常數列不平常

黃書虹

非零常數列即是等差數列，又是等比數列，簡單明了，但是常常被忽視。在一些數列的題目中，如果適當地利用構造常數列，可避免復雜的累加、累乘或迭代，使數列問題簡單化。

利用常數列求通項公式

例1：已知數列滿足，

， 求通項公式

解析：因式分解得：

方法一：（累乘法）

方法二：（構造常數列）

是常數列

本題中，兩種方法難度差不多，計算量也差不多。

變式：已知數列滿足， 求通項公式。

解析：

方法一：（累乘法）

方法二：（構造常數列）

兩邊都乘以n，得：

， 是常數列

本題中，累乘法在消項過程中，很容易出錯；而利用構造常數列就顯得比較容易，也有利于學生理解數列的前后項的關系。

例2：已知數列滿足， 求通項公式。

解析：方法一：（累加法）

方法二：（構造常數列）

是常數列

例3：已知數列的前n項和滿足， ，求通項公式。

方法一：當 時 ， ，

即

整理得： ，這里可以用累乘法來求通項公式。

方法二：當 時 ，

是常數列

得：

這題選擇構造常數列，會顯得比較容易，先求，再求。

利用常數列來求和（錯位相減法的另一種處理方法）

例5：，求前n項和。

解析：本題的通項形式，是等差數列與等比數列的乘積形式，顯然考慮用錯位相減法求和。

方法一：（錯位相減法求和）

可得

但是，在上述解題過程中，等比數列求和部分，項數很容易出錯，而且后面的化簡也相對困難，學生很容易出錯，花的時間多，準確率不高。因此，下面介紹另一種解法。

方法二：（構造常數列）

整理得： 解得：

是常數列

本題利用構造常數列，對學生指數運算的要求較高，但是相對于錯位相減法計算明顯簡單不繁瑣。

在實際的解題中，要根據實際情況來選擇最佳方法（累加法、累乘法或構造常數列法），不能一味追求常數列來解題，有些題目運用累加法，累乘法會更簡單，視情況進行甄別。其中蘊含的數學思想方法有，轉化與化歸的思想、方程的思想、待定系數法等，對數列的理解和解題有很大的幫助。