一道線性規(guī)劃問題引起的思考

王楠

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中應(yīng)用比較廣泛的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。提高經(jīng)濟(jì)效益是人們不可缺少的要求，在經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，線性規(guī)劃的作用越來越大，提高經(jīng)濟(jì)效果一般通過兩種途徑：一是技術(shù)方面的改進(jìn)，比如改善生產(chǎn)工藝，使用新設(shè)備和新型原材料；二是生產(chǎn)組織與計(jì)劃的改進(jìn)，即合理安排人力物力資源。線性規(guī)劃所研究的就是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好。一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃。線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素。下面結(jié)合一個(gè)例題談一下線性規(guī)劃問題的解決方法。

提出問題

已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是2萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是3萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有煤8噸，并且生產(chǎn)A產(chǎn)品只能供電16千瓦，生產(chǎn)B產(chǎn)品只能供電12千瓦，問如何安排生產(chǎn)A產(chǎn)品和B產(chǎn)品企業(yè)利潤最大。

數(shù)學(xué)建模

設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各為x、y噸，利潤為z萬元，則該問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)問題。即轉(zhuǎn)化為

1.畫出不等式組所表示的平面區(qū)域：

2.把z=2x+3y變形為，這是斜率為在y軸上的截距為的直線。當(dāng)z變化時(shí)，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的，可以看到，直線與不等式組表示的區(qū)域的交點(diǎn)滿足該不等式組，而且當(dāng)截距最大時(shí)，z取得最大值。因此，問題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與不等式組確定的平面區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)P，使直線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)截距最大。

3.獲得結(jié)果：

K=由上圖可以看出，當(dāng)實(shí)現(xiàn)經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M（4，2）時(shí)，截距的值最大，最大值為，這時(shí)2x+3y=14.所以，x=4，y=2時(shí)，z有最大值14。

所以生產(chǎn)A產(chǎn)品4噸，B產(chǎn)品2噸，企業(yè)最大利潤為14萬元。

變式探究

若對抽象出來的該數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變式，我們再研究線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)求最值的規(guī)律。

1.若z=3x+5y，求z的最大值。

K=顯然，當(dāng)也是經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M（4，2）時(shí)，截距的值最大，這時(shí)3x+5y=22.所以，x=4，y=2時(shí)，z有最大值22。

2.若z=2x+5y，求z的最大值。

此時(shí)直線還經(jīng)過M點(diǎn)截距最大嗎？顯然不是，k=應(yīng)該是經(jīng)過直線y=3與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)（2，3）時(shí)截距最大，這是2x+5y=19. 所以，x=2，y=3時(shí)，z有最大值19。

3.若z=2x-3y，求z的最大值。

這時(shí)直線經(jīng)過（4，0）截距最小，即z最大。所以所以，x=4，y=0時(shí)，z有最大值8。

4.若z=x+2y，求z的最大值。

這時(shí)直線斜率，與直線x+2y=8的斜率一樣，故取到最大值的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，不妨設(shè)在M（4，2）處時(shí)，可得到z有最大值8。

獲得結(jié)論

對于線性規(guī)劃問題，目標(biāo)函數(shù)在哪兒取得最大值，主要看目標(biāo)函數(shù)的斜率與圍成平面區(qū)域各直線的斜率比較大小。

解簡單線性規(guī)劃問題是“數(shù)形結(jié)合”的最好典范。線性規(guī)劃問題中的可行域，實(shí)際上就是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，要是沒有這個(gè)可行域，問題就得不到這樣直觀明了的解決，這可謂是“數(shù)少形時(shí)少直觀”。因此，解決簡單線性規(guī)劃問題的第一個(gè)基本功是要能畫好二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，而且要能畫準(zhǔn)確，并注意其邊界的虛實(shí)。

畫圖，對于解決此類問題是至關(guān)重要的，但是一些同學(xué)卻不對此重視，有些同學(xué)甚至馬馬虎虎地應(yīng)付了事，只畫一些簡單的草圖，這樣對解決問題沒有絲毫幫助，只會(huì)進(jìn)入結(jié)題“誤區(qū)”。尤其是在解決類似于當(dāng)可行域的區(qū)域邊界的直線與目標(biāo)函數(shù)的直線的斜率相近時(shí)，這個(gè)準(zhǔn)確性顯得尤其重要，如果沒有準(zhǔn)確的畫圖很可能會(huì)得出相反的結(jié)論。

為讓同學(xué)們更好理解與運(yùn)用，在學(xué)習(xí)中應(yīng)該理解：在求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值時(shí)，所以是通過直線平移時(shí)，隨之增大或縮小來實(shí)現(xiàn)，其原因是中的的最大（最小）值，是一個(gè)與直線的截距密切相關(guān)的量，但不一定是截距.它將為同學(xué)直觀理解線性規(guī)劃的圖解法，提供有力的空間圖形的支撐。

嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)知的科學(xué)學(xué)習(xí)方法，這是學(xué)好線性規(guī)劃一個(gè)至關(guān)重要的前提，是為以后學(xué)習(xí)下一步知識(shí)打下一個(gè)厚實(shí)的基礎(chǔ)。