異質網絡下含有相關系數的SIR傳染病模型的建立和分析

楊嬋 張菊平

摘要：在疾病傳播過程中，染病者和易感者有多大的傾向接觸是傳染病是否流行的關鍵因素。為了研究相關系數在疾病傳播過程中的動力學行為以及其對于傳染病傳播動力學特性的影響，將狀態節點之間的相關系數作為動態變量，利用二元組的反卷積逼近方法，在異質網絡上建立了含有相關系數的SIR傳染病動力學模型，分析了系統平衡點的存在性，給出了染病者與易感者之間相關系數存在正值的條件。在泊松分布下，模擬出了平衡狀態下相關系數的三維變化圖。通過生物學意義，用概率的方法，給出了系統的最終規模。結果表明，通過分析含有相關系數的SIR傳染病模型，得到SIR傳染病模型復雜的動力學性態，即當染病者數量趨于零時，染病者與易感者之間的相關系數不為零。研究模型在控制傳染病傳播的動力學研究方面具有一定的參考價值。

關鍵詞：微分動力系統；相關系數；反卷積逼近；最終規模；平衡點

中圖分類號：O175.1文獻標志碼：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx01002

Establishment and analysis of SIR epidemic model with correlation coefficient under heterogeneous network

YANG Chan， ZHANG Juping

（Complex Systems Research Center， Shanxi University， Taiyuan， Shanxi 030006， China）

Abstract：In the course of disease transmission， how much contact between the infected and the susceptible is key factor of infectious diseases prevalence. Therefore， in order to study the dynamic behavior of correlation coefficients and its influence on the dynamics of disease transmission， with the correlation coefficient between the state nodes as dynamic variables， the SIR epidemic dynamic models with correlation coefficient is constructed by using deconvolution approximation method on heterogeneous network. The existence of each equilibrium of the model is analyzed， and the condition for the existence of positive correlation coefficients between the infected and susceptible individuals is derived. In the Poisson distribution， the threedimensional variation plot of the correlation coefficient under the equilibrium state is simulated. Through biological meaning， the final size of the system is given by probabilistic method. Through analyzing the SIR epidemic model with correlation coefficient， the complicate dynamics behavior of the SIR epidemic model is obtained， namely when the infected individuals tends to be zero， the correlation coefficient between the infected and susceptible individuals is not zero. The study model has reference value in the dynamic research of controlling infectious disease transmission.

Keywords：differential dynamical systems； correlation coefficient； deconvolution approximation； the final size； equilibrium point

研究傳染病的傳播機制，有效控制傳染病的流行一直是研究者們不斷研究的課題。傳染病動力學是通過數學模型從理論上分析和研究疾病傳播形式的科學。因為群體水平的疾病傳播主要通過社會接觸網絡進行，所以利用復雜網絡理論研究疾病傳播與實際更加貼合。

采取復雜網絡理論和傳染病結合的方法已成為傳染病動力學建模的主要趨勢。 在大多數網絡中，特別是社會網絡不同節點的度有非常大的差異，網絡的異質性發揮了很大的作用，因此，異質網絡中傳染病動力學模型的研究變得尤為重要。VOLZ[1]基于概率母函數封閉方法建立了SIR傳染病模型；HOUSE等[2]給出了異質網絡中SIS二元組逼近模型。MILLER[3]在文獻[1]模型研究的基礎上，進一步簡化了模型。在對網絡傳染病模型的研究中，網絡的特性如何影響傳染病的流行也是十分重要的一方面。相關系數作為描述網絡相關性的一種特征量，刻畫了網絡中具有某種特征的個體之間是否更傾向于相互連接的現象，例如，社會網絡中的社會語種、種群、年齡等特征都是具有相關性的。對于傳染病而言，在染病期內，染病者和易感者之間有多大的接觸傾向，無疑是傳染病是否流行的關鍵因素。KEELING[4]給出了狀態節點之間相關系數的定義，通過對相關系數的動力學分析，給出了SIR傳染病動力學模型的基本再生數；NEWMAN[56]給出了網絡中節點度的同配系數的定義和相關結論；KEELING等[7]結合相關系數建立了兒童疾病的相關性模型；BAUCH[8]通過引入相關系數比較了不同逼近方法的精確性；KIM等[910]推導出了HIV染病者與易感者之間的相關系數，定義了男女易感者與染病者之間的相關系數，進一步研究了HIV性傳播疾病；秦文惠等[11]引入相關系數，研究了具有交叉感染的雙菌株模型。另外，傳染病流行的最終規模也是傳染病研究的重要方面[1215]，SHERBORNE等[13]研究了多階段傳播對于疾病峰值和最終規模的影響。在本研究中，筆者考慮網絡的度分布，通過將狀態之間的相關系數作為變量，建立了含有相關系數的SIR傳染病動力學模型，并且給出了疾病的最終規模。

1異質網絡中含有相關系數的SIR 傳染病動力學模型

筆者考慮異質網絡下含有相關系數的SIR傳染病模型，用[Sk]=[Sk]（t），[Ik]=[Ik]（t），[Rk]=[Rk]（t）和[Nk]=[Nk]（t）分別表示t時刻，網絡中度為k的易感者數量、染病者數量、恢復者數量以及總的節點數，[SkI]（t）=[SkI]表示t時刻第1節點狀態為易感者且度為k，第2個節點狀態為染病者的二元組數量，則有：

式中：λ表示一個易感者和一個染病者接觸被傳染的概率；γ表示恢復率系數，k=0，1，2，…，∞，因為前2個方程中不含有[Rk]，則只需考慮前2個方程。

根據基于節點的異質網絡的二元組反卷積逼近[1]，有：

2最終規模

由式（4）可知：

其中θ∞=θ（∞），則為了計算疾病的最終規模，必須計算出θ∞值。

由θ（t）=[S1]（t）/N1的定義，θ（t）可表示t時刻，任意一條連接到易感者節點的邊未發生感染的概率，故θ∞表示任意一條連接到易感者節點的邊從未發生感染的概率，θk∞表示度為k的易感者節點從未發生感染的概率。

定義FI為一個染病者傳染病需要的時長，FR為一個染病者恢復需要的時長，假設傳染與恢復的時間是相互獨立的，則隨機選擇一個易感節點， 記為m，則m被一個染病者鄰居感染概率[1516]為P（FI≤FR），且

定義ω（t）為t時刻m節點的一個鄰居未被感染的概率，因為這個鄰居度k的概率為kp（k）/〈k〉，又這個鄰居只能從除了節點m以外的其他邊傳染，故有：

3結語

利用反卷積逼近方法，引入節點狀態之間的相關系數，將狀態之間的相關系數作為變量，建立了含有相關系數的SIR傳染病動力學模型，將網絡中的高維性降低，提高了模型的可分析性。在以前的研究中，是對一些量進行近似分析，分析不夠完整。本研究考慮了網絡的度分布，分析無病平衡點的存在性，給出了平衡狀態下易感者和染病者之間的相關系數存在正值的條件，在泊松分布下，模擬出了狀態之間相關系數的變化圖，更直觀地顯示了無病平衡點的存在性，并且利用θ的生物學意義，用概率方法給出了系統的最終規模，對于控制疾病的規模有很大的意義。

本研究假設了總人口數保持常數，沒有考慮出生死亡，如果在模型中加入這些因素將會產生其他的動力學現象。本研究發現易感者與易感者之間的相關系數與易感者與染病者的相關系數存在著某種關系，之后將結合具體的疾病以及數據，探討是否能得到兩者之間的具體表達關系，這對于傳染病動力學的發展具有研究意義。

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