相關系數判決的EMD在振動數據趨勢項提取中的應用?

張慧娟 李 冬

（中國人民解放軍92124部隊 大連 116023）

1 引言

工程測量中，由于受到各種環境因素的影響，測試信號常伴隨趨勢項，這嚴重影響時域分析和頻域分析某些參數的估計精度。趨勢項會產生低頻峰值，淹沒高頻分量信息，降低頻譜結果的可讀性，嚴重時使譜分析喪失原有的物理意義。如何將數據中包含的趨勢項提取的同時保證數據的可靠性和真實性，是振動數據處理的重要的研究方向之一。

試驗振動數據中常見的趨勢項類型可以主要概括為三種，即線性趨勢項、指數型趨勢項和多項式趨勢項。其中對于線性趨勢項提取處理最為簡單，但大多數振動數據含有的趨勢項較為復雜，線性方法往往難以滿足需要。文獻［1～4］中的方法，對指數性趨勢項的提取較為準確，但由于其對低頻分量較為敏感，處理時會將部分真實信號當作趨勢項，造成真實信號的損失；對多項式趨勢項的提取，取決于多項式的階數，如果對多項式階數估計不準確，會造成較大誤差。經驗模態分解［5～6］（Empirical Mode Decomposition，EMD）是針對非平穩信號的一種有效的分解方法，在結構識別、外彈道降噪等領域得到了廣泛應用［7～8］。為了得到高精度的振動數據處理結果，文中設計的方法利用經驗模態分解結合對信號相關性的分析判決，提出一種適用于振動數據趨勢項處理的新方法，既發揮了EMD對與被提取趨勢項類型具有普適性的優點，同時考慮被提取信號的特征，保證了信號不被污染。

2 EMD基本原理和實現過程

經驗模態分解（EMD）分解是將目標信號分解為若干按頻率高低排列的固有模態函數（Intrinsic Mode Function，IMF）。把隨機序列分解為若干固有模態函數IMF的線性組合稱為IMFs，對于每個單分量信號IMF必須保證滿足兩個條件：1）就整個時間序列來說，極值的個數和過零點的個數必須相等或只相差1；2）在任何一點，最大值和最小值形成的上下包絡線的均值為零。EMD與小波分析［9～10］相比具有無需驗前選定基函數等先驗信息的優點。EMD算法的基本流程為

圖1 EMD算法流程

設X(t)是信號的時間序列，EMD方法對信號的分解模型可概括為：通過計算，得到測試信號X(t)的所有局部極值；用三次樣條函數擬合方法［11］求解測試信號中所有的極大值點構成的上包絡線與所有極小值點構成的下包絡線，分別記作emax(t)和emin(t)；上、下包絡的均值為原信號的平均包絡線：m(t)=[emin(t)+emax(t)]，原信號減去均值X(t)-m(t)=h(1)(t)得到新的信號h(1)(t)；判斷新信號是否滿足IMF的兩條性質。若滿足，則h(1)(t)為IMF。否則，將h(1)(t)作為X(t)，重復以上過程，假定經過k次分解后得到的h(k)(t)滿足IMF性質，則X(t)的第一階IMF分量就是c1(t)=h(k)(t)；接下來記X1(t)=X(t)-c1(t)為原始信號，依次重復前述過程，得到第二個IMF分量，記作c2(t)，余項為X2(t)=X1(t)-c2(t)。重復上述步驟，直到的余項Xm(t)是一個單調信號或Xm(t)的值無法分解為止；分解完成后，可得到m個IMFs，c1(t)，c2(t)，…，cm(t)，最終的殘余項記為Xm(t)。由于實際數據中常含有不可消除的系統誤差，采用無偏估計時應注意到，對于IMFs上、下包絡線均值為零的要求，顯然太過嚴格，結合振動數據處理特性，在實際處理時，可適當放寬，只要滿足包絡線均值小于某個閾值ε，即可認為h(k)(t)滿足IMF性質。其中ε的值，根據實際工程背景，取為ε∈[0.2,0.3]。

3 相關系數判決的EMD趨勢項提取方法

相關系數又稱皮氏積矩相關系數，是說明兩個變量之間相關關系密切程度的統計分析指標。振動信號中包含非常豐富信息，其中真實信號與原始信號具有強相關性。大量的工程實踐統計結果證明，通常在作EMD分解時，IMF分量與原信號之間的相關系數 ||ζ＜0.1，認為IMF分量與真實信號基本不再具有相關性，分解得到的余項或者最低1-2階即是信號中的趨勢項，下面以仿真信號s(t)=sin(2p×20t)+sin(2p×40t)為處理對象，說明利用相關系數判決的EMD趨勢項提取過程。

3.1 線性趨勢項

將線性信號作為趨勢項，疊加到處理對象中，構造新的待分解信號［12］，得到的新信號為s(t)=sin(2p×20t)+sin(2p×40t)+x。

圖2 含有線性趨勢項的待分解信號

將混疊有線性趨勢項的信號作為新的處理對象，使用EMD方法進行分解，原信號被分解為3個固有模態函數分量及余項，如圖3所示。

圖3 EMD法分解帶有線性趨勢項的信號

對EMD分解后得到的每個IMF分量分別求解其相關系數矩陣，結果為

相關系數矩陣對角線上的數，即為各個IMF分量與原信號之間的相關系數，得到的結果分別是：ζi1=0.691，ζi2=0.693，ζi3=-0.026；現認為當相關系數 ||ζ≥0.1時，該IMF分量與原信號具有相關性。據此可得固有模態函數IMF1和IMF2與原信號具有較強的相關性，而IMF3與原信號之間幾乎不具有相關性。因此，可認為IMF3與余項疊加后得到的信號分量就是趨勢項。

將使用EMD法提取出的趨勢項與仿真信號中加入的趨勢項進行比較，其中用實線表示前者，而用虛線表示后者。比較的結果如圖4所示。

圖4 比較提取結果與加入的線性擾動

使用EMD法提取出的趨勢項與仿真信號中加入的線性信號作差，得到的殘差如圖5所示。

圖5 提取趨勢項與真實趨勢項殘差

3.2 指數型趨勢項

仿真得到指數型趨勢項，將該趨勢項疊加到仿真信號中，新的信號作為待分解信號，如圖6所示。

圖6 含有指數型趨勢項的待分解信號

使用EMD法對新的信號進行分解，分解后得到四個由高頻至低頻排列的IMF分量及余項，如圖7所示。

分別對原信號分解得到的各個IMF分量求解其相關系數矩陣，如下：

圖7 分解指數型趨勢項

由相關系數矩陣可知，各IMF分量與原信號之間 的 相 關 系 數 為 ：ζi1=0.690，ζi2=0.691，ζi3=-0.034，ζi4=0.083；根據相關系數判定趨勢項的方法可知，固有模態函數分量IMF1與IMF2與原信號的相關性較強，認為是信號中的有用信息，而后兩項與原信號之間相關性較弱，所以后兩項與余項疊加后即認為是仿真信號中帶有的趨勢項，分離出的趨勢項如圖8所示。

圖8 比較提取結果與加入的指數型擾動

使用EMD法提取出的趨勢項與仿真信號中加入的指數型趨勢項作差，得到的殘差如圖9所示。

圖9 提取結果與真實值殘差

4 新方法提取實測數據趨勢項算例分析

利用某試驗中獲取的一段加速度數據，對文中提出的方法加以驗證，原信號的時間序列如圖10所示。

圖10 某試驗加速度數據片段

該信號帶有未知的趨勢項。首先，將對該加速度信號進行EMD分解，分解的結果如圖11所示，該信號被分解為5個IMF分量和余項。現設定IMF分量與信號的相關系數閾值為0.1，認為當閾值小于0.1時，該分量與信號不具有相關性，應將其作為趨勢項處理。所得到的5個IMF分量與信號的相關系數見表1。

表1 IMF分量與信號的相關系數表

由表1可知固有模態函數IMF5與待分解信號幾乎不相關，因此，將IMF5以及余項疊加后，即得到趨勢項。通過EMD分解，對加速度原始數據各IMF分量進行提取，本例經過5次分解成功提取出滿足限定條件的頻帶及趨勢項，如圖12所示。實例表明，EMD分解是目前提取數據序列趨勢項的十分有效的方法。

圖12 趨勢項提取結果

圖13 去除趨勢項后的真實信號

EMD方法在無需預設趨勢項類型的前提下，通過自然分解的方式，從實測信號中提取出趨勢項，再將剩余的部分疊加即可得到原始信號，該加速度的原始信號如圖13所示，EMD方法得到的趨勢項真實反映了原始測量信號的實際變化趨勢。

5 結語

文中對振動數據中存在趨勢項的可能性及原因進行了分析，并對利用經驗模態分解提取振動數據中趨勢項的方法進行了研究，仿真和實測數據計算結果證明，屬于真實信號部分的IMF分量與真實信號之間具有較大相關性，而屬于趨勢項的IMF分量與真實信號相關性較小。因此，可設定閾值，當相關系數大于閾值時判定為真實信號分量，反之則為趨勢項部分。最后將判定為趨勢項的IMF分量相加得到最終趨勢項。該方法能夠有效地對信號中的趨勢項進行提取，并盡可能保留原信號中的有用信息不受損失，保證了信號的完整性。根據算例中的信號特性，該方法可應用于外彈道測量數據的趨勢項提取和遙測測量中的振動信號處理工作。

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