uλ2+2Vλ+W=0.因?yàn)橹本€P1P2與橢圓C相交于點(diǎn)P，所以關(guān)于λ的方程有解，由求根公式得λ=-V±V2-UWU.

例2設(shè)橢圓C：x2a2+y2a2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P，交x軸正半軸于點(diǎn)Q，且AP=85PQ，求橢圓C的離心率.

解設(shè)Q（x0，0），F(xiàn)（-c，0），由A（0，b）及直角三角形中射影定理得|AO|2=|OF||OQ|，則x0=b2c，Q（b2c，0）.由AP=85PQ及命題2得U=b4a2c2-1，V=-1，W=0.由（b4a2c2-1）×（85）2+2×（-1）×85=0得b2ac=32，從而2c2+3ac-2a2=0，2e2+3e-2=0，于是e=12或e=-2（舍）.故橢圓C的離心率為12.

命題3已知點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），直線P1P2與雙曲線C相交于點(diǎn)P.若P1P=λPP2，U=x22a2-y22b2-1，V=x1x2a2-y1y2b2-1，W=x21a2-y21b2-1，則λ=-V±V2-UWU.

證明將點(diǎn)P1和P2的坐標(biāo)代入P1P=λPP2得Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ，將點(diǎn)P代入x2a2-y2b2=1并整理得（b2x22-a2y22-a2b2）λ2+2（b2x1x2-a2y1y2-a2b2）λ+（b2x21-a2y21-a2b2）=0，則（x22a2-y22b2-1）λ2+2（x1x2a2-y1y2b2-1）λ+（x21a2+y21b2-1）=0，即Uλ2+2Vλ+W=0.因?yàn)橹本€P1P2與橢圓C相交于點(diǎn)P，所以關(guān)于λ的方程有解，由求根公式得λ=-V±V2-UWU.

例3已知F是雙曲線C：x2-y28=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上的一點(diǎn)，A（0，66）.當(dāng)△APF的周長最小時(shí)，該三角形的面積為.

解設(shè)F1是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則F1（-3，0），|AF1|=|AF|=15.由P是C的左支上的一點(diǎn)，得|PF|=|PF1|+2，△APF的周長等于|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2≥|AF1|+|AF|+2=32，等號當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)1，P三點(diǎn)共線時(shí)成立，并且點(diǎn)P在線段AF1上.

設(shè)AP=λPF1，由A（0，66），F(xiàn)1（-3，0）及命題3得U=8，V=-1，W=-28.由8λ2-2λ-28=0得λ=2或λ=-74（舍），此時(shí)AP=2PF1，S△APF=23S△AFF1=23×12×6×66=126.故△APF的周長最小時(shí)，該三角形的面積為126.

命題4已知點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），拋物線C：y2=2px（p>0），直線P1P2與拋物線C相交于點(diǎn)P.若P1P=λPP2，U=y22-2px2，V=y1y2-px1-px2，W=y21-2px1，則λ=-V±V2-UWU.

證明將點(diǎn)P1和P2的坐標(biāo)代入P1P=λPP2得Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ，將點(diǎn)P代入y2=2px并整理得（y22-2px2λ2+2（y1y2-px1-px2）λ+（y21-2px1）=0，即Uλ2+2Vλ+W=0.因?yàn)橹本€P1P2與拋物線C相交于點(diǎn)P，所以關(guān)于λ的方程有解，由求根公式得λ=-V±V2-UWU.

例4已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，直線l：x=-1，點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)為B.若FA=-3FB，則|AB|=（）.

A.20B.16C.10D.5

解由題意得F（2，0），設(shè)A（-1，t），B（x1，y1），由FA=-3FB得AB=-4BF.由命題4得U=-16，V=2（2-4）=-4，W=t2+8.

由（-16）（-4）2+2（-4）（-4）+t2+8=0得t2=216，則t=±66.

當(dāng)t=66時(shí)，A（-1，66）.由FA=-3FB得x1=3，

y1=-26，則B（3，-26），所以|AB|=（3+1）2+（-26-66）2=20；當(dāng)t=-66時(shí)，同理有|AB|=20.故選擇答案A.

作者簡介劉才華，男，山東省寧陽第一中學(xué)教師，中學(xué)高級教師，泰山名師，泰安市優(yōu)秀教師，泰安市學(xué)科帶頭人，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《數(shù)學(xué)傳播》等30余種報(bào)刊上發(fā)表論文180余篇.