螺旋錐齒輪傳動系統的時變參數調制及分析方法

馮美君，蘇國營

(1.中國航發哈爾濱東安發動機有限公司，黑龍江 哈爾濱 150000；2.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191)

在研究實際工程問題時，有很多問題的運動方程和數學模型可以用含有參數激勵的非線性動力系統來描述，例如，在橫浪或縱向波沖擊下船舶的操縱穩定性和傾覆機理問題[1-3]，繩系衛星的振動與控制問題[4]，內燃機氣門機構和離心擺式減振器的振動問題[5]，以及機械柔性結構系統的屈曲問題[6]等。而螺旋錐齒輪傳動系統實質上是一個高維強參數周期系統，研究動力學特性本質上是對參數激勵非線性系統的響應和穩定性分析，因而研究包含參數激勵的非線性動力系統對解決實際工程問題具有十分重要的意義。

Bogoliubov和Mitroplsky等[7]用平均值的方法研究分析了Mathieu方程的漸近解，推動了含有參數激勵非線性振動理論的發展。Sethna和Bajaj等[8-9]把分岔思想引入到非線性振動理論研究中，利用分岔思想研究含有參數激勵的非線性動力系統的分岔，結果反饋良好。Malhotra和SriNamachchivaya等[10]研究分析了非線性可逆系統在非半單共振條件下的全局動力學問題。國內陳予恕等[11-13]利用L-S(Liapunov-Schmidt)方法和奇異性理論研究分析了含有參數激勵的非線性動力系統的分岔。

上述各位學者的研究方法雖然各有所長，但在對類似螺旋錐齒輪的高維強參數周期系統的處理上仍然十分困難，現有的非線性振動理論對實際工程中具有周期運動特性傳動系統的動態設計和分析有很多不足。

本文從狀態轉移矩陣、瞬態和穩態受迫響應等方面推導并構建了偽解析方法，對包含無限多頻率成分的時變參數在規定頻譜內進行連續階躍調制，并進行了螺旋錐齒輪嚙合振動的Hill-Meissner算例驗證。

1 參數激勵系統的受迫響應

對于N自由度廣義參數激勵系統的動力學問題，可由一個2N階矩陣方程來描述：

(1)

(2)

構建狀態轉移矩陣Φ(t,0)=W(t)W-1(0)，則式2可以轉化為：

(3)

根據Floquet理論可知，時變周期為T的狀態轉移矩陣Φ(T,0)可轉換為關于矩陣Γ的矩陣指數函數：

Φ(T,0)=eΓT

(4)

式中，Γ是一個固定矩陣。然后定義1個周期為T的矩陣為：

P(t)=Φ(t,0)e-ΓT

(5)

則系統任一時刻的狀態轉移矩陣及其可逆陣可以表述為：

Φ(t,0)=P(t)eΓ t
Φ-1(τ,0)=e-Γ τP-1(τ)

(6)

另外，系統的受迫響應解也可以由若干個余弦激勵響應解構成，此時強迫激勵項可表述為：

(7)

式中，r是余弦激勵的幅值向量；ωf是強迫激勵頻率。將式7代入式3中可得：

(8)

由于Γ為對角化且其矩陣冪級數收斂，則式8中的矩陣指數函數應用Lagrange-Sylvester定理將變化成Jordan規范形的變換陣和Γ的特征值的函數，即：

e±Γ τ=Vdiag(eμit)V-1(i=1,2,…,2N)

(9)

式中，μi是矩陣Γ的特征值也即特征指數；V是特征向量矩陣。因為周期矩陣P(t)和P-1(t)都是連續且非奇異矩陣，因而求響應的偽閉合解時，可以使用傅里葉級數展開方法，因此可以表示為：

(10)

式中，ωp是參數激勵頻率，且ωp=2π/T。

至此，為消去式8中積分運算所需的變換都已經引入，可以得出最終的求解受迫響應的方程式。首先，將式9和式10代入式8中替換積分內部項；其次，將求和部分移出再展開積分；再將式9和式10代入上步，求解式中替換求和運算外部項，消去可乘的互逆矩陣，進行合并求和運算；最后，將每項中2個對角矩陣的相應元素相乘，可得：

(11)

式11就是參數激勵系統在強迫激勵下受迫響應的廣義級數形式，右邊第1項表示穩定響應部分，第2項表示瞬態響應部分。

如果系統是穩定的，則矩陣Γ或Floquet指數μ的特征值具有全部負實數，隨著時間的增加，受迫響應的瞬態部分將接近零；相反，如果任何Floquet指數具有正實數，則解的瞬態部分將發散到無窮大，這表明不穩定性。

本文中，計算狀態轉換矩陣的方法是將時間段劃分為更小的子區間，假設每個子區間上的時間是恒定不變的，例如，將周期T分為n個剛度恒定的子區間，n個子區間終點對應的狀態轉移矩陣分別為Φ(t1,0)、Φ(t2,0)直至Φ(tn-1,0)、Φ(T,0)，則周期狀態轉移矩陣Φ(T,0)可以用子區間的狀態轉移矩陣合成，如下：

Φ(T,0)=Φ(t1,0)Φ(t2,t1)…Φ(T,tn-1)

(12)

另外，矩陣Γ和Φ(T,0)共享特征向量矩陣，且Φ(T,0)的特征值λi和Γ的特征值μi間存在關系μi=ln(λi)/T；因此，可以求得式11中特征指數μi和V矩陣。這樣，式11實現了受迫響應的級數形式解析計算，是一種偽閉合解。

2 時變參數的連續階躍調制

對于受迫響應的偽閉合解，其精度完全取決于周期矩陣的傅里葉級數展開和周期狀態轉移矩陣。

對周期矩陣的傅里葉級數展開，一般要求最大諧波次數對應的頻率大于時變參數激勵最高頻率成分的2倍。當時變參數激勵包含無限多頻率成分或最大頻率成分不可知時，應用離散譜分析可以確定其主要頻率成分和幅值，進而選定合適的諧波次數以構建周期矩陣的傅里葉級數。

對采用周期分段法求得的時變剛度系統周期狀態轉移矩陣，其精度與周期分段數n以及時變剛度在各個段上的取值有關。最簡單直接的時變剛度分段采樣方法是根據其曲線的變化形式，取在每個子區間上的平均值；但這種采樣往往包含無限多頻率成分，造成的結果是在響應計算時P(t)傅里葉級數展開時會出現混疊效應，進而使式11出現失真。

針對時變剛度參數各個分段上的采樣值進行連續階躍調制[14]。時變參數的連續階躍調制采樣如圖1所示。

圖1 時變參數的連續階躍調制采樣

取時變剛度的采樣值(如平均值)的指數展開傅里葉系數為Km，則調制后的時變參數可表示為：

(13)

階躍調制后，時變參數在各個子區間上的采樣值為：

(14)

則有：

(15)

且其指數展開的傅里葉系數滿足：

(16)

另外，將式16代入式14，可將調制后時變參數在各個子區間上的采樣值表示為有限項的和，可得連續階躍調制后時變參數采集值的一般方程形式為：

(17)

3 含不規律時變參數的二自由度Hill-Meisssner方程

在航空事業中廣泛應用的螺旋錐齒輪，其單齒嚙合接觸軌跡不能簡單的簡化為直線，且每個瞬時接觸點的載荷呈不均勻性，其齒面幾何形狀還與機床加工調整參數有密切關系，這些因素的疊加使得螺旋錐齒輪嚙合剛度呈現無規律的時變特性。不規律周期時變參數如圖2所示。

圖2 不規律周期時變參數

考慮兩端帶支承剛度的二自由度螺旋錐齒輪傳動系統動力學Hill方程：

(18)

將式10中周期矩陣傅里葉級數展開的諧波次數分別取32和64，將周期π劃分成80個子區間，采用上述方法求解得到x2的受迫響應時間歷程如圖3所示。由圖3可以看出，在含有余弦強迫激勵和不規律時變參數情況下，該系統方程是穩定的，可以獲得穩定周期解。

圖3 含不規律時變參數方程穩定解的時間歷程

若不考慮一端的支承剛度，則含時變參數剛度矩陣的右下角項由2+δ變為δ，重新求解得到模最大的Floquet乘子從(1,0)點穿出單位圓，出現鞍結分岔，x1和x2的失穩受迫響應相軌跡如圖4所示，其中，x1為典型的極限環振動[15]。

圖4 含不規律時變參數方程失穩解的相軌跡

4 結語

本文通過采用分段法解析計算了狀態轉移矩陣，對周期矩陣序列的傅里葉級數的開展和矩陣指數函數的Lagrange-Sylvester定理變換，獲得了只依賴于狀態轉移矩陣的瞬態響應和穩態響應的偽閉合解。對包含無限多頻率成分的時變參數在規定頻譜內進行連續階躍調制，避免了周期分段法計算狀態轉移矩陣引起的響應失真解。通過對包含不規律時變嚙合剛度的螺旋錐齒輪嚙合振動二自由度Hill方程的算例分析，驗證了本文所建立數學分析方法的正確性和穩定性。對于航空事業中廣泛應用的螺旋錐齒輪，可以有效分析其不規律時變嚙合剛度引起的振動，為螺旋錐齒輪傳動系統動力學研究建立了數學層面的基礎。

[1] Sanchez N E, Nayfeh A H. Nonlinear rolling motions of ships in longitudinal waves[J]. International Shipbuilding Progress, 1990, 37(4): 247-272.

[2] Sanchez N E, Nayfeh A H. Prediction of bifurcations in a parametrically excited duffing oscillator[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1990, 25(2/3): 163-176.

[3] 陳予恕, 張偉. 現代數學和力學(MMM)VI：船舶橫搖運動的全局分岔和混沌動力學[M]. 蘇州: 蘇州大學出版社, 1995.

[4] 彭建華, 劉延柱. 繩系衛星的混沌運動[J]. 上海交通大學學報, 1996, 30(11): 32-36.

[5] Zhang W, Ye M. Local and global bifurcations of valve mechanism[J]. Nonlinear Dynamics, 1994, 6(3): 301-316.

[6] 張清杰, 劉士光, 鄭際嘉, 等. 結構動力屈曲研究進展[J]. 力學進展, 1993, 23(4): 530-538.

[7] Bogoliubov N N, Mitropolsky Y M. Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations[M]. New York: Gordon and Breach, 1961.

[8] Sethna P R, Bajaj A K. Bifurcations in dynamical systems with internal resonances[J]. ASME Journal of Applied Mechanics, 1978, 45(4): 895-902.

[9] Bajaj A K, Shaw S W. Foreword[J]. Nonlinear Dynamics, 1993, 4(6): 527-530.

[10] Malhotra N, Sri Namachchivaya N. Global dynamics of parametrically excited nonlinear reversible systems with nonsemisimple 1∶1 resonance[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1995, 89(1/2): 43-70.

[11] 陳予恕, Langford W F. 非線性馬休方程的亞諧分岔解及歐拉動彎曲問題[J]. 力學學報, 1988, 20(6): 522-532.

[12] 陳予恕. 非線性振動系統的分岔和混沌理論[M]. 北京: 高等教育出版社, 1993.

[13] 陳予恕, Han R P S. 現代工程非線性動力學的現狀展望[J]. 力學與實踐, 1995, 17(6): 11-19.

[14] Franks L E, Sandberg I W. An alternative approach to the realization of network transfer functions: The N-path filter[J]. Bell System Technical Journal, 1960, 39(5): 1321-1350.

[15] Schleimer J H, Stemmler M. Coding of information in limit cycle oscillators[J]. Physical Review Letters, 2009, 103(24): 248105.1-248105.4.