論高中數學中的周期函數

楊好

【摘要】周期函數是高中數學學習中的一大重難點，掌握其基本性質和主要特點，對于提升學生們的解題能力有很大幫助。本文簡單介紹了周期函數的定義和基本性質，并結合教材內容進一步詳細探討了關于應用周期函數需要注意的幾點問題，希望能夠幫助高中生更好地掌握這門課程。

【關鍵詞】高中數學 周期函數 性質分析 應用探討

一直以來，周期函數在高中階段的數學學習中都占有十分重要的地位，并且在物理、化學等其他學科中也有著極為廣泛的應用。因此，學好周期函數對于促進高中生整體綜合素質水平的提升而言具有十分積極的意義。高中生在學習這部分內容時，首先應理清周期函數的基本性質，其次要深入了解課本上所沒有提到的注意事項，做到靈活運用周期函數知識來解決數學實際問題，拓寬自己的數學學習思維。

一、周期函數的基本概念

根據高一課本教材中的定義，周期函數是指：對于函數f（x），若存在一個常數T（T≠0），使x取定義域內的任一值時，均存在f（x+T）f（x）=恒成立，則這樣的函數被稱為周期函數，T為該函數的周期。在理解周期函數的基本概念時，我們需注意以下幾點內容：

第一，若函數f（x）為周期函數，則該函數的定義域一定為無界區間；

第二，若函數f（x）為周期函數，周期為T，則KT也是函數f（x）的周期；

第三，并不是所有的函數都存在最小正周期，例如，當函數f（x）的值為固定值時，即f（x）=c，任意一個非零的實數，我們都可以將其稱為f（x）的周期值，不存在最小正周期的說法；

第四，周期函數不都是三角函數，如常函數f（x）=c，包含三角函數符號的也不一定是周期函數，如f（x）=sin|x|等。

第五，部分非周期函數在其部分定義域分段上可以為周期函數，如函數f（x）=sin|x|等。

二、周期函數的重要性質

根據課本教材內容，一般而言，周期函數重要包括以下幾點重要性質：

性質1：若f（x）的定義域為R，且該函數的圖像關于兩條不同的直線x=a和x=b對稱，則函數f（x）的周期T=2b-2a。特別地，如果f（x）為偶函數，圖像關于直線X=a對稱，則其周期T=2a。

證明過程如下：

由于f（x）圖像關于直線x=a和x=b對稱，所以可以得到：f（x）=f（2a-x）和f（x）=f（2b-x），即f（2b-2a+x）=f（2b-（2a+x）），化簡可得：f（2a-x）=f（x），性質1得證。

性質2：若一個定義在R上的函數f（x）關于點P（a，0）和直線x=b對稱，則稱該函數為周期函數，且周期T=4b-4a

證明如下：

f（x）關于點P（a，0）和直線x=b對稱，

f（x）=-f（2a-x），f（x）=f（2b-x）

則可得：

f（4b-4a+x）=f（2b-（4a-2b-x））

=f（4a-2b-x）

=f（2a-（2b-2a+x））

=f（（2b-2a+x））

=f[2b-（2a-x）]

=-f（2a-x）

=f（x）

由以上證明，不難得出f（x）為周期函數，且周期值為4b 4a。

性質3：若函數f（x）定義域為R，且函數圖像關于點（a，0）和點（b，0）對稱，則我們稱函數f（x）為周期函數，周期T=2（a-b）。

證明如下：

由于函數f（x）關于兩個不同的點（a，0）、（b，0）對稱，所以有：

f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=f（x），

則f[2（a-b）+x]=f[2a-（2b-x）]

=f（2b-x）

二-[-f（x）]

二f（x）

由上可證，函數f（x）為定義在R上的一個周期函數，且周期值為2（a-b）。

三、學習周期函數需要注意的幾點問題

高中生在學習周期函數這部分內容時，除了要把握課本教材上的基本概念以外，還應注意以下幾點問題，以徹底弄懂周期函數的性質內涵。

一是，周期函數的性質對于其定義域內的每一個x值都成立。即f（x）=f（x+T）對于任意一個x∈R都成立，所以我們在判斷一個函數是否為周期函數時，只需列舉一個反例證明即可。

二是，注意理清“x”的內涵。函數的周期性是針對定義域內的x值而言，學生在進行換算時，一定要注意理清x值的概念。

三是，并不是每個周期函數都有最小正周期。例如，常函數f（x）=a，任意一個正數都可以作為它的周期，而正數不存在最小的數值，所以該函數沒有最小正周期。

四是，若一個定義在R內的函數f（x）周期值為T，則kT（k∈z，k≠0）也是該函數的周期。

五是，周期函數不一定是三角函數，學生們在學習這部分內容時一定要克服思維上的習慣定勢，緊扣周期函數的定義來思考和解決問題。

四、結語

綜上所述，作為高中階段數學學習中的重要內容，周期函數一直都是高中生普遍感到學習起來較為吃力的一個知識點。要想徹底掌握周期函數知識，學生們除了要熟練把握課本上的基本概念和性質以外，還應結合具體例題來展開深層次的探究，理清周期函數的內涵和主要特點，并將其靈活地應用于解決數學實際問題，從而不斷促進自身綜合素質水平的提升。

參考文獻：

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