高考數學壓軸題中展現的數學核心素養

廖思卿

摘要：近年來，“函數與導數”專題在高考中所占比重越來越多，而這一類題著重考察學生的數學核心素養。在新課標的要求下，我們應該如何用數學的思想看問題，如何用數學的方法解決問題呢，這便需注重學生數學核心素養的培養。通過近幾年的教育發展形勢，我們不難發現，在中學數學教學中，數學新課標課程目標的集中體現出的是數學核心素養。筆者從數學核心素養的角度，通過對歷年高考的典型真題進行命題意圖的解析，分解答、評析、啟示三方面進行詳細的探討，對高考復習起到一定的參考價值。

關鍵詞：數學核心素養；函數與導數；解答；評析；啟示

數學與每個人的日常息息相關，其設計到數量、空間、結構等方面的內容，是科學中的一個重要類別。現代社會科技發展迅速，隨著計算機的普及，人們獲取信息并處理數據的能力較以前有了顯著的提升。最近一段時期，“大數據”概念受到越來越多的重視，其含義為信息爆炸時代中所伴隨而來的龐大信息量。而隨著“大數據時代”的到來，因為人們需要對信息進行數據化整理，使得數學在當今時代的大環境下顯得尤為重要。

隨著數學理論的廣泛普及到各行各業，相關學術研究也邁向更深的層次。而在高中數學課程中，當代數學的核心素養也越來越重要。

通常認為，邏輯推理、數學建模、數學抽象、直觀想象、運算能力還有數據分析這6個方面構成了數學的關鍵素養所在。而這六大核心素養不僅包含了高中生應具備的數學能力、數學意識等一系列的要求，這更是高中生數學能力軟實力的一種重要體現。我將從近年來高考數學壓軸題的分析中來賞析數學核心素養。

一、數學抽象與邏輯思維

數學抽象是數學哲學的基本概念，指抽取出數學對象的本質的屬性或特征，舍棄其他非本質的屬性或特征的思維過程：邏輯思維是人運用概念、判斷、推理等思維類型反應事物本質與規律的認知過程。在數學抽象素養形成的過程中，有一個積累從抽象到具體的過程，而邏輯思維形成的過程在于學生能掌握推理過程并將其表述論證出來，高考壓軸題中，一般要求考生善于挖掘題目的內涵，發現問題的本質，往往學生解答的過程就反應了學生的數學抽象與邏輯思維這兩大核心素養。我們來看一下2014年四川卷理科第21題：

[評析]我們可以看到這道題的背景知識是二次函數與指數函數，考察了同學們的推理、運算以及創新能力。這道題閱讀量小且人手易深入難，第一小問是常規問題在給定區間內求極值，但從大部分學生的解答來看，學生們在函數值計算上的問題較為嚴重滿分率低。第二問為全卷的壓軸題全面考察了學生數形結合、歸化與轉化以及分類與整合的解題思想，通過引入雙參數來組成問題，并在函數零點的研究上設疑，而突破難點的關鍵也在于學生通過數形結合的方法與數學抽象的思想來獲取解答思路，并不斷的把問題歸化與簡化，而這樣也能通過學生的解答過程中判斷學生的思維是否嚴謹。

[啟示]（1）提升思維高度，注重函數零點問題的教學。

此題的重點以及關鍵在于函數零點，而函數零點這一新增內容可以很好的提升學生的數學抽象與邏輯思維能力。而教材上兩個零點的重要等價形式：函數y=h（X）有零點<=>函數y=h（x）的圖像與x軸的交點<=>方程h（x）有實數根。而這個等價形式也恰恰體現了數學抽象與邏輯思維這兩大數學素養，而且零點本質也是變量的臨界狀態，因此還能聯系不等式f（x）>0解集區間的端點取值。這樣我們便找到了一個基點來統一認識方程、不等式、函數。至此，在高一時認識函數的零點到高三回顧這個知識點顯得很有必要。

（2）強化數形結合的思想，把握數學核心素養。

作為一道壓軸題，這道題不僅考察學生的邏輯思維，更強調了對數學工具函數圖像的重要性，著重的突出數形結合的解題思想，如果缺少了數學結合的分析過程，學生將很難下筆解題，而要拿滿分，還需要學生具有縝密的邏輯推理能力。該題能夠更加全面綜合地對學生的數學素養進行評估。

二、數學建模與運算能力

數學建模的過程，是運用計算所獲得的結論對現實中的難題進行處理，經過論證之后，搭建相應的數學模型：運算能力的含義為：借助相關數學理論來進行運算的技能。歷年來，數學建模與運算能力在高考中作為壓軸大題來全方位的考察學生的數學素養，下面是2011年四川高考數學理科卷壓軸題：

[評析]這道題設置了三個小問，第一問是導數的基本問題，第二問是考查學生能否想到將方程兩邊化為同底的對數，去掉對數后通過圖像來解析，第三問則是針對學生能否熟練使用數學歸納法來解題而設置了難點?？傮w來看，這道題集函數、導數、不等式等知識，綜合了函數與方程、歸納與整合、數形結合、推理運算、等數學思想，著重考察了學生的數學建模能力與運算能力這兩大數學素養。

[啟示]這道題綜合了函數、數列、不等式，與本題同類的題目雖然很多，但是本題更多的考察了學生對高中數學大部分知識點的應用，包括信息整合能力、推理運算能力、運算變形能力、創新思維能力等。而能否解答本題最關鍵的鑰匙在于審題和探索解題思路。我們由此可以得出一個很重要卻也很容易被忽視的結論：必須帶著明確的目的性來解題，并且挖掘題目所給的隱藏條件，打破定式思維。所以在平常教學的偏重性上，教師應更注重學生的數學建模與運算能力的素質培養，達到“一題多解、一題多變、一題多導”的教學目的，并養成認真審題，跳脫固定解題思路的解題習慣。

三、直觀想象及數據分析

直觀想象的含義為：運用對空間的想象力以及幾何圖形的直觀表現性，對物體形態和變化進行感受，通過對圖像的解讀來處理數學難題的手段：數據分析的含義為：收集有關數據用于分析某個問題的手段。

在高考壓軸題中一般不會直接出題考核學生的這兩大素養，一般會通過概率大題與立體幾何大題來考查學生，而壓軸大題中更多的是通過函數與導數的綜合題來全方位的考察學生的數學綜合素養。此處重點分析二零一一年陜西高考理科數學考試試卷卷的壓軸題：

[評析]這道題分別考察了導數，不等式以及導數在函數中的綜合應用，要求學生從已給的信息中來對函數和導數的理論進行綜合的運用，借助函數的單調性特征，進而對問題進行理解并完成解答。在第二小問中比較函數大小，這里學生不僅可以通過用導數的方法做差來判斷，也可以通過直觀想象的方法來繪制函數圖像，通過函數圖像來判斷函數大小，第三問讓學生應用先假設，在分析后論證的方式來解答：從推理論證的方面能很好的反應出學生的直觀想象與數據分析這兩大素養。

[啟示]（1）加強閱讀理解能力，熟悉題目所給信息。

高考時間短，而壓軸題難度普遍偏高，因此加強閱讀能力，再短時間內熟悉題目的目的顯得尤為重要，學生有必要對題目所給的信息進行凝練，并對其進行“新定義”，而當理解并掌握凝練出的“新定義”后就找到了本題的得分點

（2）培養解題習慣。

為了培養學生的數學素養，近些年，大部分壓軸題都需要用到數形結合的思想以及分類討論的數學方法，而這也正是在考察學生是否具備這樣的解題習慣，而命題人也正是希望以這種方式來培養學生懂得如何自主學習，學會思考。而學生解題習慣的培養并非一朝一夕可完成，這不僅需要教師在平常的教學中為學生灌輸數學的核心素養，更要求學生能自主的日積月累的進行構建，唯有以此方式，學生才能活用數學知識，并且養成一個好的數學解題習慣，

四、總結

在《課程標準》里面，對前文所提到的數學核心素養進行了定義和解讀，通過對高考數學壓軸題的分析，能夠清晰地看出，壓軸題都是圍繞數學解題思維出發，承載相關理論基礎，從多維度上對學生的數學核心素養進行評估。數學核心素養一方面可以教育學生在數學解題習慣上持續改良，一方面也能教育學生搭建其良好的數學思維，實現學生綜合素質的提升。

因此，我們可以說數學核心素養是非常重要也是非常關鍵的。而要使學生養成數學核心素養，不僅需要教師明確其重要性，探索出教學中通往數學素養方向的途徑，更需要學生能自主歸納與總結。綜上所述，高考數學壓軸題中展現的數學核心素養有助于引導學生養成正確的數學思想與數學習慣。