“數學實驗”，豐富“綜合與實踐”活動的一種好方式
——以《擲一擲》教學為例

蔣敏杰

（常州市教育科學研究院，江蘇 常州 213003）

小學數學教材“綜合與實踐”是以問題為載體，學生綜合應用所學數學知識，用“數學的”思維思考與實踐，在“做”與“思”中解決問題，開展實踐性、探究性學習的數學學習活動?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》指出，“綜合與實踐”的教學，重在實踐，重在綜合……要重視學生積極動腦、動手、動口，要注重數學與生活實際、數學與其他學科、數學內部知識的聯系和綜合應用。[1]理解教材“綜合與實踐”的編排體例，合理選擇內容與方法，將有助于教師按一定的規律指導，豐富學生的數學活動經驗。教材中“綜合與實踐”的內容編排，從素材及教學層面分析，一般有動手操作型、場景觀察型、游戲活動型、調查訪問型、課題研究型五大類。[2]無論哪種類型，活動實施中都注重“做數學”，特別關注學生對問題的選擇、設計與展開過程，學生個體或小組的全員參與，結果的展示與評價等。從“做”與“思”的角度看，指導小學生開展“數學實驗”，是豐富“綜合與實踐”活動的一種好方式。

小學生數學實驗不是教師借助教具演示給學生看，而是創造實驗條件，讓學生借助實物和工具，通過對實驗素材進行“數學化”的操作來驗證數學結論、建構數學概念、探索數學規律、解決數學問題的一種數學學習方式。[3]其核心在于“做數學”，與中學、大學的實驗教學相比，重視過程的探索性、操作的可重復性等方面是相同的，但結合小學生的年齡特征、認知規律與研究內容，又有其獨特之處?！熬C合與實踐”活動中數學實驗的開展，將豐富學生探索規律，驗證結論，解決問題的方式，提升學生的思維品質，感悟并形成初步的數學研究方法。

《擲一擲》是“綜合與實踐”教學中一節“有意思”且“有意義”的課，多次嘗試后，引發了筆者對于數學實驗在“綜合與實踐”教學中的思考。其中，如何組織小學生開展“數學實驗”，怎樣優化設計“實驗”活動，處理好動手與動腦的協作，實驗教學中應注意的問題等方面有了進一步的思考。

一、教材解讀，找到數學實驗教學的立意與路徑

《擲一擲》是人教版小學數學五年級上冊《可能性》單元中，學生對“概率”（可能性大?。┚邆涑醪秸J識后編排的綜合實踐活動。教材編排中，呈現了四幅連續性的游戲場景圖，意圖在于，依托“研究兩個骰子之和的奧秘”這個活動，綜合運用所學“概率”知識，自主探討事件（二枚骰子點數和）發生的可能性大小，經歷“試驗分析—提出猜想—數學驗證”的過程。在親歷“實驗”中，豐富學生對“概率問題”的直觀體驗，獲得一些數學活動的經驗，提升數據分析觀念。

常規教學思路下，內容組織以游戲化的實踐操作為主，分別由教師帶領學生按步驟“操作”（參見表1），隨后在教師啟發下列舉并畫出統計表格（直方圖），再觀察發現各點數和出現的可能性不同，教師借助簡單推理，使學生明確點數和為7時可能性最大等。游戲操作加上一些情境輔助，精致且到位的指導，確實使課堂熱鬧、順暢，但每每卻感到又少了些“不精致”，體現在“我是如何思考并驗證得出結論的”“數據為我們提供了怎樣的支撐”“以后遇到這樣的問題我要如何做”等幾個思維節點。如此，“做”了未必就“會”了，“會”了未必就“懂”了，如何從簡單的操作（動作）思維，逐步提升為表象思維，至邏輯（抽象）思維，需要在學習中加入“研究”的調料，豐富學生對于數學（現象）問題的理解，經歷一般意義的數學研究過程，提升方法認知。

表1 《擲一擲》實驗探究活動序列表

“擲一擲”是借助擲骰子并求出點數和，引發學生觀察與思考的。這個研究過程與一般操作實踐又有所不同，主要表現在研究操作的可重復性，可從多次操作中發現規律；具有明確的目的性，聚焦“哪些點數和出現的可能性大”，指向清晰；需要合理的操作設計，學生參與研究設計，體驗研究方式與過程；需要規范的操作，并嘗試用數、圖與表記錄數據；需要借助相關數據，呈現與分析解決問題，進行數學化的分析。因此，本活動可以看作是數學研究領域的一次規律探索，且帶有數學實驗教學研究的特征。

本節課教學，嘗試以實驗探究為主線，激發興趣，激活思維，組織學生開展三次目標遞進的數學實驗，引領學生不斷深入對于“點數和可能性大小”的分析，以“實驗+演繹推理”的方式，豐富數學活動經驗，提升學生對活動“過程”及“結果”的反思認知，提高數據分析觀念，形成初步的數學研究意識與方法。

二、活動設計，體現數學實驗教學的方式與過程

在數學分析中發現規律，經歷研究的過程，是豐富學生數學認知、積累數學的思考直到學會思維的重要方面。因此，作為載體的“規律”，需要賦予其更多“活動”內涵?！耙幝伞笔且活惉F象的本質特征，具有高度的抽象性和概括性，代表著眾多同類現象的共同特性?！稊S一擲》中的“規律”，體現在對于“點數和可能性大小情況”的分析，使學生體驗隨機數據，提升數據分析觀念。其主要有兩層含義：一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能是不同的；另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。[4]在不確定現象中尋找規律，對小學生來說是一種全新的觀念，一般意義上，操作、計算是基本途徑，因此，本節課的系列操作活動需要讓學生產生隨機現象的豐富體驗，并逐步抽象與歸納。

數學實驗能較好地達成上述意圖，學生開展目的明確的實驗操作，圍繞數據進行操作、記錄、分析與推理，經歷“觀察現象（識別對象）→提出猜想（初步發現規律，很大情況下是不完整的）→設計實驗（提供實驗工具，圍繞目標設計實驗）→驗證猜想（實驗并驗證初步發現規律的正確性）→完善猜想（多次實驗，借助變式完善規律）→得出結論（表達規律）→應用結論（應用規律）”等幾個步驟，從而對實驗中獲得的數據進行數學化分析，并以此啟發并幫助自己認識。

活動一：嘗試與思考，發現問題

1.擲一枚骰子

談話：你能用“一定”“不可能”“可能”來描述擲一枚骰子得到的結果嗎？

活動要求：（1）先說再做，看看與自己所說的結果是否一致。（2）思考擲一枚骰子每種點數出現的可能性一樣嗎？為什么？

操作活動與表達，啟發學生基于數據，表達相關內容。

2.思考擲兩枚骰子

指導認識：擲兩枚骰子，正面朝上的點數之和，就是兩枚骰子的點數和。

試一試：說一說點數和是多少，想一想點數和有什么特點與情況，也能用“一定”“不可能”“可能”來描述嗎？

學生活動，教師巡視，幫助學生體驗到點數和在2—12之間，且點數和出現的可能性是有大小的。

3.發現問題

提問：通過操作實驗，你有什么發現？

聚焦問題：擲兩枚骰子時，點數和在2—12之間，這些點數和出現的可能性大小一樣嗎？

設計意圖：活動經驗來源于學生日常，啟發學生用數的語言表述問題是學生初次研究的基礎，在實驗操作中，需要將問題與思考前置，幫助學生基于經驗的簡單推理，經歷分析猜測的過程，更好地理解從實驗分析數據中發現問題。

活動二：設計與實施實驗

引導認識：通過一組數據是否就能說明規律？如果要驗證這個猜想，我們需要通過多次可重復的實驗，得出相關數據后才能說明。

指導：如何開展多次重復實驗呢？指導學生經歷“制訂計劃，實驗操作，收集數據，分析數據，表述結論”。

學生活動，教師參與到研討中。

幫助學生明確：需要獲取較大的數據量，避免偶發因素；說明問題要用數據說話，不隨意人為修改數據。

明確要求：（1）兩人分工實驗操作，每人擲一次，計算出骰子點數和。

（2）共擲20次，記錄并觀察表格中的數據。

（3）6人小組內再次匯總數據，結合數據，說一說自己的發現，并記錄。

明確：點數和2—12之間出現的可能性大小不一，參見圖1。（注意隨機現象發生，即可能會出現點數和7較少，而6或5較多的情況，這是正常的，不能一味追求理論上的結果。）

圖1 點數和出現次數情況統計圖

設計意圖：此活動的設計，從數學實驗的視角入手，注重低結構、可視化及對數據的分析，不具體展開定性分析，而是通過數據呈現進行定量研究。在實驗設計中，教師通過問題前置，以大問題思考，即需要解決的問題（猜想）為依據，啟發學生間對話與思考，讀懂不同現象，聚焦本質。當然在這個研究中，會出現一些極端數據情況，這也是有效的教學資源，提升學生的數據分析意識，即體現數據分析的隨機性，一是對于同樣的事情每次收集的數據可能不同，二是只要有足夠的數據就可能從中發現規律。

活動三：分析組成，揭示本質

啟發：剛才我們將各組各點數和擲出次數進行匯總，并用可隨輸入數據即時變化的條形統計圖同步呈現，同學們感受到實驗次數是一個重要的變量。

操作觀察：出示科學家萬次投擲實驗統計圖，與學生們的實驗結果統計圖對比一下，你能找到共同點嗎？

學生明確：5，6，7，8，9點數和被擲出的可能性大，2，3，4，10，11，12被擲出的可能性小。

深化思考：萬次實驗中，我們發現的規律。數學研究，做實驗是一種方式，通過數據情況，進行推理分析也是重要的方式。同學們，思考一下，點數和出現的可能性與什么有關。也可以再次去實驗觀察，想想每種點數和的組成情況。

學生觀察與分析——點數相同，顏色（不同位置）不同算作另一種，這里需要幫助學生抽象。

學生發現：點數和為5，6，7，8，9的共有24種組成方式，而點數和為2，3，4，10，11，12的組成僅有12種。

指導：請同學們再次對比組成情況統計圖與萬次投擲實驗統計圖，你有什么想說的嗎？

揭示本質：各點數和被擲出次數主要受點數和的組成情況影響，組成情況多，則被擲出的可能性大，組成情況少，則被擲出的可能性小。

比較認識：點數、點數和既有關聯，又有區別。

設計意圖：此活動是本節課的第三個實驗環節，包括三個層次。一是觀察萬次投擲實驗統計圖并進行對比，從大數據上直觀感受；二是引發學生思考，點數和出現的可能性大小的原因，開展實驗操作；三是簡單的演繹推理，學生初步理解點數和出現可能性有大有小的原因。這個實驗操作環節，實驗只是輔助，是通過帶有問題的操作來發現點數和的組成情況，是為啟發驗證服務的。

活動四：反思與應用

談話啟發：今天的實踐研究，你都經歷了怎樣的過程，你是如何來發現規律的，遇到了怎樣的困難，又是如何來解決的呢？

展示過程：教師用PPT呈現的方式，幫助學生回顧本節課的研究過程。

提出問題：這些現象與規律，不只是在數學學習中，在生活中更是應用廣泛。提出商場骰子抽獎活動。采用模擬場景的方式，引導學生參加。

規則：轉盤1—6，6個數字，轉兩次轉盤，兩次數求和，和是5，6，7，8，9出現的次數多，則不獲獎，如果出現2，3，4，10，11，12較多，則獲100元。

（1）如果你是觀眾，你認為這樣的抽獎獲率高嗎？

（2）如果你是組織方，想進一步提高中獎難度，應該怎樣辦？

（3）如果你是消費者，要降低中獎難度，應該怎樣辦？

設計意圖：回歸生活，應用學習與問題解決，讓數學活動經驗進一步深化。在本環節中，注重了對于學習活動本身的理解，不是簡單地反饋學習內容，而是通過反思與回顧，內化對于這一類現象（問題）的研究過程，使學生學會用實驗操作的方式去發現與研究。

三、教學反思，探尋數學實驗教學的“數學化”實施

1.數學實驗的目標要突破“知識本位”

“綜合與實踐”活動有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授[5]，而是更注重運用已有的數學知識、方法、活動經驗及思維方式等解決實際問題或探索數學規律。從這個意義上說,“綜合與實踐”中開展“數學實驗”的教學目標，如果只定位于結論的獲得無疑是有偏差的。比如本課中，學生是否充分經歷了探尋規律的過程？是否能基于現象進行數學猜想，自主設計相應數學實驗并進行多次重復驗證？是否能通過實驗數據、圖形表征等多種模型和方法探索問題和描述結果？是否能體會到數學研究的價值？只是單純求得“點數和是5，6，7，8，9時，出現的可能大”的結論,顯然有悖于“綜合與實踐”的內涵與目標。

因此，數學實驗教學中不將結論的獲得作為教學的最終目的，而是將通過實驗設計與實施，體驗隨機數據、探尋變化中的“不變”規律做較多的鋪陳,逐層深入。學生在解決問題時沒有完善的步驟和方法,教師有意讓學生自主參與設計、實驗與分析，輔以相關的數據支撐（萬次實驗），幫助學生在實驗數據的“式與形”比照中，提升認識。這樣，簡單的“擲骰子”這一學習材料的學科價值才能得到充分的挖掘與拓展。

上述思考,數學實驗教學突出了“做”與“思”的目標定位，有助于實現“綜合與應用”重在實踐、重在綜合的課程追求。

2.數學實驗的設計要具有“思維內涵”

小學數學實驗教學中，實驗工具開發與實驗設計是關鍵，尤其在“綜合與實踐”活動中，讓數學實驗貫穿整個活動，需要對內容進行適度優化與改造，進一步提升實驗對于探尋規律、解決問題的績效價值，實驗過程須體現思維內涵。

縱觀各版本教材“綜合與實踐”的內容編排，人教版更強調主題情境，以“數學廣角”為例，通過主題圖場景設置，以游戲、實驗、問題探究活動等，引導學生分析操作；蘇教版更強調主題化的數學問題（情境）分析，“動手做”“探索規律”“綜合實踐活動”等內容，注重指導學生經歷提出、發現、應用規律的過程；北師大版更注重問題的現實意義與結構，以主題研究的方式，將“研究活動”滲透在相關的數學知識學習之中。無論教材如何對“綜合與實踐”活動進行編排，都有一個共性的視角，即讓兒童在經歷研究中看到自己的思維，體現“思維內涵”，而這也恰是數學實驗所要達成的目標。分析“擲一擲”的實驗設計流程或許可以嘗試找到“綜合與實踐”活動中數學實驗設計的基本原則。

首先，實驗內容是學生感興趣的內容?！皵S骰子”是學生比較熟悉的生活經驗，它有怎樣的數學奧秘呢，從實際教學看，學生對此研究興趣十足。

其次，實驗設計具有開放性與自主性。初步的實驗感知是基于經驗，而深入探究“點數和在2—12之間，這些點數和出現的可能性大小一樣嗎？”“點數和出現的可能性與什么有關？”需要學生借助經驗，從數學分析的角度思考實驗設計，使學生經歷復雜思維，學會“數學地思考”分析與研究，突破“知識本位”。

最后，實驗活動要有反思。反思的立足點不只是具體規律，而是獲得結論經歷的過程，采用的方法，遇到的困難及應對的策略等，感悟數學基本思想方法，積淀相關的活動經驗。

3.數學實驗的實施要進行“數學化”的組織

數學實驗是通過一定的方法，借助一定的設備,運用一定的手段，在數學思維活動的參與下和典型的實驗環境中進行的一種數學建構過程和數學探索活動。[6]“綜合與實踐”活動中，數學實驗的開展特別需要注重體現“數學化”的組織，以期幫助學生經歷數學研究的過程，提升對數學內容實質的理解。鮮明的教學目標把握，合理的實驗設計，規范的實驗操作及數學化的分析，是數學實驗“數學化”體現的主要特征。以“擲一擲”教學為例，教師抓住“點數和可能是多少”的問題情境，引發學生對點數和出現可能性存在的不同情況進行思考，借助骰子等實驗材料，設計相關數學實驗步驟對先期猜想進行驗證，通過數據分析與圖、表對照，探尋規律，實驗活動的定向指導與實施、分析始終圍繞數學現象，使學生得以經歷并感悟完整的數學研究過程與方法（如圖2）。

圖2 數學研究過程與方法

從圖中可以看出，在“綜合與實踐”中開展“數學實驗”，更側重設計與操作及數據分析，學生在經歷動手實踐、手腦并用的過程中，自己的發現逐步從模糊走向清晰，在實驗操作中有思考、有發現，形成一種數學化的認知提升。

4.數學實驗的開展要盡可能提升學生參與度

班級授課制背景下，面向全體，提升思維品質，學會學習，關注學習活動的參與非常重要。尤其在“綜合與實踐”活動中，讓每一個學生都有學習活動的參與機會，是個性化學習活動經驗積累與后續交流分享的前提條件。數學實驗教學中，學生課堂參與的方式是多樣的，口頭語言表達，自主設計實驗方案，用畫圖、列表等方式呈現實驗結果等都是思維外顯、積極參與課堂學習的形式。

第一，倡導活動參與均衡，學習、實驗機會均等，過程體驗均等。數學實驗中每一位學生都要經歷實驗操作、記錄與表達的過程，都力爭獲得積極的情感，積累數學研究的經驗。

第二，教師適時的介入與指導，為學生實驗活動提供鮮活的、個性化的原始素材，幫助學生學會多元化表達，序列化培養學生用數學的方式記錄自己思維過程的能力，讓學生的思維“看得見”。

第三，注重互動參與的設計，讓學生在真實的學習情境中不斷增強數學研究的經驗，知道數學的表達與分析，可以是思維的結果交流，更需要思維過程的對話與分享。

“數學實驗”是豐富學生“綜合與實踐”活動開展的一種好方式，立足兒童數學思維品質的培育，真正從“為學習者設計”的視角實施教學，將不斷促進學生的思維從具象水平向抽象水平提升，深入思維深處，幫助學生把握數學實質，形成數學研究的意識與能力。

參考文獻：

[1][4][5]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]沈科.小學數學“綜合與實踐”課型分類及教學策略[J].教學與管理，2013（29）：45-47.

[3]郭慶松.小學數學實驗的內涵、價值與實施[J].小學數學教育，2016（Z4）：6-9.

[6]潘小福，陳美華.數學實驗教學的實施策略[J].教育研究與評論，2015（8）：5-11.