橢圓余弦波的位移法分析

吳鋒 孫雁 姚征 鐘萬勰

摘要：

為研究線性淺水波理論的適用范圍，基于位移淺水波方程的橢圓余弦波解，計算在不同水深h、波高η0和波長L條件下，非線性橢圓余弦波與線性余弦波的相對差。數值計算結果表明：η0/h越小或h/L越大，淺水波的非線性效應越弱；當η0≤0.42h且η0L2/h3≤5.34-12.85η0/h時，非線性橢圓余弦波與線性余弦波的相對差小于0.05，可滿足工程需要。

關鍵詞：

橢圓余弦波； 線性； 非線性； 淺水波理論； 位移法

中圖分類號： O352； O353.2

文獻標志碼： A

Analysis on cnoidal wave using displacement method

WU Feng1， SUN Yan2， YAO Zheng3， ZHONG Wanxie1

（1. Department of Engineering Mechanics， Dalian University of Technology， Dalian 116023， Liaoning， China；

2. School of Naval Architecture， Ocean & Civil Engineering， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200240， China；

3. Transportation Equipment and Ocean Engineering College， Dalian Maritime University， Dalian 116026， Liaoning， China）

Abstract：

To study the scope of linear shallow water wave theory， the relative difference between nonlinear cnoidal wave and linear cnoidal wave is calculated by the cnoidal wave solutions of displacement shallow water equation in different water depth h， wave height η0 and wave length L. The numerical calculation results show that， the nonlinear effect of shallow water wave declines when η0/h decreases or h/L increases； the relative difference of nonlinear and linear cnoidal wave is less than 0.05 when η0≤0.42h and η0L2/h3≤5.34-12.85η0/h， which can satisfy the engineering requirement.

Key words：

cnoidal wave； linearity； nonlinearity； shallow water wave theory； displacement method

收稿日期： 2017-11-24

修回日期： 2017-12-08

基金項目：

國家自然科學基金（11472076，51609034，51278298）；中央高校基本科研業務費（DUT17RC（3）069）

作者簡介：

吳鋒（1985—），男，江蘇靖江人，副教授，博士，研究方向為周期結構與計算動力學，（E-mail）vonwu@dlut.edu.cn

0 引 言

在波長為L的波浪由深海向近海傳播的過程中，隨著水深h逐漸變小，水平位移在垂向的梯度可忽略不計，此時可以用淺水波理論進行分析。淺水波理論包括線性和非線性2類。當使用線性淺水波理論時，需同時假定：（1） h遠小于L；（2） 波高η0小于h。文獻[1]第七章指出：對于許多實際海岸問題，假定（2）往往不能滿足，需要研究非線性淺水波理論。與線性淺水波理論相比，非線性淺水波理論更加精確；然而，從數值計算的角度來看，非線性淺水波方程的求解比線性淺水波方程的求解復雜得多。本文對使用線性淺水波理論的ε=η0/h取值范圍展開研究。

淺水波理論可分為基于Euler坐標和基于Lagrange坐標2類。法國學者

VENANT提出第一個非線性淺水波方程，采用Euler坐標。BOUSSINESQ[2]基于Euler坐標，首次提出同時考慮色散和非線性的淺水波方程。在此基礎上，學者們通過攝動方法，提出種類繁多的BOUSSINESQ類方程[3-4]。2006年，鐘萬勰等[5-7]首先在Lagrange坐標下研究淺水波問題，提出包含豎向動能影響的位移淺水波方程，并給出位移孤立波解。位移淺水波方程的特點是保辛，可更好地體現淺水動力系統能量不變、體積不變等物理特性，其解的保真度更好。LIU等[8]在鐘萬勰等的研究基礎上，將位移淺水波方程擴展到二維淺水波問題，并研究了二維位移淺水波方程的對稱性[9]和解析解[10]。文獻[11-15]研究位移淺水波方程的數值計算，并提出多種保辛計算格式。文獻[16]研究二維位移淺水波方程并給出相應的二維位移孤立波解。文獻[17]給出位移淺水波方程的橢圓余弦波解，該解可退化為孤立波解。

與BOUSSINESQ類淺水方程相比，位移淺水波方程的解保辛，可以更好地保持水波的能量、質量等物理量。本文基于位移淺水波方程的橢圓余弦波解，研究ε=η0/h對線性淺水波和非線性淺水波解的影響，進而研究線性淺水理論的適用范圍。

1 位移橢圓余弦波

根據文獻[5]和[6]，位移淺水波方程可以寫為

-

h23

xx-ghuxx+3ghuxuxx=0

（1）

式中：g和u分別為重力加速度和水平位移；x為空間坐標。水面可以表示為

η=-hux

（2）

將式（1）中非線性項略去，得到線性位移淺水波方程為

-

h23

xx-ghuxx=0

（3）

式（3）中的第二項體現了垂直方向的動能影響，而普通線性解不考慮垂直方向的動能影響，不出現這一項。須構造式（1）的非線性橢圓余弦波和式（3）的線性余弦波，要求兩者的波幅和波長均相同。

1.1 線性余弦波解

構造式（3）的特解，要求其水面為余弦波。若η=-hux是余弦波，則u是正弦波，可設

ul（ξl）=

u0sin（kx-ωt）=u0sin（kξl）

cl=ω/k

ξl=x-clt

（4）

式中：u0待定；ω為頻率；k為波數；cl為波速；t為時間。將式（4）代入（3）可得線性淺水波的色散關系為

c2l=3ghk2h2+3

（5）

根據式（4）可知其水面高度為

ηl=-hux=-hu0kcos（kξl）

（6）

式（6）為線性余弦波。波高和波長分別為η0和L，有

2πk=L，-hu0k=η02（7）

水面高度可寫為

ηl=

η02coskξl=η02-1+2cos2k2ξl

（8）

cl可寫為

c2l=3ghk2h2+3=3ghL2（42h2）+3L2

（9）

1.2 非線性橢圓余弦波解

分析非線性位移淺水波方程的橢圓余弦波，要求其波高和波長分別為η0和L。橢圓余弦波是行波解，于是令

un=f（ξn），ξn=x-cnt

（10）

將式（10）代入式（1）可得

c2d2f2dξ2-c2h23d4f4dξ4-ghd2f2dξ2+3ghdfdξ d2f2dξ2=0（11）

根據文獻[17]，式（11）的解可寫為

f·（ξn）=λ2+（λ3-λ2）cn2（Κξn，m）

Κ2=3g（λ1-λ3）4hc2n

（12）

式中：cn為Jacobi橢圓余弦函數；m∈0，1為cn的模數，表示為

m2=λ2-λ3λ1-λ3

（13）

式（13）中λ1>λ2>λ3滿足式（14）所示的3個恒等式。

-（λ1+λ2+λ3）=c2n-ghgh

λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3=-2J1gh

λ1λ2λ3=2J2gh

（14）

式中：J1和J2為待定常數。結合式（2）、（10）和（12）可得水面高度表達式為

ηn（ξn）=-hf·=

-h（λ2+（λ3-λ2）cn2（Κξn，m））（15）

式（15）即為位移橢圓余弦波解。

橢圓余弦波為周期解，η0可定義為波峰與波谷之差。根據式（15），η0可表示為

η0=h（λ2-λ3）或λ2-λ3=ε

（16）

將式（16）代入式（13）可得

m=ελ1-λ3

（17）

聯合式（14）和（16）可得

c2n=gh-gh（λ1+2λ3+ε）

J1=-gh2（（λ1+λ3）（λ3+ε）+λ1λ3）

J2=gh2λ1（λ3+ε）λ3

（18）

式（18）表明J1和J2可由λ1和λ3確定。根據Jacobi橢圓函數的性質可知，位移橢圓余弦波的波長為

L=2Κ（m）Κ， Κ（m）=∫π20dφ1-m2sin2φ（19）

式中：Κ（m）為第一類完全橢圓積分。僅依據式（19）無法確定λ1和λ3。考慮體積不變，即在一個波長內要求

∫L0ηn（ξn）dξn=0

（20）

將式（15）代入上式可得

-hλ2L+Lhε-hε2Κ

Κ（m）-E（m）m2=0

E（m）=∫π201-m2sin2φdφ

（21）

式中：E（m）為第二類完全橢圓積分。根據式（19）可知Κ=L-12Κ（m），代入式（21）可得

-λ2+ε-εΚ（m） Κ（m）-E（m）m2=0（22）

再將式（16）和（17）代入式（22）有

E（m）Κ（m）=λ1λ1-λ3

（23）

結合式（16）、（17）和（23）可得

λ1=E（m）Κ（m）

εm2

λ3=E（m）Κ（m）-1εm2

λ2=E（m）Κ（m）-1εm2+ε

（24）

將式（24）代入式（18）可得

c2n=gh-gh（λ1+λ3+λ2）=gh-

gh3E（m）Κ（m）εm2-2εm2+ε（25）

將式（25）和（24）代入式（12）可得

Κ2=3Κ（m）ε4h2（Κ（m）（m2+2ε-m2ε）-3E（m）ε）

（26）

再將式（26）代入式（19）可得

Lεh=43Κ（m）（m2+2ε-m2ε）-3E（m）εΚ（m）（27）

依據式（27）可以計算出m。將式（24）代入式（15）可得

ηn（ξn）

=h-εE（m）Κ（m）-11m2+1+

εcn2Κξn，m=

-η0E（m）Κ（m）-11m2+1+

η0cn2（Κξn，m）

（28）

從式（27）可見，m是無量綱參數，與h不直接相關，主要由參數Lε/h決定。該參數實際上是ε與h/L的比值，其平方即為Ursell參數U=L2η0/h3（見文獻[1]的第七章）。如果Lε/h→∞，此時必有Κ（m）→∞，則m→1，那么解退化為孤立波解；如果Lε/h→0，有m→0，那么解退化為線性余弦波，此時

limm→0Κ=πL，

limm→0E（m）K（m）-11m2=-12（29）

所以其極限成為線性余弦波

limm→0ηn（ξn）=-η02+η0cosπLξn

（30）

2 數值比較

進行數值分析，比較非線性橢圓余弦波與線性余弦波之間的差異，進而研究線性淺水波理論的適用范圍。定義橢圓余弦波與線性余弦波之間的相對差eη為

eη=ηl-ηn2ηn2=∫L0（ηl-ηn）2dξ∫L0（ηn）2dξ0.5（31）

式中：η2表示2范數。從式（8）和（28）可以看出，h和g的取值對eη沒有影響，只有η0/h和h/L對eη有影響。在數值計算時，h和g為一組常數，即h=10 m，g=10 m2/s，而η0和L取不同值，以研究η0/h和h/L對eη的影響。

取h/L=1/8，η0/h=0.500、0.100、0.050和0.010進行計算，相應的U分別為32.00、6.40、3.20和0.64，計算得到的非線性橢圓余弦波與線性余弦波對比見圖1。由此可知，隨著η0/h的減小，U也逐漸減小，非線性橢圓余弦波逐漸退化為線性余弦波。當η0/h=0.050時，eη為0.040，已經小于工程要求的相對誤差5%。

圖 1 非線性橢圓余弦波與線性余弦波對比（h/L=1/8）

取h/L=1/20，η0/h=0.500、0.100、0.050和0.010進行分析，相應的U分別為200.00、40.00、20.00和4.00，計算得到的非線性橢圓余弦波與線性余弦波對比見圖2。

圖 2 非線性橢圓余弦波與線性余弦波對比（h/L=1/20）

圖2表明，隨著η0/h的減小，U逐漸減小，非線性橢圓余弦波逐漸退化為線性余弦波。當η0/h=0.010時，eη為0.040，已經小于工程要求的相對誤差5%，即此時可以使用線性淺水波方程分析。比較圖1和2可以發現，在相同η0/h的

條件下，隨著h/L由1/8減小到1/20，U逐漸增大，淺水波的非線性程度亦增加。當η0/h=0.050時，h/L=1/8所對應的橢圓余弦波與線性余弦波的差異已經很小，而h/L=1/20所對應的eη為0.19，表明此時非線性效應還很強，線性理論還不適用。當h/L=1/20且η0/h=0.500時，U為200.00，此時的橢圓余弦波類似于一組孤立波。

為進一步研究h/L對非線性效應的影響，取h/L=1/30計算，此時η0/h取0.100、0.050、0.010和0.005，相應的U分別為90.00、45.00、9.00和4.50，計算得到的非線性橢圓余弦波與線性余弦波對比見圖3。

圖 3 非線性橢圓余弦波與線性余弦波對比（h/L=1/30）

從圖3也可發現，隨著η0/h的減小，U逐漸減小，非線性橢圓余弦波逐漸退化為線性余弦波。綜合比較圖 1～3可進一步說明，當η0/h不變時，隨著h/L逐漸減小，U逐漸增大，非線性效應逐漸增加。當取h/L=1/30、η0/h=0.500時，計算得到的非線性橢圓余弦波與線性余弦波對比見圖4，此時U為450.00，線性與非線性解的相對差達到1.06，非線性橢圓余弦波基本可視為由一組孤立波構成。

圖 4 非線性橢圓余弦波與線性余弦波對比

（h/L=1/30，η0/h=0.500）

由圖1～3可知：η0/h越小、h/L越大，非線性效應越小，即Lε/h越小，非線性效應越小。通過給定不同的η0/h和h/L，可以計算出eη的等值線，見圖5。圖中實線表示eη=0.050的等值線，每條eη的等值線都幾乎為直線，所以η0L2/h3與η0/h基本是線性關系。采用線性關系擬合eη與η0/h以及η0L2/h3的關系，可以近似寫為

eη=0.120 4η0h+0.009 4η0L2h3

（32）

圖 5 eη的等值線

如果將eη=0.050視為線性淺水波理論適用的允許誤差，在eη=0.050等值線左邊是線性淺水波理論的適用區域，則該區域大致可描述為

η0h≤0.42， η0L2h3≤5.34-12.85η0h

（33）

即當η0≤0.42h，且U滿足U≤5.34-12.85η0/h時，線性淺水波理論是適用的。

3 結 論

本文基于位移淺水波方程，通過數值比較非線性橢圓余弦波與線性余弦波的相對差，研究線性理論在淺水波分析時的適用范圍。研究結果表明：

（1） η0/h和h/L對淺水波的非線性效應有重要影響。η0/h越小或h/L越大，淺水波的非線性效應越弱。當h/L不變時，隨著η0/h的逐漸減少，非線性橢圓余弦波會逐漸退化為線性余弦波。

（2） 當η0≤0.42h且U≤5.34-12.85η0/h時，非線性橢圓余弦波與線性余弦波的相對差小于0.05，即線性淺水波理論滿足工程需要。

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