談函數(shù)零點(diǎn)的幾種轉(zhuǎn)化方法
2018-06-01 08:50:50徐燕玲
讀與寫·下旬刊 2018年5期
徐燕玲
摘要：零點(diǎn)，方程根的個(gè)數(shù)方面問題的，往往轉(zhuǎn)化成兩個(gè)易作圖像的函數(shù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。如何選取這兩個(gè)函數(shù)，對(duì)稱問題，縱坐標(biāo)相等問題如何轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題。本文主要對(duì)這幾個(gè)問題進(jìn)行闡述和分析。
關(guān)鍵詞：零點(diǎn)；圖像交點(diǎn)；對(duì)稱問題；縱坐標(biāo)相等
中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2018）15-0149-01
函數(shù)的零點(diǎn)是考綱上要求的基本內(nèi)容，也是高中新課程標(biāo)準(zhǔn)新增內(nèi)容之一，是函數(shù)的重要性質(zhì)，是聯(lián)系函數(shù)，方程，圖像的一個(gè)重要媒介。另外，函數(shù)的零點(diǎn)是最近幾年數(shù)學(xué)高考出題的熱點(diǎn)，無論是選擇題，填空題，解答題的壓軸題出現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的頻率都很高。較簡(jiǎn)單的類型零點(diǎn)可直接求出，零點(diǎn)問題變化較多，但尋求f（x）=g（x） 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)主要方法還是轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)y=f（x），y=g（x） 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，關(guān)鍵在于y=f（x），y=g（x） 的函數(shù)圖像在同一個(gè)直銷坐標(biāo)系中容易畫出，有時(shí)需要進(jìn)行變形整理。有些對(duì)稱問題和縱坐標(biāo)相等的問題我們都可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點(diǎn)問題來解決。
1.零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
例1：函數(shù)f（x）=2x|log12x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是。
分析：直接畫f（x） 的函數(shù)圖像顯然行不通，分成y=2x|log12x|，y=1 ， 再畫圖找公共點(diǎn)也行不通；函數(shù)的零點(diǎn)即是2x|log12x|-1=0 的根，移項(xiàng)得到2x|log12x|=1 ，|log12x|=12x=（12）x ，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)找到了，y=|log12x| 與y=（12）x 的公共點(diǎn)顯然有2個(gè)。
例2：函數(shù)f（x）=1-|x+1|，x<1x2-4x+2，x≥1 ，則函數(shù)g（x）=2|x|f（x）-2 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)。
分析：g（x） 的解析式太復(fù)雜，不適合直接畫其圖像。像例1一樣把2|x|f（x）-2=0 處理成f（x）=22|x|=12x-|x|=（12）|x|-1 ，再把 與 的圖像在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出，可發(fā)現(xiàn)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。
2.對(duì)稱點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化圖像交點(diǎn)
例3：若函數(shù)f（x）=x2+In（x+a）與g（x）=x2+ex-12（x<0） 的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。
分析：這道題的兩個(gè)函數(shù)僅是存在一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)圖像本身并沒有對(duì)稱關(guān)系。只能考慮設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），N（-x0，y0），x0>0 分別在y=f（x），y=g（x）上，代入可得
y0=x20+In（x0+a），y0=（-x0）2+e-x0-12
即x20+In（x0+a）=（-x0）2+e-x0 -12
In（x0+a）=e-x0-12 此時(shí)問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x0 的方程In（x0+a）=e-x0-12 在（0，+∞） 上有解。
y=In（x+a） ，y=e-x-12在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖像，若在（0，+∞） 有交點(diǎn)，只需Ina 例4：若函數(shù)y=f（x） 圖象上不同兩點(diǎn)M，N 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[M，N] 是函數(shù)y=f（x） 的一對(duì)"和諧點(diǎn)對(duì)"（點(diǎn)對(duì)[M，N] 與[N，M] 看作同一對(duì)"和諧點(diǎn)對(duì)"），已知函數(shù)f（x）=ex，x<0x2-4x，x>0 ，則此函數(shù)的"和諧點(diǎn)對(duì)"有（）。 A.3對(duì)B.2對(duì)C.1對(duì)D.0對(duì) 分析：這道題是一個(gè)函數(shù)自身存在一對(duì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，跟例3相差無幾。 設(shè)M（x0，y0），N（-x0，-y0），x0<0 分別在y=ex，y=x2-4x 上，代入得y0=ex0-y0=（-x0）2-4（-x0） ， 代入消去y0 得ex0=-x20-4x0（x0<0）（*） ，題目轉(zhuǎn)化為方程（*） 根的個(gè)數(shù)，畫圖可得兩個(gè)函數(shù)y=ex，y=-x2-4x 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。 3.縱坐標(biāo)相等的條件轉(zhuǎn)化 例5：f（x）=|lgx|，0 A.（1，10）B.（5，6）C.（10，12）D. （20，24） 分析：由條件f（a）=f（b）=f（c） 可把a(bǔ)，b，c 看作常數(shù)函數(shù)y=m 與 y=f（x）的三個(gè)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)。 A（a，|lga|） ，0 C（c，-12c+6），10 -lga=lgb，lg（ab）=0，ab=1，所以abc=c∈（10，12） 。 由以上幾個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)稱點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等的問題我們都可以轉(zhuǎn)化成尋找兩個(gè)函數(shù)的圖像公共點(diǎn)的問題。要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，更要懂得從條件中分析出內(nèi)在的聯(lián)系以便將問題的有效轉(zhuǎn)化。
