介紹一道原創“數學文化”高考模擬題

【摘要】2016年10月8日，教育部考試中心公布了《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》（教試中心函〔2016〕179號）.關于數學科目修訂的內容之一就是增加了對數學文化的要求.本文由電視劇《愛情最美麗》的主臺詞編擬了一道原創“數學文化”高考模擬題，涉及等比數列、近似計算、計數原理和數論知識，供讀者欣賞.

【關鍵詞】數學文化；等比數列；近似計算；電視劇《愛情最美麗》

題目電視劇《愛情最美麗》（張國立導演，北京國立常升影視文化傳播有限公司，2013年）主臺詞（見第6集）：你聽說過嗎？前世五百次的回眸，換來今世的一次擦肩而過；前世五百次的擦肩而過，換來今世的一次相遇；前世五百次的相遇，換來今世的一次相識；前世五百次的相識，換來今世的一次相知；前世五百次的相知，換來今世的一次相愛.如果你的愛情出現了，你們一定會從人群中，一眼找到彼此.不管中間隔了多少險阻，都一定會遇到.這，就叫做緣分！

由這段話還可得到一個首項和公比均為500、項數為5的等比數列an：

前世a1次的回眸，換來今世的一次擦肩而過；前世a2次的回眸，換來今世的一次相遇；前世a3次的回眸，換來今世的一次相識；前世a4次的回眸，換來今世的一次相知；前世a5次的回眸，換來今世的一次相愛.

請你回答以下問題：

（1）已知一年大約是365×24×3600=31536000（秒）.若回眸一次用時1秒，則換來今世的一次相愛，前世需用個（精確到1）十萬年的時間來回眸；

（2）正整數a5的正約數個數是 ；

（3）若正整數a5的正約數和是A，則42047A+1是位數（其中[x]表示不超過實數x的最大整數）.（參考數據：lg2≈0.3010）

解可得a5=500·5004=210515，因而a5的全部正約數組成的集合是{2α5β|α=0，1，2，…，10；β=0，1，2，…，15}.

（1）換來今世的一次相愛，前世需用a5=5005=3.125×1013秒時間來回眸.因為

3.125×101331536000=3.125×10133.1536×107=31.253.1536×105

3.1536×9.5<3.2×9.5=30.4<31.25

9.5<31.253.1536<10.

從而可得所求答案是10.

（2）由分步計數乘法原理可得a5的正約數個數是（10+1）（15+1）=176.

（3）可得

A=（1+2+22+…+210）（1+5+52+…+515）=1-2111-2·1-5161-5=20174（516-1），

42047A+1=516，

可得42047A+1即516的位數是[16lg5]+1，也即17-[16lg2].

由lg2≈0.3010，可猜測4<16lg2<5，對其嚴格證明如下：

由4lg2=lg16>1，可得4<16lg2；由211=2048<3125=55，可得216<105，16lg2<5.

所以4<16lg2<5，17-[16lg2]=12.

因而42047A+1即516是12位數.

考查目標（1）閱讀理解能力；（2）等比數列的通項公式及其求法；（3）用不等式的放縮法得出相應的近似計算估值；（4）用分步計數乘法原理解決相應的計數問題；（5）用相應的數論知識解題.

設計思路2016年10月8日，教育部考試中心公布了《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》（教試中心函〔2016〕179號）.關于數學科目修訂的內容之一就是增加了對數學文化的要求.本文由電視劇《愛情最美麗》的主臺詞編擬了一道原創“數學文化”高考模擬題，涉及等比數列、近似計算、計數原理和數論知識，供讀者欣賞.

針對此題，筆者也談一點當前的高考復習備考.最有效的教法是講練結合，最有效的學法是“夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高”.學困生的學習方法必須要有一種鍥而不舍的精神：聽老師五百次的講課，換來一次聽懂；昨天五百次的聽懂，換來今天的一次會做題；昨天五百次的會做題，換來今天的一次熟練解題；昨天五百次的熟練解題，換來今天的一次巧解；昨天五百次的巧解，換來今天的一次融會貫通；昨天五百次的融會貫通，換來今天的一次考取名校.努力吧，天道酬勤！

筆者根據電視劇《政協主席》片尾曲《心里裝著誰》（作詞：閻肅，作曲：孟慶云，演唱：佟鐵鑫）的歌詞改編成《心里裝著什么》贈送給讀者朋友：

師心里裝著教法，生心里裝著學習，在這拼搏奮進的時刻，想一想心里裝著什么？

馬心里裝著千里，鷹心里裝著高飛，在這潮奔浪涌的時代，問一問心里裝著什么？

我們走過了千山萬水，面對大野的芳菲，心里裝著要用的知識啊，便心無旁騖地迎接每一個朝陽！

有些事，一生只能遇到一次，高三就是；有些事，一次影響一生，一個人的第一學歷、第一次婚姻、第一份工作、與他人之間的第一印象等等都是.高三師生們，拼搏奮進吧，你定會成功的！

難度估計0.52

作者簡介甘志國（1971—），湖北竹溪人，高級教師，特級教師，研究方向：解題研究、高考研究和初等數學研究.