基于軸心軌跡形態的轉子裂紋故障分析

向 玲， 張 悅

(華北電力大學 機械工程系，河北保定 071003)

在轉子系統中，裂紋是一種比較典型的故障。由于運轉疲勞或初始加工中存在缺陷，導致轉子在運行過程中產生裂紋，轉軸剛度降低，穩定性下降，橫向振動加劇，對轉子的正常運轉產生較大影響，甚至會發生嚴重事故。因此，檢測裂紋對保證生產具有極其重要的意義。裂紋動力學特性分析是故障研究的理論基礎[1]。

近年來，國內外學者對基于裂紋故障的轉子進行了一系列研究。宋光雄等[2]歸納了發生裂紋的主要原因，總結了其故障特征和變化趨勢，并提出了裂紋故障的診斷依據。Guo等[3]對呼吸裂紋轉子的動力學特性進行了分析，驗證了基于EMD裂紋檢測方法的可靠性。于濤等[4]在考慮剪力因素的影響下建立了裂紋轉子的有限元模型，分析得到了雙裂紋轉子在不同轉速區和不同裂紋位置的系統響應。唐玉生[5]根據有限元方法建立了基礎-軸承-轉子系統的有限元模型，對簡單轉子系統的裂紋和裂紋-碰摩耦合故障特征進行了分析。鄒劍等[6]基于傳遞矩陣和局部柔度理論，建立了單一開裂紋轉子的有限元模型，分析了裂紋大小和位置對系統響應的影響。Ferjaoui等[7]在考慮軸承油膜力的基礎上建立了柔性裂紋轉子-軸承系統模型，研究了臨界轉速附近裂紋深度對系統響應的影響，并利用分岔圖和龐加萊截面圖分析了裂紋對臨界轉速的影響。向玲等[8]在考慮裂紋軸時變剛度、碰摩力以及油膜力的情況下建立了裂紋-碰摩雙故障模型，多角度分析了轉子的非線性動力學特性。陳鐵鋒[9]分析了單裂紋和雙裂紋轉子在油膜支承下的動力學特性。Al-shudeifat等[10]將有限元方法運用到裂紋剛度矩陣中，構造了新的裂紋開閉函數，并對亞臨界和臨界的系統響應進行了分析。劉政等[11]基于中性軸法確定了裂紋的開閉狀態，并分析了在過臨界轉速下以及加速瞬態過程中轉子的系統響應和穩定性。朱厚軍等[12]基于Jeffcott轉子系統，選取合理的裂紋開閉模型，對其次臨界和超臨界轉速區的動力學響應進行了分析。

從頻譜和動力學特征角度對轉子裂紋故障進行分析的研究較多，基于軸心軌跡分析裂紋故障的文獻較少。筆者基于裂紋轉子動力學模型，在考慮裂紋轉子時變剛度的情況下對轉子系統1/3和1/2臨界轉速附近的軸心軌跡變化進行了分析。

1 含裂紋故障的Jeffcott轉子系統

具有水平剛性支承的Jeffcott裂紋轉子模型如圖1所示。轉軸兩端均為剛性支承，圓盤位于轉軸中心處，一橫向弓形裂紋位于圓盤根部。

圖1 含橫向裂紋的Jeffcott轉子示意圖

Fig.1 Schematic diagram of a Jeffcott rotor system with transverse crack

1.1 裂紋轉子開閉模型

圖2為裂紋的截面圖，其中xoy為轉子系統中的固定坐標系，ξo′η為轉動坐標系，o′為轉軸中心，o′ξ軸與裂紋擴展方向相同，在轉子運動過程中不考慮扭轉振動，僅考慮彎曲振動。筆者采用的轉子模型重力遠大于不平衡力，故裂紋模型為開閉裂紋，其中裂紋張開與閉合程度隨重力和不平衡力的合力變化而改變。圖2中α表示裂紋角的一半，θ和φ分別表示為：

θ=ωt+φ0

(1)

φ=θ+β-Ψ

(2)

式中：θ為自轉角；ω為轉軸的自轉角速度；t為轉動時間；φ0為轉軸初始相位角；β為偏心與裂紋方向之間的夾角；Ψ為轉軸的渦動角；φ為轉軸的轉渦差角。

裂紋開閉模型為非線性，此模型建立在Gasch的開閉模型基礎上，并將非線性渦動因素考慮在內[13-14]：

(3)

式中：f(φ)為裂紋的開閉函數。

圖2 裂紋截面示意圖

1.2 裂紋轉子剛度模型

轉軸的兩端為對稱支承，x向與y向的支承剛度相同，不考慮耦合剛度。裂紋會改變轉子的剛度，在轉軸轉動的過程中裂紋橫截面受到的應力大小及方向時刻發生變化，變化后的剛度矩陣為K。綜合考慮裂紋的大小和方向，忽略o′η軸方向的剛度變化，即

ΔK=ΔKξ

(4)

式中：ΔKξ為o′ξ軸方向的剛度矩陣變化量；ΔK為剛度矩陣的變化量。

考慮轉軸的裂紋類型為呼吸裂紋，其變化后的剛度矩陣可表示為：

(5)

式中：k為無裂紋的轉子剛度；Δk為有裂紋的轉子剛度變化量[15]。

將轉動坐標系ξo′η轉化為固定坐標系xoy：

kxx=k-f(φ)Δkcos2(φ+Ψ)

(6)

kxy=kyx=-f(φ)Δkcos(φ+Ψ)sin(φ+Ψ)

(7)

kyy=k-f(φ)Δksin2(φ+Ψ)

(8)

2 裂紋轉子系統運動微分方程

2.1 裂紋轉子系統運動微分方程的建立

假設轉軸中央圓盤處的徑向位移分別為x和y，不考慮陀螺力矩和扭轉振動，僅考慮轉軸的彎曲振動，忽略裂紋對轉子系統阻尼和質量的影響。根據Lagrange方程將兩端支承連線的中心視為零勢能點，則裂紋轉子系統的運動微分方程為：

(9)

式中：m為圓盤質量；c為圓盤阻尼系數；e為圓盤偏心量。

2.2 裂紋轉子系統運動微分方程的求解

(10)

(11)

(12)

3 數值仿真與分析

3.1 參數設定

采用4階龍格-庫塔法對無量綱化后的非線性方程組進行分析求解，系統的參數如表1所示。為消除瞬態響應的影響，選用100個周期后的計算結果進行仿真，得到裂紋轉子的分岔圖、軸心軌跡圖、龐加萊截面圖、時域波形圖和頻譜圖。

表1 系統參數

3.2 轉速對系統響應的影響

以轉速比為分岔參數，系統響應的分岔圖如圖3所示。裂紋轉子剛度的變化比K1=0.1，無量綱偏心量U=0.29，轉子的阻尼比ξ=0.05，其他相關參數如表1所示。考慮系統瞬態響應的影響，仿真過程從第100個周期開始，計算區間為150個周期。在轉速比小于1.5時，系統未發生分岔，一直處于單周期運動狀態。在次臨界轉速區,轉子系統出現次諧波共振現象。由圖3可以看出，當轉速比為1/n(n=1,2,3…)時，系統出現共振現象，即曲線在相應點處出現多個峰值。

圖3 系統分岔圖

3.3 1/3臨界轉速附近的系統響應分析

在轉子系統中，裂紋會影響轉子剛度，進而影響系統響應。通過對比有無裂紋轉子的軸心軌跡形態變化，可得出裂紋對系統響應的影響，進而通過軸心軌跡的形態特征判斷是否發生裂紋故障。設定參數為β=0，U=0.29。圖4為無裂紋轉子系統在1/3臨界轉速附近的軸心軌跡圖，即K1=0。當剛度變化比K1=0.1時，裂紋轉子系統在1/3臨界轉速附近的軸心軌跡圖和龐加萊截面圖如圖5所示。

(a)ω=0.29ωn(b)ω=0.31ωn(c)ω=0.33ωn(d)ω=0.35ωn

圖4 1/3臨界轉速區無裂紋轉子的軸心軌跡

Fig.4 Axis orbits of the uncracked rotor around 1/3 subcritical speed

在1/3臨界轉速附近，系統響應有規律地變化，轉子的軸心軌跡形態也隨轉速的變化而改變。由圖4可知，在1/3臨界轉速附近，轉子的軸心軌跡始終為規則圓環狀，但在不同轉速下，圓環的大小不同。由圖5可知，在1/3臨界轉速附近，剛度變化比K1=0.1的裂紋轉子系統軸心軌跡存在2個向內凹陷的圓環，內環的形狀和偏置方向均隨轉速的變化而改變，且在轉速的變化區間內偏置方向的變化角度約為π/2。對比分析圖4和圖5中軸心軌跡形態可知，與利用頻譜分析的傳統方法相比，通過分析系統1/3臨界轉速附近的軸心軌跡形態變化來判斷是否存在裂紋故障更加簡便、清晰。

(a)ω=0.29ωn(b)ω=0.31ωn(c)ω=0.33ωn(d)ω=0.35ωn

圖5 1/3臨界轉速區的軸心軌跡和龐加萊截面圖

Fig.5 Axis orbits and poincaré maps around 1/3 subcritical speed

由圖5的龐加萊截面圖可知，始終僅存在1個相點，即此時裂紋轉子系統的運動一直為單周期運動。

在相同的參數下，裂紋轉子系統在相應轉速下的時域波形圖和頻譜圖如圖6所示。其中,頻譜圖中f是指系統響應包含的頻率成分，fr是指系統響應的基頻成分，f/fr表示系統響應頻率的無量綱數。系統響應中存在次諧波共振現象。由圖6可知，系統在1/3臨界轉速處出現共振。在1/3臨界轉速附近，時域波形均為周期信號，隨著轉速的提高，振動幅值先增大后減小，且在1/3臨界轉速處振動幅度最大。圖3中轉速比為1/3處出現一個峰值。頻譜圖中出現1X、2X、3X、4X等諧波頻率成分，其中諧波成分1X、2X、3X具有較大的幅值，且隨轉速的提高，各諧波成分的幅值變化趨勢為先增大后減小，當達到1/3臨界轉速時，各諧波頻率成分的幅值達到最大。

(a)ω=0.29ωn(b)ω=0.31ωn(c)ω=0.33ωn(d)ω=0.35ωn

圖6 1/3臨界轉速區的時域波形和頻譜圖

Fig.6 Time series and frequency spectra around 1/3 subcritical speed

3.4 1/2臨界轉速附近的系統響應分析

設定參數為β=0，U=0.29。圖7為無裂紋轉子系統在1/2臨界轉速附近的軸心軌跡。圖8和圖9分別為剛度變化比K=0.1時裂紋轉子系統在1/2臨界轉速附近的軸心軌跡、龐加萊截面圖以及時域波形圖、頻譜圖。

無裂紋轉子系統在1/2臨界轉速附近的軸心軌跡始終為圓環狀。在裂紋轉子系統中， 1/2臨界轉速附近的軸心軌跡隨轉速發生了規律性的變化，軌跡中存在一個向內凹陷的圓環，其形狀和偏置方向均隨轉速的變化而改變，其中偏置方向在轉速變化區間內改變的角度約為π。對比分析圖7和圖8中的軸心軌跡可知，根據軸心軌跡是否呈規則圓環狀、是否出現一個內環，即可對裂紋故障進行簡便、清晰的診斷。

(a)ω=0.41ωn(b)ω=0.47ωn(c)ω=0.5ωn(d)ω=0.57ωn

圖7 1/2臨界轉速區無裂紋轉子的軸心軌跡

Fig.7 Axis orbits of the uncracked rotor around 1/2 subcritical speed

(a)ω=0.41ωn(b)ω=0.47ωn(c)ω=0.5ωn(d)ω=0.57ωn

圖8 1/2臨界轉速區的軸心軌跡和龐加萊截面圖

Fig.8 Axis orbits and poincaré maps around 1/2 subcritical speed

由圖9中時域波形圖可知，1/2臨界轉速附近的系統響應均為周期信號，且由于出現次諧波共振現象，在1/2臨界轉速處系統振動幅值最大，圖3中在轉速比為0.5處也出現峰值。由圖9可知，在頻譜圖中出現了1X、2X、3X等諧波頻率成分，且1X、2X的頻率成分具有較大幅值，隨著轉速的提高，各幅值變化趨勢為先增大后減小，當達到1/2臨界轉速時，各諧波成分的幅值達到最大。

(a)ω=0.41ωn(b)ω=0.47ωn(c)ω=0.5ωn(d)ω=0.57ωn

圖9 1/2臨界轉速區的時域波形和頻譜圖

Fig.9 Time series and frequency spectra around 1/2 subcritical speed

4 結 論

(1)在1/3臨界轉速和1/2臨界轉速附近，裂紋轉子系統軸心軌跡的內環形狀和偏置方向均發生變化，其中1/3臨界轉速附近的軸心軌跡存在2個內環，轉速區間內偏置方向改變約為π/2。

(2)1/2臨界轉速附近的軸心軌跡存在一個內環，偏置方向改變約為π。在無裂紋轉子系統中，相應的軸心軌跡始終為規則圓環狀，其形態在整個轉速區間內基本不隨轉速的變化而改變。因此，根據轉子系統在1/3臨界轉速和1/2臨界轉速附近的軸心軌跡圖是否為規則圓環狀、是否存在內環可診斷裂紋故障。

(3)系統隨著轉速變化未出現分岔現象，一直處于單周期運動，且系統響應中存在分數次共振現象，即在1/n臨界轉速處系統振動幅值明顯增大。后續將在轉子實驗臺做相關實驗，對系統軸心軌跡形態進行分析，驗證在該參數設定下仿真結果的準確性。

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