CAE軟件操作小百科（42）

收稿日期： 2018-03-21

作者簡介：

詹思遠(yuǎn)（1995—），男，湖南益陽人，碩士研究生，研究方向?yàn)殇囯姵仉姌O材料擴(kuò)散/反應(yīng)應(yīng)力及其耦合本構(gòu)關(guān)系，

（E-mail） 2013sssy@tongji.edu.cn

1 有限差分方法

有限差分方法是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法通過泰勒級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。

有限差分方法是一種直接將微分問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，其數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，發(fā)展較早且較成熟。有限差分格式分類：從格式的精度來劃分可分為1階格式、2階格式和高階格式；從差分的空間形式考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。考慮時(shí)間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件決定。構(gòu)造差分的方法有多種形式，主要采用泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有以下4種形式：1階向前差分、1階向后差分、1階中心差分和2階中心差分等。其中，前2種格式為1階計(jì)算精度，后2種格式為2階計(jì)算精度。通過對時(shí)間和空間這幾種不同差分格式的組合，得到不同的差分計(jì)算格式。

2 有限元法

有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫為由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，即可構(gòu)成不同的有限元法。

有限元法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，流體力學(xué)的數(shù)值模擬也采用有限元法。在有限元法中，把計(jì)算域離散劃分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合逼近單元中的真解。整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可認(rèn)為是由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成的。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元法也分為多種計(jì)算格式。

從權(quán)函數(shù)的選擇來看，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格；從插值函數(shù)的精度來劃分，有線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。伽遼金法將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)。最小二乘法令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最小。在配置法中，先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn)，令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，最常用的為多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為2類：一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日多項(xiàng)式插值；另一類不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求其導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，其定義取決于單元的幾何形狀：一維看作長度比；二維看作面積比；三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用最早，四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用插值函數(shù)有拉格朗日插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。

3 有限體積法

有限體積法又稱為控制體積法，其基本思路是將計(jì)算區(qū)域劃分成不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有1個(gè)控制體積；將待解的微分方程對每個(gè)控制體積積分，便得到一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量數(shù)值。為求控制體積的積分，必須假定因變量值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡而言之，子區(qū)域法屬于有限體積法的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。 有限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個(gè)計(jì)算區(qū)域自然也得到滿足。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時(shí)，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間產(chǎn)物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律（即插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點(diǎn)值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí)，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計(jì)算控制體積的積分，得到離散方程之后，便可棄之。如果需要的話，可以對微分方程中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。

（摘自同濟(jì)大學(xué)鄭百林教授《CAE操作技能與實(shí)踐》課堂講義）

（待續(xù)）