基于分項可變權函數的各項異性去噪模型

王銳銳，蔡光程

(昆明理工大學 理學院，云南 昆明 650500)

0 引 言

圖像在獲取、存儲、傳輸、轉置的過程中總是不可避免地帶來乘性噪聲的污染，乘性噪聲不僅在較大程度上影響了圖像細節的真實情況，且嚴重影響了圖像的分割、分類、目標檢測以及感興趣區域的提取。因此，研究和發展含乘性噪聲的圖像復原方法具有重要的理論價值和實際意義。傳統的基于Gauss分布的線性濾波器是對圖像的高頻區域做處理，因為邊緣細節信息也在高頻區域，所以在去噪的同時模糊了圖像的邊緣區域，丟失了大量的細節信息[1]。

基于偏微分方程(PDE)去噪模型的研究成為了近年來的熱點。其基本思想是利用偏微分方程各向異性擴散理論對噪聲圖像做處理，通過求偏微分方程的解，達到對圖像去噪的目的[2-3]。

文中討論的乘性噪聲模型為：f(x,y)=u(x,y)v(x,y)，其中點(x,y)為圖像區域Ω對應的像素點，f(x,y)為觀測圖像，u(x,y)為待恢復圖像，v(x,y)為噪聲。基于該模型，利用MAP估計方法在乘性噪聲服從Gamma分布的假設下，文獻[4-6]介紹了AA(Aubert-Aujol)模型和HNW模型,分別如式1和式2所示：

(1)

(2)

上述模型都是由正則項和保真項構成，其中λ,γ為Lagrange參數，其值主要由圖像的結構和噪聲的強度決定。正則項均為各項同性全變差(total variation,TV)，全變差正則項能夠在保護圖像邊緣的同時達到有效的去噪效果，但是在處理圖像時存在三點不足：降低了圖像的邊緣銳度；在紋理區域會出現一定程度的模糊現象；在圖像的光滑區域會產生“階梯效應”。對此，文中提出一種基于四階微分全變差的圖像去噪模型，并通過實驗對其進行驗證。

1 基于分項可變權函數的各項異性去噪模型的建立

基于上述模型的不足及現象產生的原因，很多學者提出了不同的解決方案[7-14]。文獻[15]中提出了Hessian矩陣Frobenius范數的迭代重加權二階正則模型，有效地抑制了圖像在平坦區域產生的“階梯效應”。

在此基礎上，文中建立了一個動態局部正交坐標系，使其在對圖像做降噪處理時，根據圖像局部變化的不同改變對圖像的去噪進度，從而在去除圖像噪聲的同時能夠有效地保護圖像的邊緣細節及紋理。設動態局部正交坐標系(η,ξ)：

其中η為平行于圖像梯度u的單位矢量，ξ為圖像水平線集的單位切矢量[7]。在該局部坐標系中，有動態坐標系Hessian矩陣設為：所以有：

(3)

模型3由TV正則項和保真項構成，模型在去除噪聲的同時也有效抑制了“階梯效應”。g(x,y)為權函數，用來防止圖像的紋理及邊界模糊。

其中，ε(n)使得z(n-1)中的零值元素在下次迭代中為一個非零數，從而保證迭代的穩定。從傳統權函數[16-17]的選取中可以看出其都是基于梯度模值建立的，對圖像的邊緣區域、平坦區域和噪聲區域無法做出詳細的區分，在處理圖像時區域間連接處的細節紋理不能得到有效的保留。

(1)若為邊緣區域，那么|zηη|大，|zξξ|小，所以D大；

(2)若為平坦區域或坡道區域，|zηη|和|zξξ|均是小的，所以D小；

(3)對于噪聲區域，|zηη|和|zξξ|均是大的或者幾乎相等，所以D小。

(4)

式4中取B·2z的F-范數并對其平方：

所以分項加權可變權函數為：

f(η,ξ)e-z(η,ξ))dηdξ}

(5)

2 模型求解

由模型5知：

EMT患者卵泡早期孕激素水平升高，影響卵泡下個周期的發育，并干擾卵巢顆粒細胞黃體生成素受體形成，影響排卵及胚胎著床，從而引起不孕；此外研究還發現，EMT患者子宮內膜中HOXA10表達缺陷，而HOXA10對胚胎發育和子宮內膜容受性至關重要，推斷EMT患者通過影響內膜形成降低了胚胎的著床率[26]。

Fz=z(η,ξ)-f(η,ξ)-z(η,ξ)

則模型5對應的Euler方程為：

因此模型對應的梯度下降流為：

(6)

同理，其余兩項可用類似的方法離散。

對三階導數的“半點”離散得：

求得四階導函數的離散；

其余的三階、四階導數可用同樣的方法求得。

對于系數的“半點”處的值，可用相鄰的兩個整點的平均值近似：

此離散的邊界條件為：

3 實驗結果與分析

為了驗證算法對圖像去噪的有效性，選擇傳統的高斯去噪、二階的ATV去噪算法及四階ATV去噪算法進行對比，用峰值信噪比PSNR(PSNR=10×lg(2552/MSE),MSE=‖z0-z‖2)和結構相似度(SSIM)作為衡量標準。處理的圖片用到了彩色圖像Rose和灰白圖像Room。經過大量的數值模擬實驗，模型參數取：μ=1/4、a=0.4、b=0.7，迭代步長Δt=1.12，迭代次數n=100，當圖像迭代精度ε=10-4時，處理效果最佳。

圖1和圖2分別是Rose圖像和Room圖像的去噪結果。

圖1 四種去噪結果(Rose圖像)

圖2 四種去噪結果(Room圖像)

表1和表2分別是兩幅圖像的算法對比結果。

表1 算法比較結果(Rose圖像)

表2 算法比較結果(Room圖像)

由圖像及峰值信噪比、結構相似度的對比可知，傳統的高斯去噪模型在去除噪聲的同時，模糊了整幅圖像，使得圖像在處理后難以分辨其特征。而二階的ATV模型在去噪時，圖像的邊緣信息保護較好，但恢復圖像存在“階梯效應”。而四階ATV模型在邊緣的細節保留和對“階梯效應”的抑制都有不錯的效果，但丟失了圖像不同區域的過渡信息。文中模型在去除噪聲時不僅有效保留了圖像的邊緣及不同區域之間的紋理信息，而且更好地抑制了“階梯效應”的產生，從而證明了該模型的有效性。

4 結束語

文中利用一個邊緣指標有效地區分了邊緣區域和平滑區域，基于這個新的邊緣指標設計了一個可變的權函數矩陣，提出了一種各項異性的可變權函數的去噪模型，并用梯度下降法進行求解。實驗結果及數據表明，該模型能夠衰減噪聲后的“階梯效應”，同時較好地保留了圖像的細節信息及不同區域間的過渡信息。由于對不同區域做出了區分，有效地提高了模型的迭代速度。

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